결정 코호몰로지 문서 원본 보기

[[대수기하학]]에서 '''결정 코호몰로지'''(結晶cohomology, {{llang|en|crystalline cohomology}}, {{llang|fr|cohomologie cristalline}})는 양의 [[환의 표수|표수]]를 가지는 [[가환환]] 위에서 푸앵카레 보조정리를 모방하려 만들어진 [[코호몰로지]] 이론이다.<ref>{{저널 인용 | last1=Illusie | first1=Luc | 저널=Séminaire Bourbaki | url=http://www.numdam.org/item/SB_1974-1975__17__53_0 | mr= 444668 |zbl= 0345.14005 | year=1976 | 권=17 |쪽=456 | 제목=Cohomologie cristalline (d’après P. Berthelot) | pages=53–60 | 언어=fr}}</ref><ref>{{서적 인용 | last1=Berthelot | first1=Pierre | title=Cohomologie cristalline des schémas de caractéristique ''p''>0 | publisher=Springer-Verlag | series=Lecture Notes in Mathematics |권=407 | doi=10.1007/BFb0068636 | mr=0384804 | year=1974|isbn=978-3-540-06852-5 |언어=fr}}</ref>

== 정의 ==
=== 결정 열린 몰입 ===
스킴 <math>X</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, <math>X</math> 속으로의 '''결정 열린 몰입'''({{llang|en|crystalline open immersion}}) <math>(U,T,\delta)</math>은 다음과 같은 데이터로 구성된다.
* [[스킴 (수학)|스킴]] <math>(U,\mathcal O_U)</math>
* (자리스키) [[열린 몰입]] <math>U\hookrightarrow X</math>
* <math>U</math>의 (자리스키) [[닫힌 부분 스킴]] <math>T</math>. 이는 물론 어떤 [[준연접층|준연접]] <math>\mathcal O_U</math>-[[아이디얼 층]] <math>\mathcal I\subseteq\mathcal O_U</math>를 정의한다.
* <math>\delta</math>는 <math>(U,\mathcal I)</math> 위의 [[분할 거듭제곱 구조]]이다. 즉, <math>(U,\mathcal I,\delta)</math>는 [[분할 거듭제곱 스킴]]을 이룬다.

=== 결정 위치 ===
다음이 주어졌다고 하자.
* [[분할 거듭제곱 스킴]] <math>(S,\mathcal I,\gamma)</math>
* [[스킴 (수학)|스킴]] <math>X</math> 및 [[스킴 사상]] <math>X\to S</math>

'''(작은) 결정 [[위치 (수학)|위치]]'''(-結晶位置, {{llang|en|(small) crystalline site}}) <math>\operatorname{Cris}(X/S)</math>는 [[범주 (수학)|범주]]로서 다음과 같다.
* <math>\operatorname{Cris}(X/S)</math>의 대상은 <math>X</math> 속으로의 결정 열린 몰입 <math>(U,T,\delta)</math> 가운데, 다음 조건을 만족시키는 것이다.
** <math>U</math>와 <math>T</math>는 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]으로서 같으며, 오직 구조층만이 다를 수 있다.
* <math>\operatorname{Cris}(X/S)</math>의 사상은 [[분할 거듭제곱 스킴]]의 사상 <math>(U,T,\delta)\to(U',T',\delta')</math> 가운데, 밑 [[분할 거듭제곱 스킴]] <math>(S,\mathcal I,\gamma)</math>로의 사상들이 적절히 가환하는 것이다.
이 위에, 통상적인 방법으로 [[그로텐디크 위상]]을 주어 [[위치 (수학)|위치]]로 만들 수 있다.

유사하게, 다음과 같은 '''큰 결정 위치'''({{llang|en|big crystalline site}}) <math>\operatorname{CRIS}(X/S)</math>를 정의할 수 있다. 이는 [[작은 범주]]를 이루지 못한다.
* <math>\operatorname{CRIS}(X/S)</math>의 대상은 [[분할 거듭제곱 스킴]] 사상 <math>(U,T,\delta)\to(S,\mathcal I,\gamma)</math> 가운데, 다음 조건을 만족시키는 것이다.
** <math>U</math>와 <math>T</math>는 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]으로서 같으며, 오직 구조층만이 다를 수 있다.
* <math>\operatorname{CRIS}(X/S)</math>의 사상은 [[분할 거듭제곱 스킴]]의 사상 <math>(U,T,\delta)\to(U',T',\delta')</math> 가운데, 밑 [[분할 거듭제곱 스킴]] <math>(S,\mathcal I,\gamma)</math>로의 사상들이 적절히 가환하는 것이다.
이 위에, 통상적인 방법으로 [[그로텐디크 위상]]을 주어 [[위치 (수학)|위치]]로 만들 수 있다.

작은 결정 위치 위의 [[층 (수학)|층]]의 [[층 코호몰로지]] 군
:<math>\operatorname H^i(\operatorname{Cris}(X/S);\mathcal F)</math>
을 '''결정 코호몰로지'''라고 한다.

=== 결정 ===
다음이 주어졌다고 하자.
* [[스킴 사상]] <math>X\to S</math>. 이를 통해 결정 위치 <math>\operatorname{Cris}(X/S)</math>를 정의할 수 있다.
* 결정 위치 <math>\operatorname{Cris}(X/S)</math> 위의 <math>\mathcal O_{X/S}</math>-[[가군층]] <math>\mathcal F</math>
그렇다면,  <math>\operatorname{Cris}(X/S)</math> 속의 임의의 두 대상 <math>(U,T,\delta)</math>, <math>(U',T',\delta')</math> 사이의 사상
:<math>f\colon(U,T,\delta)\to(U',T',\delta')</math>
에 대하여, 자연스러운 사상
:<math>f^*\mathcal F_T\longrightarrow\mathcal F_{T'}</math>
이 존재한다. 만약 이 사상이 항상 <math>\operatorname{Cris}(X/S)</math>의 [[동형 사상]]이라면, <math>\mathcal F</math>를 '''결정'''(結晶, {{llang|en|crystal|크리스털}})이라고 한다. 이는 <math>X/S</math>에 있는 결정 구조에 <math>\mathcal F</math>가 “자연스럽게 배여 있다”는 것이다.

구조층 <math>\mathcal O_{X/S}</math> 자체는 <math>\operatorname{Cris}(X/S)</math> 위의 결정을 이룬다.

== 성질 ==
=== 적분 가능 접속 ===
다음이 주어졌다고 하자.
* 가환환 <math>K</math>
* [[분할 거듭제곱 환]] <math>(R,\mathfrak I,\gamma)</math>
* [[환 준동형]] <math>f\colon K\to R</math>
* <math>R</math>-[[가군]] <math>M\in\operatorname{Mod}_R</math>
<math>M</math> 속의 '''접속'''(接續, {{llang|en|connection}})이란 다음 조건을 만족시키는 [[가군 준동형]]
:<math>\nabla\colon M\to \Omega^1_{R/K,\mathfrak I,\gamma}\otimes_RM</math>
이다.
:<math>\nabla(rm)=r\nabla m+m\otimes_B\mathrm dr\qquad\forall m\in M,\;r\in R</math>
여기서 <math>\Omega^1_{R/K,\mathfrak I,\gamma}</math>는 <math>(R,\mathfrak I,\gamma)</math> 위의 [[분할 거듭제곱 환|분할 거듭제곱 미분 가군]]이다.

이 경우, 항등식
:<math>\nabla(m\otimes_R\omega)=\nabla m\wedge\omega+m\otimes_R\mathrm d\omega\qquad(m\in M,\;\omega\in\Omega^\bullet_{R/K,\mathfrak I,\gamma})</math>
를 통해 임의의 차수 미분 형식들에 대한 미분
:<math>\nabla\colon M\otimes_R\Omega^\bullet_{R/K,\mathfrak I,\gamma}\to M\otimes_R\Omega^{\bullet+1}_{R/K,\mathfrak I,\gamma}</math>
을 정의할 수 있다.

만약 이 연산이 멱영 연산이라면, 즉, 만약
:<math>M\otimes_R\Omega^0_{R/K,\mathfrak I,\gamma}\xrightarrow\nabla M\otimes_R\Omega^1_{R/K,\mathfrak I,\gamma}\xrightarrow\nabla M\otimes_R\Omega^2_{R/K,\mathfrak I,\gamma}\to\dotsb</math>
가 [[사슬 복합체]]라면, 접속 <math>\nabla</math>를 <math>M</math> 속의 '''적분 가능 접속'''(積分可能接續, {{llang|en|integrable connection}})이라고 한다.

=== 결정 위의 적분 가능 미분 ===
결정 위에는 표준적인 [[적분]] 가능 미분이 존재하며, 따라서 드람 복합체를 구성할 수 있다.

구체적으로, 다음이 주어졌다고 하자.
* [[분할 거듭제곱 스킴]] <math>(S,\mathcal I,\gamma)</math>
* [[스킴 (수학)|스킴]] <math>X</math> 및 [[스킴 사상]] <math>X\to S</math>
* <math>X</math>의 결정 열린 부분 스킴 <math>(U,T,\delta)\in\operatorname{Cris}(X/S)</math>
* <math>\operatorname{Cris}(X/S)</math> 위의 결정 <math>\mathcal F</math>
그렇다면,
:<math>\mathcal O_{T'}:=\mathcal O_T\otimes \Omega^1_{T,\delta},(U(1),T(1),\delta(1))=(U,T,\delta)\times_{(S,I,\gamma)}(U,T,\delta)</math>
로 정의하고, <math>p_0,p_1\colon T(1)\to T</math>로 사영을 잡았을 때,
:<math>p_0^*\mathcal F_T\overset{c_0}{\longrightarrow} \mathcal{F}_{T'}\overset{c_1}{\longleftarrow}p^*_1\mathcal F_T</math>
를 생각할 수 있으며, 양 화살표는 가정에 의해서 모두 [[동형 사상]]이다.

<math>s\in \Gamma(T,\mathcal F_T)</math>를 생각하면
:<math>\nabla(s)=p^*_1s-c(p^*_0s)</math>
로 정의하자. 여기에서 <math>c=c_1^{-1}\circ c_0</math>다. 이것은 보통 접속을 정의할 때 쓰는 [[리 미분]] <math>\nabla_X(Y)=XY-YX</math>를 모방한 것이다. 그러면 이는
:<math>\nabla\colon\Gamma(T,\mathcal F_{T})\longrightarrow \Gamma(T,\mathcal{F}_{T}\otimes_{\mathcal{O}_{X/S}}\Omega^1_{T/X,\delta})</math>
를 만들고, 이는 적분 가능 접속이 된다.

미분은 당연히 다항식에서 해야 하고, [[환의 표수|표수]]는 불편하니 다음을 정의하자. <math>(A,I,\gamma)</math>가 [[분할 거듭제곱 환]]이고 <math>A\to B</math>가 [[환 준동형]]이라면 적당한 <math>P=A[x_i]</math>를 잡아서 <math>P\to C</math>가 [[전사 함수|전사]] 준동형이 되도록 하자. 그리고 그 [[핵 (수학)|핵]]을 <math>J</math>라고 하면
:<math>D=\varprojlim_{e}D_{B,\gamma}(J)/p^eD_{B,\gamma}(J)</math>
를 정의할 수 있다. 그렇다면, 여기 위에서 적절한 성질을 가진 적분 가능 접속과 <math>X/S</math>의 (결정 위치에서) [[준연접층]]은 서로 [[일대일 대응]]한다.

=== 푸앵카레 보조정리 ===
다음을 생각하자.
* [[가환환]] <math>K</math>
* [[유한 집합]] <math>I</math>
* <math>K</math>계수의, <math>I</math>개 변수 [[분할 거듭제곱 환|분할 거듭제곱 다항식환]] <math>P=K\langle(x_i)_{i\in I}\rangle</math>
* <math>K</math> 위의 임의의 [[가군]] <math>M</math>
그렇다면, 분할 거듭제곱 드람 복합체 <math>\Omega^\bullet_{P/K}</math>의 각 항에 <math>M</math>의 [[텐서곱]]을 취하여도, 이는 [[완전열]]을 이룬다. 즉, 다음과 같은 [[완전열]]이 존재한다.
:<math>0\to M\to M\otimes_K\Omega^1_{P/K}\to M\otimes_K\Omega^2_{P/K}\to M\otimes_K\Omega^3_{P/A}\to \cdots</math>
이 [[완전열]]의 존재는 일종의 “푸앵카레 [[보조정리]]”에 해당하며, 반면 일반 [[다항식환]] <math>A[x_i]</math>의 경우에는 성립하지 않는다 (<math>(x^n)'=nx^{n-1}</math>이기 때문).

보다 일반적으로, 다음을 생각하자.
* [[가환환]] <math>K</math>
* [[분할 거듭제곱 환]] <math>(R,\mathfrak I,\gamma)</math> 및 [[환 준동형]] <math>f\colon K\to R</math>
* <math>R</math> 위의 [[분할 거듭제곱 환|분할 거듭제곱 다항식환]] <math>P=R\langle (x_i)_{i\in I}\rangle</math>
* <math>R</math> 위의 [[가군]] <math>M</math>
* <math>M</math> 위의 적분 가능 접속 <math>\nabla\colon M\to M\otimes_R\Omega^1_{R/K,\delta}</math>
그렇다면, <math>P</math> 속의 아이디얼
:<math>\mathfrak J=\mathfrak IP+P_+</math>
를 생각하자. 여기서 <math>P_+\subseteq P</math>는 양의 차수 항들로 구성된 <math>P</math>의 부분 집합이다. 또한, <Math>(P,\mathfrak J)</math> 위에 자명한 [[분할 거듭제곱 구조]] <math>\delta</math>를 부여한다.

그렇다면, <math>K</math>-[[가군]] 범주의 [[유도 범주]] <math>\operatorname D(\operatorname{Mod}_K)</math> 안에서
:<math>M\otimes_R\Omega^\bullet_{R/K,\gamma}\xrightarrow\sim M\otimes_P\Omega^\bullet_{P/K,\delta}</math>
이라는 유사 동형 사상이 있다 (즉, 이는 [[코호몰로지 군]] 사이의 동형을 정의한다).

=== 결정 코호몰로지와 분할 거듭제곱 드람 코호몰로지의 비교 ===
이제 다음을 생각하자. <math>X/S</math>의 결정 위치를 <math>\mathrm{Cris}(X/S)</math>로 표기하자.
:<math>D(n)=\prod^{n}D</math>
그러면 <math>D(0)\longrightarrow D(1)\longrightarrow \cdots</math>는 <math>\mathrm{R}\Gamma(\mathrm{Cris}(X/S),\mathcal{F})</math>하고 유사동형사상이다. 이는 마치 [[체흐 코호몰로지|체흐 신경]]과 비슷한 역할을 한다. 이것과 드람 복합체와의 [[스펙트럼 열]]을 계산하면 <math>\mathcal{F}</math>를 결정 위치에서 [[준연접층]]이라고 하고 <math>M</math>를 <math>\mathcal{F}</math>하고 대응되는 p진으로 완벽한 <math>D</math>-가군이라고 하면 <math>\mathrm{R}\Gamma(\mathrm{Cris}(X/S),\mathcal{F})</math>는 대응되는 적분 가능 접속으로 만들어지는 <math>M\otimes_{D}\Omega^*_{D} </math>하고 유사 동형이 된다. 즉, 결정 코호몰로지 군을 계산하는 것이란 곧 드람 복합체를 계산하는 것과 동치이다.

== 역사 ==
[[알렉산더 그로텐디크]]가 1966년에 도입하였다.<ref>{{저널 인용 | last1=Grothendieck | first1=Alexander | 저자링크 = 알렉산더 그로텐디크 | title=On the de Rham cohomology of algebraic varieties | url=http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1966__29__95_0 | 날짜=1966 | journal=Institut des Hautes Études Scientifiques. Publications Mathématiques | issn=0073-8301 | issue=29 | pages=95–103 | doi=10.1007/BF02684807 |zbl=145.17602  |mr=199194| volume=29|언어=en}}</ref> 이후 피에르 베르틀로({{llang|fr|Pierre Berthelot}})가 그 이론에 공헌하였다.

== 응용 ==
결정 코호몰로지는 [[대수적 수론]]에서 중요한 역할을 한다.

어떤 [[유한체]] <math>\mathbb F_q</math> 위의 [[스킴 (수학)|스킴]] <math>X/\mathbb F_q</math>가 주어졌을 때, 그냥 결정 코호몰로지 군 <math>\operatorname H^i_{\mathrm{cris}}(X/\mathbb F_{q},\mathcal O_X)</math>를 계산하는 것은 별로 도움이 되지 않는다. 이는 정수론도 그냥 다항식을 쓰는데, 결정 코호몰로지는 위에서 확인한 바에 의하면 <math>A\langle x_i\rangle</math>만이 진짜 미분을 정의하고 따라서 결정 코호몰로지 군을 계산하는 것도 이것이기 때문이다.

하지만 [[환의 표수|표수]]가 커지면 커질수록 <math>A\langle x_i\rangle</math>는 <math>A[x_i]</math>와 “가까워진다”. 따라서, [[비트 벡터]]를 생각해서
:<math>\operatorname H^i_{\mathrm{cris}}(X):=\varprojlim H^i_{\mathrm{cris}}(X/W_n(\mathbb F_q),\mathcal O_X)</math>
를 생각할 수 있고, 이것을 <math>\ell=p</math>일 때의 코호몰로지로 [[에탈 코호몰로지]] 대신 쓸 수 있다.

== 같이 보기 ==
* [[모티브 코호몰로지]]
* [[드람 코호몰로지]]
== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{nlab|id=crystalline cohomology|title=Crystalline cohomology}}
* {{웹 인용|url=http://stacks.math.columbia.edu/download/crystalline.pdf|제목=Crystalline cohomology|웹사이트=The Stacks Project|출판사=[[컬럼비아 대학교]]|날짜=2016-04-10|언어=en}}
{{위키데이터 속성 추적}}

[[분류:대수기하학]]
[[분류:호몰로지 대수학]]
[[분류:호몰로지 이론]]