결정 코호몰로지

대수기하학에서 결정 코호몰로지(結晶cohomology, 영어: crystalline cohomology, 프랑스어: cohomologie cristalline)는 양의 표수를 가지는 가환환 위에서 푸앵카레 보조정리를 모방하려 만들어진 코호몰로지 이론이다.

정의

결정 열린 몰입

스킴 $X$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, $X$ 속으로의 결정 열린 몰입(영어: crystalline open immersion) $(U,T,\delta )$은 다음과 같은 데이터로 구성된다.

• 스킴 $(U,{𝒪}_U)$
• (자리스키) 열린 몰입 $U\hookrightarrow X$
• $U$의 (자리스키) 닫힌 부분 스킴 $T$. 이는 물론 어떤 준연접 ${𝒪}_U$-아이디얼 층 $ℐ\subseteq {𝒪}_U$를 정의한다.
• $\delta$는 $(U,ℐ)$ 위의 분할 거듭제곱 구조이다. 즉, $(U,ℐ,\delta )$는 분할 거듭제곱 스킴을 이룬다.

결정 위치

다음이 주어졌다고 하자.

• 분할 거듭제곱 스킴 $(S,ℐ,\gamma )$
• 스킴 $X$ 및 스킴 사상 $X\to S$

(작은) 결정 위치(-結晶位置, 영어: (small) crystalline site) $\mathrm{Cris}(X/S)$는 범주로서 다음과 같다.

• $\mathrm{Cris}(X/S)$의 대상은 $X$ 속으로의 결정 열린 몰입 $(U,T,\delta )$ 가운데, 다음 조건을 만족시키는 것이다.
  • $U$와 $T$는 위상 공간으로서 같으며, 오직 구조층만이 다를 수 있다.
• $\mathrm{Cris}(X/S)$의 사상은 분할 거듭제곱 스킴의 사상 $(U,T,\delta )\to (U^{\prime },T^{\prime },{\delta }^{\prime })$ 가운데, 밑 분할 거듭제곱 스킴 $(S,ℐ,\gamma )$로의 사상들이 적절히 가환하는 것이다.

이 위에, 통상적인 방법으로 그로텐디크 위상을 주어 위치로 만들 수 있다.

유사하게, 다음과 같은 큰 결정 위치(영어: big crystalline site) $\mathrm{CRIS}(X/S)$를 정의할 수 있다. 이는 작은 범주를 이루지 못한다.

• $\mathrm{CRIS}(X/S)$의 대상은 분할 거듭제곱 스킴 사상 $(U,T,\delta )\to (S,ℐ,\gamma )$ 가운데, 다음 조건을 만족시키는 것이다.
  • $U$와 $T$는 위상 공간으로서 같으며, 오직 구조층만이 다를 수 있다.
• $\mathrm{CRIS}(X/S)$의 사상은 분할 거듭제곱 스킴의 사상 $(U,T,\delta )\to (U^{\prime },T^{\prime },{\delta }^{\prime })$ 가운데, 밑 분할 거듭제곱 스킴 $(S,ℐ,\gamma )$로의 사상들이 적절히 가환하는 것이다.

이 위에, 통상적인 방법으로 그로텐디크 위상을 주어 위치로 만들 수 있다.

작은 결정 위치 위의 층의 층 코호몰로지 군

${\mathrm{H}}^i(\mathrm{Cris}(X/S);ℱ)$

을 결정 코호몰로지라고 한다.

결정

다음이 주어졌다고 하자.

• 스킴 사상 $X\to S$. 이를 통해 결정 위치 $\mathrm{Cris}(X/S)$를 정의할 수 있다.
• 결정 위치 $\mathrm{Cris}(X/S)$ 위의 ${𝒪}_{X/S}$-가군층 $ℱ$

그렇다면, $\mathrm{Cris}(X/S)$ 속의 임의의 두 대상 $(U,T,\delta )$, $(U^{\prime },T^{\prime },{\delta }^{\prime })$ 사이의 사상

$f:(U,T,\delta )\to (U^{\prime },T^{\prime },{\delta }^{\prime })$

에 대하여, 자연스러운 사상

$f^{*}{ℱ}_T⟶{ℱ}_{T^{\prime }}$

이 존재한다. 만약 이 사상이 항상 $\mathrm{Cris}(X/S)$의 동형 사상이라면, $ℱ$를 결정(結晶, 영어: crystal 크리스털^[*])이라고 한다. 이는 $X/S$에 있는 결정 구조에 $ℱ$가 “자연스럽게 배여 있다”는 것이다.

구조층 ${𝒪}_{X/S}$ 자체는 $\mathrm{Cris}(X/S)$ 위의 결정을 이룬다.

성질

적분 가능 접속

다음이 주어졌다고 하자.

• 가환환 $K$
• 분할 거듭제곱 환 $(R,\Im ,\gamma )$
• 환 준동형 $f:K\to R$
• $R$-가군 $M\in {\mathrm{Mod}}_R$

$M$ 속의 접속(接續, 영어: connection)이란 다음 조건을 만족시키는 가군 준동형

$\mathrm{\nabla }:M\to {\Omega }_{R/K,\Im ,\gamma }^1{\otimes }_{R}M$

이다.

$\mathrm{\nabla }(rm)=r\mathrm{\nabla }m+m{\otimes }_B\mathrm{d}r\mathrm{\forall }m\in M,r\in R$

여기서 ${\Omega }_{R/K,\Im ,\gamma }^1$는 $(R,\Im ,\gamma )$ 위의 분할 거듭제곱 미분 가군이다.

이 경우, 항등식

$\mathrm{\nabla }(m{\otimes }_R\omega )=\mathrm{\nabla }m\wedge \omega +m{\otimes }_R\mathrm{d}\omega (m\in M,\omega \in {\Omega }_{R/K,\Im ,\gamma }^{\bullet })$

를 통해 임의의 차수 미분 형식들에 대한 미분

$\mathrm{\nabla }:M{\otimes }_R{\Omega }_{R/K,\Im ,\gamma }^{\bullet }\to M{\otimes }_R{\Omega }_{R/K,\Im ,\gamma }^{\bullet +1}$

을 정의할 수 있다.

만약 이 연산이 멱영 연산이라면, 즉, 만약

$M{\otimes }_R{\Omega }_{R/K,\Im ,\gamma }^0\stackrel{\mathrm{\nabla }}{\to }M{\otimes }_R{\Omega }_{R/K,\Im ,\gamma }^1\stackrel{\mathrm{\nabla }}{\to }M{\otimes }_R{\Omega }_{R/K,\Im ,\gamma }^2\to \cdots$

가 사슬 복합체라면, 접속 $\mathrm{\nabla }$를 $M$ 속의 적분 가능 접속(積分可能接續, 영어: integrable connection)이라고 한다.

결정 위의 적분 가능 미분

결정 위에는 표준적인 적분 가능 미분이 존재하며, 따라서 드람 복합체를 구성할 수 있다.

구체적으로, 다음이 주어졌다고 하자.

• 분할 거듭제곱 스킴 $(S,ℐ,\gamma )$
• 스킴 $X$ 및 스킴 사상 $X\to S$
• $X$의 결정 열린 부분 스킴 $(U,T,\delta )\in \mathrm{Cris}(X/S)$
• $\mathrm{Cris}(X/S)$ 위의 결정 $ℱ$

그렇다면,

${𝒪}_{T^{\prime }}:={𝒪}_T\otimes {\Omega }_{T,\delta }^1,(U(1),T(1),\delta (1))=(U,T,\delta ){\times }_{(S,I,\gamma )}(U,T,\delta )$

로 정의하고, $p_0,p_1:T(1)\to T$로 사영을 잡았을 때,

$p_0^{*}{ℱ}_T\stackrel{c_0}{⟶}{ℱ}_{T^{\prime }}\stackrel{c_1}{⟵}{p}_1^{*}{ℱ}_T$

를 생각할 수 있으며, 양 화살표는 가정에 의해서 모두 동형 사상이다.

$s\in \Gamma (T,{ℱ}_T)$를 생각하면

$\mathrm{\nabla }(s)=p_1^{*}s-c(p_0^{*}s)$

로 정의하자. 여기에서 $c=c_1^{-1}\circ c_0$다. 이것은 보통 접속을 정의할 때 쓰는 리 미분 ${\mathrm{\nabla }}_X(Y)=XY-YX$를 모방한 것이다. 그러면 이는

$\mathrm{\nabla }:\Gamma (T,{ℱ}_T)⟶\Gamma (T,{ℱ}_T{\otimes }_{{𝒪}_{X/S}}{\Omega }_{T/X,\delta }^1)$

를 만들고, 이는 적분 가능 접속이 된다.

미분은 당연히 다항식에서 해야 하고, 표수는 불편하니 다음을 정의하자. $(A,I,\gamma )$가 분할 거듭제곱 환이고 $A\to B$가 환 준동형이라면 적당한 $P=A[x_i]$를 잡아서 $P\to C$가 전사 준동형이 되도록 하자. 그리고 그 핵을 $J$라고 하면

$D=\underset{e}{\underleftarrow{\lim }}{D}_{B,\gamma }(J)/p^e{D}_{B,\gamma }(J)$

를 정의할 수 있다. 그렇다면, 여기 위에서 적절한 성질을 가진 적분 가능 접속과 $X/S$의 (결정 위치에서) 준연접층은 서로 일대일 대응한다.

푸앵카레 보조정리

다음을 생각하자.

• 가환환 $K$
• 유한 집합 $I$
• $K$계수의, $I$개 변수 분할 거듭제곱 다항식환 $P=K⟨(x_i{)}_{i\in I}⟩$
• $K$ 위의 임의의 가군 $M$

그렇다면, 분할 거듭제곱 드람 복합체 ${\Omega }_{P/K}^{\bullet }$의 각 항에 $M$의 텐서곱을 취하여도, 이는 완전열을 이룬다. 즉, 다음과 같은 완전열이 존재한다.

$0\to M\to M{\otimes }_K{\Omega }_{P/K}^1\to M{\otimes }_K{\Omega }_{P/K}^2\to M{\otimes }_K{\Omega }_{P/A}^3\to \cdots$

이 완전열의 존재는 일종의 “푸앵카레 보조정리”에 해당하며, 반면 일반 다항식환 $A[x_i]$의 경우에는 성립하지 않는다 ($(x^n{)}^{\prime }=n{x}^{n-1}$이기 때문).

보다 일반적으로, 다음을 생각하자.

• 가환환 $K$
• 분할 거듭제곱 환 $(R,\Im ,\gamma )$ 및 환 준동형 $f:K\to R$
• $R$ 위의 분할 거듭제곱 다항식환 $P=R⟨(x_i{)}_{i\in I}⟩$
• $R$ 위의 가군 $M$
• $M$ 위의 적분 가능 접속 $\mathrm{\nabla }:M\to M{\otimes }_R{\Omega }_{R/K,\delta }^1$

그렇다면, $P$ 속의 아이디얼

$𝔍=\Im P+P_{+}$

를 생각하자. 여기서 $P_{+}\subseteq P$는 양의 차수 항들로 구성된 $P$의 부분 집합이다. 또한, $(P,𝔍)$ 위에 자명한 분할 거듭제곱 구조 $\delta$를 부여한다.

그렇다면, $K$-가군 범주의 유도 범주 $\mathrm{D}({\mathrm{Mod}}_K)$ 안에서

$M{\otimes }_R{\Omega }_{R/K,\gamma }^{\bullet }\stackrel{\sim }{\to }M{\otimes }_P{\Omega }_{P/K,\delta }^{\bullet }$

이라는 유사 동형 사상이 있다 (즉, 이는 코호몰로지 군 사이의 동형을 정의한다).

결정 코호몰로지와 분할 거듭제곱 드람 코호몰로지의 비교

이제 다음을 생각하자. $X/S$의 결정 위치를 $\mathrm{C}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{s}(X/S)$로 표기하자.

$D(n)={\prod }^{n}D$

그러면 $D(0)⟶D(1)⟶\cdots$는 $\mathrm{R}\Gamma (\mathrm{C}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{s}(X/S),ℱ)$하고 유사동형사상이다. 이는 마치 체흐 신경과 비슷한 역할을 한다. 이것과 드람 복합체와의 스펙트럼 열을 계산하면 $ℱ$를 결정 위치에서 준연접층이라고 하고 $M$를 $ℱ$하고 대응되는 p진으로 완벽한 $D$-가군이라고 하면 $\mathrm{R}\Gamma (\mathrm{C}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{s}(X/S),ℱ)$는 대응되는 적분 가능 접속으로 만들어지는 $M{\otimes }_D{\Omega }_D^{*}$하고 유사 동형이 된다. 즉, 결정 코호몰로지 군을 계산하는 것이란 곧 드람 복합체를 계산하는 것과 동치이다.

역사

알렉산더 그로텐디크가 1966년에 도입하였다. 이후 피에르 베르틀로(프랑스어: Pierre Berthelot)가 그 이론에 공헌하였다.

응용

결정 코호몰로지는 대수적 수론에서 중요한 역할을 한다.

어떤 유한체 ${𝔽}_q$ 위의 스킴 $X/{𝔽}_q$가 주어졌을 때, 그냥 결정 코호몰로지 군 ${\mathrm{H}}_{\mathrm{c}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{s}}^i(X/{𝔽}_q,{𝒪}_X)$를 계산하는 것은 별로 도움이 되지 않는다. 이는 정수론도 그냥 다항식을 쓰는데, 결정 코호몰로지는 위에서 확인한 바에 의하면 $A⟨x_i⟩$만이 진짜 미분을 정의하고 따라서 결정 코호몰로지 군을 계산하는 것도 이것이기 때문이다.

하지만 표수가 커지면 커질수록 $A⟨x_i⟩$는 $A[x_i]$와 “가까워진다”. 따라서, 비트 벡터를 생각해서

${\mathrm{H}}_{\mathrm{c}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{s}}^i(X):=\underleftarrow{\lim }{H}_{\mathrm{c}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{s}}^i(X/W_n({𝔽}_q),{𝒪}_X)$

를 생각할 수 있고, 이것을 $\ell =p$일 때의 코호몰로지로 에탈 코호몰로지 대신 쓸 수 있다.

같이 보기

• 모티브 코호몰로지
• 드람 코호몰로지

외부 링크

• “Crystalline cohomology” (영어). 《nLab》. 
• “Crystalline cohomology” (PDF) (영어). 《The Stacks Project》. 컬럼비아 대학교. 2016년 4월 10일.