등급 대수 문서 원본 보기

{{대수 구조}}
[[환론]]에서 '''등급 대수'''(等級代數, {{llang|en|graded algebra}})는 그 원소들이 어떤 '''등급'''(等級, {{llang|en|grade}})을 가진 [[결합 대수]]이다.

== 정의 ==
다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.
* [[가환환]] <math>K</math>
* [[모노이드]] <math>(N,\cdot)</math>
* 각 <math>n\in N</math>에 대하여, <math>K</math>-[[가군]] <math>A_n</math>. 편의상 <math>\textstyle A=\bigoplus_{n\in N}A_n</math>로 표기하자.
* <math>A</math> 위의 <math>K</math>-[[결합 대수]] 구조
이 구조가 다음 두 조건을 만족시킨다고 하자.
* <math>A_mA_n\subseteq A_{mn}\qquad(\forall m,n\in N)</math>
* <math>\phi(K)\subseteq A_1</math>
이 경우, <math>A</math>를 <math>N</math>등급을 가진 '''등급 대수'''라고 한다. <math>K=\mathbb Z</math> ([[정수|정수환]]) 위의 [[단위 결합 대수]]는 [[환 (수학)|환]]이므로, <math>\mathbb Z</math> 위의 등급 대수는 '''등급환'''(等級環, {{llang|en|graded ring}})이라고 한다.

통상적으로, 등급의 종류가 주어지지 않았을 경우 <math>N=\mathbb N</math> (음이 아닌 정수들의 덧셈에 대한 모노이드)라고 놓는다. 등급이 <math>\mathbb Z/2</math> (2차 [[순환군]])인 경우, 등급 대수를 '''초대수'''(超代數, {{llang|en|superalgebra}})라고 부르기도 한다.

=== 동급 원소 ===
등급 대수 <math>A</math>의 원소 <math>a\in A</math>는 다음과 같이 두 종류로 나뉜다.
* 만약 <math>a\in A_n</math>인 <math>n\in N</math>이 존재할 경우 <math>a</math>를 '''동급 원소'''(同級, {{llang|en|homogeneous element}})라고 한다. 만약 <math>a\ne0</math>이라면 이는 유일하며, <math>n</math>을 <math>a</math>의 '''등급'''이라고 한다. 이는 보통 <math>\deg A</math>로 표현한다. (0은 동급 원소이지만, 그 등급은 유일하게 정의될 수 없다.)
* 만약 <math>a\in A_n</math>인 <math>n</math>이 존재하지 않을 경우 <math>a</math>를 '''비동급 원소'''({{llang|en|inhomogeneous element}})라고 한다. 예를 들어, 서로 다른 등급의 두 동급 원소들의 합은 비동급 원소다.

=== 준동형 ===
가환환 <math>K</math> 위의, 모노이드 <math>N</math> 등급의 두 등급 대수 <math>A</math>, <Math>B</math> 사이의 '''등급 대수 준동형'''({{llang|en|graded-algebra homomorphism}}) <math>f\colon A\to B</math>은 다음과 같은 조건을 만족시키는 [[결합 대수]] 준동형이다.
:<math>\deg f(a)=\deg a\qquad\forall n\in N,\;a\in A_n\setminus\{0\}</math>
즉, 등급을 보존하는 [[결합 대수]] 준동형이다. 이에 따라, <math>K</math> 위의 <Math>N</math>등급 대수들과 등급 대수 준동형들은 [[범주 (수학)|범주]] ([[대수 구조 다양체]])
:<math>\operatorname{grAlg}_{K,N}</math>
를 이룬다.

보다 일반적으로, 두 모노이드 사이의 [[모노이드 준동형]] <math>\phi\colon M\to N</math> 및 <math>K</math> 위의 <math>M</math>등급 대수 <math>A</math>와 <math>N</math>등급 대수 <math>B</math>가 주어졌을 때, <Math>\phi</math> 위의 '''등급 대수 준동형''' <math>f\colon A\to B</math>은 다음 조건을 만족시키는 [[결합 대수]] 준동형이다.
:<math>\deg f(a)=\phi(\deg a)\qquad\forall n\in N,\;a\in A_n\setminus\{0\}</math>

== 성질 ==
가환 모노이드 <math>(N,+,0)</math>가 추가로 [[반환 (수학)|가환 반환]]의 구조 <math>(N,+,\cdot,0,1)</math>를 가진다고 하자. 또한, 다음과 같은 [[모노이드 준동형]]이 존재한다고 하자.
:<math>\sigma\colon(N,+,0)\to\left(\{k\in K\colon k^2=1\},\cdot\right)</math>

만약 <math>(N,+)</math>-등급 <math>K</math>-대수 <math>A</math>가 다음 조건을 만족시킨다면, <math>K</math>가 '''등급 가환 대수'''({{llang|en|graded-commutative algebra}})라고 한다.
:<math>ab=\sigma(mn)ba\qquad\forall a\in A_m,\;b\in A_n</math>

물론, 만약 <math>K</math>의 [[환의 표수|표수]]가 2 또는 1이라면 (즉, <math>+1=-1</math>이라면) 등급 가환 등급 대수의 개념은 가환 등급 대수의 개념과 일치한다.

== 연산 ==
=== 직합 ===
가환환 <math>K</math>와 모노이드 <math>N</math>, <math>N'</math>이 주어졌을 때, <math>N</math>-등급 <math>K</math>-대수 <math>A</math> 및 <math>N'</math>-등급 <math>K</math>-대수 <math>A'</math>의 '''직합'''({{llang|en|direct sum}}) <math>A\oplus A'</math>은 다음과 같은 <math>N\times N'</math>-등급 <math>K</math>-대수이다.
* <math>K</math>-[[가군]]으로서 <math>A\oplus A'</math>은 가군의 [[직합]]이다.
* <math>(A\oplus A')_{n,n'}=A_n\oplus A'_{n'}</math>
* <math>(a,a')(b,b')=(ab,a'b')\qquad\forall a,b\in A,\;a',b'\in A')</math>

=== 텐서곱 ===
가환환 <math>K</math>와 가환 모노이드 <math>(N,+)</math>이 주어졌을 때, <math>N</math>-등급 <math>K</math>-대수 <math>A</math>, <math>A'</math>의 '''텐서곱'''({{llang|en|tensor product}}) <math>A\otimes_KA'</math>은 다음과 같은 <math>N</math>-등급 <math>K</math>-대수이다.
* <math>K</math>-[[텐서곱]]으로서 <math>A\otimes_KA'</math>은 가군의 [[텐서곱]]이다.
* <math>(A\otimes_KA')_n=\bigoplus_{n_1,n_2\in N\colon n_1+n_2=n}A_n\otimes_KA'_n</math>
* <math>(a\otimes_Ka')(b\otimes_Kb')=(ab)\otimes(a'b')\qquad\forall a,b\in A,\;a',b'\in A'</math>

보다 일반적으로, <math>N</math>이 가환 모노이드이며, 그 위에 추가로 [[반환 (수학)|가환 반환]]의 구조가 주어졌다고 하자. 즉, 이 경우 <math>(N,+)</math>-등급 <math>K</math>-대수 <math>A</math>에 대하여
:<math>A_mA_n\subseteq A_{m+n}</math>
이 된다. 또한, [[모노이드 준동형]]
:<math>\sigma\colon(N,+)\to\left(\{k\in K\colon k^2=1\},\cdot\right)</math>
이 주어졌다고 하자. 그렇다면 두 <math>(N,+)</math>-등급 <math>K</math>-대수 <math>A</math>, <math>A'</math>에 대하여 '''등급 텐서곱'''({{llang|en|graded tensor product}}) <math>A\hat\otimes_KA'</math>은 다음과 같은 <math>N</math>-등급 <math>K</math>-대수이다.
* <math>K</math>-[[텐서곱]]으로서 <math>A\hat\otimes_KA'</math>은 가군의 [[텐서곱]] <math>A\otimes_KA'</math>이다.
* <math>(A\hat\otimes_KA')_n=\bigoplus_{n_1,n_2\in N\colon n_1+n_2=n}A_n\otimes_KA'_n</math>
* <math>(a\otimes_Ka')(b\otimes_Kb')=\sigma(m,n)(ab)\otimes(a'b')\qquad\forall a\in A,\;b\in A_m,\;a'\in A'_n,\;b'\in A'</math>

이는 흔히 <math>N=\mathbb Z</math> 또는 <math>N=\mathbb N</math> 또는 <math>N=\mathbb Z/2</math>이며,
:<math>\sigma\colon n\mapsto (-1)^n</math>
인 경우 사용된다.

두 등급 가환 <math>\mathbb Z/2</math>-등급 <math>K</math>-대수 <math>A</math>, <math>A'</math>이 주어졌을 때, 등급 텐서곱 <math>A\hat\otimes_KA'</math> 역시 등급 가환 대수를 이룬다. 그러나 텐서곱 <math>A\otimes_KA'</math>는 일반적으로 등급 가환 대수가 아니다.

=== 등급의 망각 ===
모노이드 <math>N</math> 등급을 갖는, 가환환 <math>K</math> 위의 등급 대수 <math>(A_n)_{n\in N}</math>가 주어졌으며, [[모노이드 준동형]]
:<math>q\colon N\to \tilde N</math>
가 주어졌다고 하자. 그렇다면,  <math>(A_n)_{n\in N}</math>에서 등급 구조를 망각하여
:<math>A_{\tilde n}=\bigoplus_{n\in q^{-1}(\tilde n)}A_n</math>
를 정의할 수 있으며,
:<math>\bigoplus_{\tilde n\in\tilde N}A_{\tilde n}</math>
은 <math>\tilde N</math>-등급 대수를 이룬다. 이는 등급 대수의 범주 사이의 [[함자 (수학)|함자]]
:<math>\operatorname{grAlg}_{K,N}\to\operatorname{grAlg}_{K,\tilde N}</math>
를 이룬다.

예를 들어, 자연수 등급의 대수 <math>(A_n)_{n\in\mathbb N}</math>는 <math>\mathbb N\to\mathbb Z/2</math>를 통해 등급을 망각하여 초대수 <math>(A_n)_{n\in\mathbb Z/2}</math>로 만들 수 있다.

=== 무관 아이디얼 ===
[[가환환]] <math>K</math> 위의, 자연수 등급의 등급 대수 <math>A=(A_n)_{n\in\mathbb N}</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면,
:<math>A_+=\bigoplus_{n>0}A_n</math>
은 <math>A</math>의 [[양쪽 아이디얼]]을 이룬다. 이 [[양쪽 아이디얼]]을 '''무관 아이디얼'''(無關ideal, {{llang|en|irrelevant ideal}})이라고 한다. 또한, 이에 대한 몫대수는 다음과 같다.
:<math>A/A_+\cong A_0</math>
:<math>a+A_+\mapsto a\qquad\forall a\in A_0</math>

== 예 ==
* [[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math> 위의 [[코호몰로지 환]] <math>\operatorname H^\bullet(X)</math>은 코호몰로지류의 차수에 대하여 자연수 등급을 가진 등급환이다.
* [[매끄러운 다양체]] <Math>M</math> 위의 [[미분 형식]]의 공간 <math>\Omega^\bullet(M)</math>은 차수에 대하여 자연수 등급을 가진 <math>\mathbb R</math>-등급 대수이다.
* [[모노이드]] <math>M</math>에 대한 [[모노이드 환]]은 <math>M</math> 등급을 가진 등급환이다.
* [[클리퍼드 대수]]는 <math>\mathbb Z/2\mathbb Z</math>등급을 가진 등급 대수이다.
* [[가환환]] <math>K</math> 위의 [[가군]] <math>M</math> 위의 [[텐서 대수]] <math>\operatorname T(M;K)=\bigoplus_{n=0}^\infty M^{\otimes_Kn}</math>는 <math>\mathbb N</math>-등급 <math>K</math>-대수이며, 이 경우 <math>\operatorname T_n(M;K)=M^{\otimes_Kn}</math>이다.
* [[가환환]] <math>K</math> 위의 [[가군]] <math>M</math> 위의 [[외대수]] <math>\Lambda(M;K)=\operatorname T(M;K)/(m^2)_{m\in M}</math>는 <math>\mathbb N</math>-등급 <math>K</math>-대수이다.
* [[가환환]] <math>K</math> 위의 [[가군]] <math>M</math> 위의 [[대칭 대수]] <math>\operatorname{Sym}(M;K)=\operatorname T(M;K)/(mn-nm)_{m,n\in M}</math>는 <math>\mathbb N</math>-등급 <math>K</math>-대수이다. 특히, [[가환환]] <math>K</math> 위의 [[다항식환]] <math>K[x_1,...,x_n]</math>은 <math>\mathbb N</math>-등급 <math>K</math>-대수를 이룬다. 이 경우, 등급 대수를 이루는 각 <math>A_n</math> 들은 (0을 포함한) <math>n</math>차 [[동차다항식]]들의 집합과 같다.

== 같이 보기 ==
* [[미분 등급 대수]]
* [[텐서 대수]]

== 외부 링크 ==
* {{매스월드|id=GradedAlgebra|title=Graded algebra}}
* {{매스월드|id=GradedRing|title=Graded ring}}
* {{nlab|id=graded algebra|title=Graded algebra}}
* {{웹 인용|url=https://qchu.wordpress.com/2009/07/10/some-examples-of-graded-algebras/|제목=Some examples of graded algebras|이름=Qiaochu|성=Yuan|날짜=2009-07-10|웹사이트=Annoying Precision|언어=en}}
{{위키데이터 속성 추적}}

[[분류:환론]]
[[분류:대수]]