아벨 확대 문서 원본 보기

[[파일:One5Root.svg|섬네일|right|유리수체에 <math>\exp(2\pi i/5)</math>를 추가한 [[원분체]]는 그 [[갈루아 군]]이 5차 [[순환군]]이므로 순환 확대이자 아벨 확대이다.]]
[[체론]]에서 '''아벨 확대'''(Abel擴大, {{llang|en|Abelian extension}})는 그 [[갈루아 군]]이 [[아벨 군]]이 되는 [[갈루아 확대]]이다.

== 정의 ==
'''아벨 확대'''는 [[갈루아 군]]이 [[아벨 군]]인 [[갈루아 확대]]이다. '''순환 확대'''({{llang|en|cyclic extension}})는 [[갈루아 군]]이 [[순환군]]인 [[갈루아 확대]]이다.

== 분류 ==
특정 경우, 주어진 체 위의 모든 순환 확대 및 아벨 확대를 분류할 수 있다.
* '''쿠머 이론'''(Kummer理論, {{llang|en|Kummer theory}})은 [[1의 거듭제곱근]]이 충분히 존재하는 체 위의 [[아벨 확대]]들을 분류한다. 이에 따르면, 이러한 체 위의 모든 아벨 확대는 거듭제곱근들을 첨가하여 얻을 수 있다.
* 쿠머 이론은 확대의 차수가 [[체의 표수]]와 겹치는 경우 사용될 수 없다. 이 경우 '''아르틴-슈라이어 이론'''({{llang|en|Artin–Schreier theory}})은 차수가 표수와 같은 경우의 순환 확대를 분류하며, 이를 일반화한 '''아르틴-슈라이어-비트 이론'''({{llang|en|Artin–Schreier–Wit theory}})은 차수가 표수의 거듭제곱인 순환 확대를 분류한다. 이를 통해 차수가 표수의 거듭제곱인 모든 [[유한 확대|유한]] 아벨 확대를 분류할 수 있다. 이에 따르면, 이러한 경우 모든 아벨 확대는 [[비트 벡터]]를 사용하여 구성되는 특정 다항식의 근들을 첨가하여 얻을 수 있다.
* 만약 [[1의 거듭제곱근]]이 충분히 존재하지 않지만, 체가 [[대역체]] 또는 [[국소체]]인 경우, [[유체론]]을 사용하여 모든 아벨 확대를 분류할 수 있다.

[[유한 생성 아벨 군]]의 구조론에 따라, 모든 [[유한군|유한]] [[아벨 군]]은 크기가 [[소수 (수론)|소수]]의 거듭제곱인 [[순환군]]들의 [[직접곱]]으로 나타낼 수 있다. 따라서, 유한 아벨 확대를 분류하려면 소수 거듭제곱 크기의 순환 확대들을 분류하는 것으로 족하다.

=== 쿠머 이론 ===
'''쿠머 이론'''에 따르면, [[1의 거듭제곱근|1의 원시 <math>n</math>제곱근]](즉, <math>\{\zeta_n^0,\zeta_n,\dots,\zeta_n^{n-1}\}</math>이 모두 서로 다른, <math>\zeta_n^n=1</math>인 원소 <math>\zeta_n\in K</math>)을 갖는 체 <math>K</math> (<math>\operatorname{char}K\nmid n</math>) 위의 확대 <math>L/K</math>에 대하여 다음 조건들이 서로 [[동치]]이다.<ref name="Sekiguchi"/>{{rp|Theorem 1.1}}
* <math>n</math>차 순환 확대 <math>L/K</math>이다.
* <math>L/K\cong K(\sqrt[n]a)/K</math>가 되는 <math>a\in K</math>가 존재한다.
* 다음과 같은 가환 그림의 텐서곱 <math>L\cong K\otimes_{K[x,x^{-1}]}K[x,x^{-1}]</math>이 성립하는 원소 <math>a\in K^\times</math>가 존재한다.
*:<math>\begin{matrix}
L&\leftarrow&K[x,x^{-1}]\\
\uparrow&&\uparrow&\scriptstyle x\mapsto x^n\\
K&\underset{x\mapsto a}\leftarrow&X
\end{matrix}</math>
* 다음 가환 그림이 [[올곱]]이 되게 하는 <math>K</math>-스킴 사상 <math>a\colon\operatorname{Spec}K\to\mathbb G_{\operatorname m}(K)</math>이 존재한다.
*:<math>\begin{matrix}
\operatorname{Spec}L&\to&\mathbb G_{\operatorname m}\\
\downarrow&&\downarrow&\scriptstyle x\mapsto x^n\\
\operatorname{Spec}K&\underset a\to&\mathbb G_{\operatorname m}
\end{matrix}</math>
여기서
* <math>\mathbb G_{\operatorname m}(K)=\operatorname{Spec}K[x,x^{-1}]=\operatorname{Spec}K[x,y]/(xy-1)</math>은 <math>K</math> 위의 곱셈 [[군 스킴]]이다.

이에 따라, <math>K</math> 위의 <math>n</math>차 순환 확대는 <math>K</math>-스킴 사상 <math>\operatorname{Spec}K\to\mathbb G_{\operatorname m}(K)</math>에 의하여 주어진다.

보다 일반적으로, <math>n</math>이 가역원인 체 <math>K</math>에 대하여, 다음과 같은 <math>K</math>-[[군 스킴]]의 [[짧은 완전열]]이 존재하며, 이를 '''쿠머 완전열'''({{llang|en|Kummer exact sequence}})이라고 한다.
:<math>1\to\mu_n(K)\to\mathbb G_{\operatorname m}(K)\xrightarrow{(-)^n}\mathbb G_{\operatorname m}(K)\to1</math>
여기서
* <math>\mu_n(K)=\operatorname{Spec}K[x]/(x^n-1)</math>는 <math>K</math> 속의 [[1의 거듭제곱근|1의 <math>n</math>제곱근]]들로 구성된 [[군 스킴]]이다.
* <math>\mathbb G_{\operatorname m}(K)</math>는 <math>K</math>의 [[가역원군]]에 해당하는 [[군 스킴]]이다.
* <math>(-)^n\colon\mathbb G_{\operatorname m}(K)\to\mathbb G_{\operatorname m}(K)</math>는 <math>n</math>제곱에 해당하는 [[군 스킴]] 사상이다.

=== 아르틴-슈라이어 이론 ===
양의 표수 <math>p>0</math>의 체 <math>K</math>에서는 <math>(x-1)^p=x^p-1</math>이므로, 1의 <math>p</math>제곱근이 중복되며, 따라서 차수가 <math>p</math>의 거듭제곱인 순환 확대에 대해서는 쿠머 이론을 적용시킬 수 없다. 이 경우 대신 아르틴-슈라이어(-쿠머) 이론을 적용시킬 수 있다.

'''아르틴-슈라이어 이론'''에 따르면, 양의 표수 <math>p>0</math>의 체 <math>K</math> 위의 확대 <math>L/K</math>에 대하여 다음 조건들이 서로 [[동치]]이다.
* <math>p</math>차 순환 확대 <math>L/K</math>이다.
* <math>L</math>이 <math>x^p-x-a\in K[x]</math>의 [[분해체]]가 되는 <math>a\in K</math>가 존재한다.
* 다음과 같은 가환 그림의 텐서곱 <math>L\cong K\otimes_{K[x,x^{-1}]}K[x,x^{-1}]</math>이 성립하는 원소 <math>a\in K^\times</math>가 존재한다.
*:<math>\begin{matrix}
L&\leftarrow&K[x]\\
\uparrow&&\uparrow&\scriptstyle x\mapsto x^p-x\\
K&\underset{x\mapsto a}\leftarrow&K[x]
\end{matrix}</math>
* 다음 가환 그림이 [[올곱]]이 되게 하는 <math>K</math>-스킴 사상 <math>a\colon\operatorname{Spec}K\to\mathbb G_{\operatorname m}(K)</math>이 존재한다.
*:<math>\begin{matrix}
\operatorname{Spec}L&\to&\mathbb G_{\operatorname a}\\
\downarrow&&\downarrow&\scriptstyle\operatorname{Frob}-\operatorname{id}\\
\operatorname{Spec}K&\underset a\to&\mathbb G_{\operatorname a}
\end{matrix}</math>
여기서
* <math>\mathbb G_{\operatorname a}(K)=\operatorname{Spec}K[x]</math>은 <math>K</math> 위의 덧셈 [[군 스킴]]이다.
* <math>\operatorname{Frob}-\operatorname{id}\colon\mathbb G_{\operatorname a}(K)\to\mathbb G_{\operatorname a}(K)</math>는 [[프로베니우스 사상]]과 [[항등 사상]]의 차이다. 이는 [[다항식환]]의 [[자기 사상]] <math>\operatorname{eval}_{x\mapsto x^p-x}\colon K[x]\to K[x]</math>으로부터 정의된다.

표수가 <math>p</math>인 체 <math>K</math> 위에서 다음과 같은 [[군 스킴]]의 [[짧은 완전열]]이 존재하며, 이를 '''아르틴-슈라이어 완전열'''({{llang|en|Artin–Schreier exact sequence}})이라고 한다.
:<math>1\to(\mathbb Z/p)_{/K}\to\mathbb G_{\operatorname a}(K)\xrightarrow{\operatorname{Frob}-\operatorname{id}}\mathbb G_{\operatorname a}(K)\to1</math>
여기서
* <math>(\mathbb Z/p)_{/K}=\operatorname{Spec}K[x]/(x^p-x)</math>는 [[프로베니우스 사상]]의 [[고정점]]들로 구성된 [[군 스킴]]이다.

=== 아르틴-슈라이어-비트 이론 ===
'''아르틴-슈라이어-비트 이론'''은 <math>p</math>차 순환 확대에 적용되는 아르틴-슈라이어 이론을 <math>p^k</math>차에 대하여 일반화한 것이다.

'''아르틴-슈라이어-비트 이론'''에 따르면, 표수 <math>p>0</math>의 체 <math>K</math>의 [[체의 확대|확대]] <math>L/K</math>에 대하여 다음 조건들이 서로 [[동치]]이다.<ref name="Hazewinkel">{{서적 인용|mr=2553661
|last=Hazewinkel|first= Michiel
|chapter=Witt vectors. Part 1|title= Handbook of algebra. Volume 6|pages=319–472|publisher= Elsevier|날짜= 2009|arxiv=0804.3888|isbn=978-0-444-53257-2|bibcode=2008arXiv0804.3888H|doi=10.1016/S1570-7954(08)00207-6|editor1-first=Michiel|editor1-last=Hazewinkel|언어=en}}</ref>{{rp|§7}}<ref name="Sekiguchi">{{서적 인용|url=http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/pdf/1200-1.pdf|장=On the unification of Kummer and Artin–Schreier–Witt theories|저자=関口 力|총서=数理解析研究所講究録|권=1200|editor=伊原 康隆|쪽=1–12|제목=代数的整数論とその周辺|날짜=2001-04|출판사=[[교토 대학]]|언어=en}}</ref>{{rp|Theorem 1.2}}
* 확대 <math>L/K</math>가 <math>p^n</math>차 순환 확대이다.
* <math>L/K\cong K(f^{-1}(\vec a))</math>인 [[비트 벡터]] <math>\vec a\in\mathbb W_{n,p}(K)\setminus f(\mathbb W_{n,p}(K)</math>가 존재한다. 여기서 <math>f\colon\mathbb W_{n,p}\to\mathbb W_{n,p}</math>는 <math>f\colon(a_1,a_p,a_{p^2}\dots)\mapsto(a_1^p,a_p,a_{p^2}^p,\dots,a_{p^{n-1}}^p)-
(a_1,a_p,a_{p^2},\dots,a_{p^{n-1}})</math>이며, 여기서 <math>-</math>는 [[비트 벡터]]의 뺄셈이다 (성분별 뺄셈과 다르다). <math>K(f^{-1}(\vec a))</math>는 비트 벡터의 연산으로 정의되는 <math>n</math>개의 다항식 <math>(f(\vec x)-\vec a)_{p^i}\in K[x]\qquad(i\in\{0,1,\dots,n-1\}</math>들의 [[분해체]]를 뜻한다.
* 다음과 같은 가환 그림의 텐서곱 <math>L\cong K\otimes_{K[\vec x]}K[\vec x]</math>이 성립하는 원소 <math>a\in\mathbb W_{n,p}(K)</math>가 존재한다. (여기서 <math>\vec x=(x_0,x_1,\dots,x_{n-1})</math>는 [[비트 벡터]]의 성분으로 간주한 형식적 변수들이며, <math>\vec x^{(p)}-\vec x</math>에서 <math>-</math>는 [[비트 벡터]]로서의 뺄셈이며, <math>\vec x^{(p)}=(x_0^p,x_1^p,\dots,x_{n-1}^p)</math>는 [[프로베니우스 사상]]이다.)
*:<math>\begin{matrix}
L&\leftarrow&K[\vec x]\\
\uparrow&&\uparrow&\scriptstyle\vec x\mapsto\vec x^{(p)}-\vec x\\
K&\underset{\vec x\mapsto\vec a}\leftarrow&K[\vec x]
\end{matrix}</math>
* 다음 가환 그림이 [[올곱]]이 되게 하는 <math>K</math>-스킴 사상 <math>a\colon\operatorname{Spec}K\to\mathbb G_{\operatorname m}(K)</math>이 존재한다.
*:<math>\begin{matrix}
\operatorname{Spec}L&\to&\mathbb W_{n,p}(K)\\
\downarrow&&\downarrow&\scriptstyle(-)^{(p)}-\operatorname{id}\\
\operatorname{Spec}K&\underset a\to&\mathbb W_{n,p}(K)
\end{matrix}</math>
여기서
* <math>\mathbb W_{n,p}(K)</math>는 길이 <math>n+1</math>의 <math>p</math>진 [[비트 벡터]]의 군이다. 스킴으로서 이는 <math>n</math>차원 [[아핀 공간]] <math>\mathbb A_K^n=\operatorname{Spec}K[x_0,\dots,x_{n-1}]=\operatorname{Spec}[x_0,\dots,x_{n-1}]</math>이며, 그 위의 [[군 스킴]]의 구조는 <math>\vec x</math> 위의 [[비트 벡터]] 연산으로부터 유도된다. 특히, <math>n=0</math>일 경우 <math>\mathbb W_{0,p}(K)\cong\mathbb G_{\operatorname a}(K)</math>가 된다.
* <math>(-)^{(p)}-\operatorname{id}\colon\mathbb G_{\operatorname a}(K)\to\mathbb G_{\operatorname a}(K)</math>는 [[프로베니우스 사상]]과 [[항등 사상]]의 차이다. 이는 [[다항식환]] <math>K[\vec x]</math>의 [[자기 사상]] <math>\operatorname{eval}_{\vec x\mapsto\vec x^{(p)}-\vec x}\colon K[x]\to K[x]</math>으로부터 정의된다.

다음과 같은 [[짧은 완전열]]이 존재하며, 이를 '''아르틴-슈라이어-비트 완전열'''({{llang|en|Artin–Schreier–Witt exact sequence}})이라고 한다. 이는 아르틴-슈라이어 완전열의 일반화이다.
:<math>1\to(\mathbb Z/p^n)_{/K}\to\mathbb W_{n,p}(K)\to\xrightarrow{(-)^p-\operatorname{id}}\mathbb W_{n,p}(K)\to1</math>
여기서
* <math>(\mathbb Z/p^n)_{/K}=\operatorname{Spec}K[\vec x]/(\vec x^{(p)}-\vec x)</math>는 [[프로베니우스 사상]] <math>(-)^{(p)}\colon\mathbb W_{n,p}(K)\to\mathbb W_{n,p}(K)</math>의 [[고정점]]들로 구성된 [[군 스킴]]이다.

=== 유체론 ===
{{본문|유체론}}
쿠머 이론은 [[1의 거듭제곱근]]을 충분히 가지는 [[체 (수학)|체]]에 대해서만 적용된다. 만약 [[1의 거듭제곱근]]이 충분히 존재하지 않지만, 체가 [[대역체]] 또는 [[국소체]]인 경우, 그 아벨 확대들은 [[유체론]]을 통해 분류된다.

== 예 ==
대표적인 예로, [[원분체]]는 [[유리수체]]의 순환 확대이자 아벨 확대이다. 일반적으로, [[소수 (수론)|소수]] 차수의 [[갈루아 확대]]는 (소수 크기의 군은 [[순환군]] 밖에 없으므로) 순환 확대이다.

== 역사 ==
쿠머 이론은 [[에른스트 쿠머]]가 1840년대에 [[페르마의 마지막 정리]]를 연구하기 위하여 도입하였다.

이후 [[에밀 아르틴]]과 [[오토 슈라이어]]가 1927년에 아르틴-슈라이어 이론을 도입하였다.<ref>{{저널 인용 | last1=Artin | first1=Emil | author1-link=에밀 아르틴 | last2=Schreier | first2=Otto | title=Eine Kennzeichnung der reell abgeschlossenen Körper | year=1927 | 저널=Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg | issn=0025-5858 | 권=5 | 호=1 | pages=225–231 | doi=10.1007/BF02952522 | 언어=de}}</ref> [[에른스트 비트]]가 1936년에 [[비트 벡터]]의 개념을 도입하여 아르틴-슈라이어 이론을 아르틴-슈라이어-비트 이론으로 일반화하였다.<ref>{{저널 인용 | url=http://www.digizeitschriften.de/main/dms/img/?IDDOC=504725 | last1=Witt | first1=Ernst | author1-link = 에른스트 비트 | title=Zyklische Körper und Algebren der Characteristik p vom Grad p<sup>n</sup>. Struktur diskret bewerteter perfekter Körper mit vollkommenem Restklassenkörper der Charakteristik p<sup>n</sup> | 날짜=1936 | journal=Journal für Reine und Angewandte Mathematik | volume=176 | pages=126–140 | doi=10.1515/crll.1937.176.126|issn=0075-4102|언어=de}}</ref>

== 각주 ==
{{각주}}
* {{저널 인용|arxiv=1104.2222|제목=Sekiguchi-Suwa theory revisited|이름1=Ariane|성1=Mézard|이름2=Matthieu|성2=Romagny|이름3=Dajano|성3=Tossici|bibcode=2011arXiv1104.2222M|언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Cyclotomic extension}}
* {{eom|title=Kummer extension}}
* {{eom|title=Artin-Schreier theorem}}
* {{nlab|id=Kummer theory}}
* {{nlab|id= Kummer sequence}}
* {{nlab|id=Artin-Schreier sequence}}
* {{nlab|id=Kummer-Artin-Schreier-Witt exact sequence}}

{{전거 통제}}
{{위키데이터 속성 추적}}

[[분류:체론]]
[[분류:대수적 수론]]
[[분류:유체론]]