전치 행렬 문서 원본 보기

[[파일:Matrix transpose.gif|섬네일|어떤 행렬의 전치 행렬은 그 행렬을 주대각선을 기준으로 하여 뒤집어 얻을 수 있다. 똑같은 방법으로 한 번 더 뒤집으면 원래 행렬로 돌아온다.]]
[[선형대수학]]에서 '''전치 행렬'''(轉置行列, {{llang|en|transposed matrix}})은 행과 열을 교환하여 얻는 행렬이다. 즉, [[주대각선]]을 축으로 하는 반사 대칭을 가하여 얻는 행렬이다. 기호는 <math>A^\operatorname T</math>, <math>A^\top</math>, <math>^\operatorname tA</math>, <math>A'</math>, <math>A^\operatorname{tr}</math>.

== 정의 ==
<math>m\times n</math> 행렬 <math>M</math>의 '''전치 행렬''' <math>M^\operatorname T</math>은 다음과 같은 <math>n\times m</math> 행렬이다.
:<math>M^\operatorname T_{ij}=M_{ji}</math>
[[선형 변환]] <math>T\colon V\to W</math>의 '''전치 선형 변환'''({{llang|en|transposed linear map}}) <math>T^\operatorname T\colon W^*\to V^*</math>은 다음과 같다.
:<math>(T^\operatorname Tg)(v)=gTv\qquad\forall g\in W^*,\;v\in V</math>

== 성질 ==
=== 전치 행렬 ===
행렬의 전치는 [[대합 (수학)|대합]] [[선형 변환|선형]] 반대 동형이다. 즉, <math>m\times n</math> 행렬 <math>M,N</math> 및 스칼라 <math>c</math>에 대하여,
:<math>(M+N)^\operatorname T=M^\operatorname T+N^\operatorname T</math>
:<math>(cM)^\operatorname T=cM^\operatorname T</math>
:<math>M^{\operatorname T\operatorname T}=M</math>
가 성립하며, <math>m\times n</math> 행렬 <math>M</math> 및 <math>n\times p</math> 행렬 <math>N</math>에 대하여,
:<math>(MN)^\operatorname T=N^\operatorname TM^\operatorname T</math>
가 성립한다.

서로 전치 행렬의 [[계수 (선형대수학)|계수]]와 [[대각합]]과 [[행렬식]]은 서로 같다.
:<math>\operatorname{rank}M^\operatorname T=\operatorname{rank}M</math>
{{proof}}
:<math>\begin{align}\operatorname{rank}M^\operatorname T
&=m-\dim\ker M^\operatorname T\\
&=m-\dim\{MX\colon X\in K^n\}^\circ\\
&=\dim\{MX\colon X\in K^n\}\\
&=\operatorname{rank}M
\end{align}</math>
{{end proof}}
:<math>\operatorname{tr}M^\operatorname T=\operatorname{tr}M</math>
:<math>\det M^\operatorname T=\det M</math>
특히, <math>n\times n</math> 행렬 <math>M</math>과 그 전치 행렬의 가역성은 같으며, 이 둘이 [[가역 행렬]]일 경우 다음이 성립한다.
:<math>(M^\operatorname T)^{-1}=(M^{-1})^\operatorname T</math>

행렬 <math>M</math>을 반대각선을 축으로 반사하여 얻는 행렬은 다음과 같이 나타낼 수 있다.<ref>{{arXiv 인용|성1=Golyshev|이름1=Vasily|성2=Stienstra|이름2=Jan|전자문서=math/0701936|날짜=2007-01-31|제목=Fuchsian equations of type DN|언어=en}}</ref>
:<math>JM^\operatorname TJ\qquad(J_{ij}=\delta_{n+1-i,j})</math>

=== 전치 선형 변환 ===
[[선형 변환]] <math>T\colon V\to W</math>에 대하여, 다음이 성립한다.
:<math>\ker T^\operatorname T=T(V)^\circ</math>
{{proof}}
:<math>\begin{align}\ker T^\operatorname T
&=\{g\in W^*\colon T^\operatorname Tg=0\}\\
&=\{g\in W^*\colon gTv=0\forall v\in V\}\\
&=\{g\in W^*\colon gw=0\forall w\in T(V)\}\\
&=T(V)^\circ
\end{align}</math>
{{end proof}}
만약 <math>V</math>와 <math>W</math>가 유한 차원 벡터 공간일 경우, 반대로 다음 역시 성립한다.
:<math>T^\operatorname T(W^*)=(\ker T)^\circ</math>
{{proof}}
만약 <math>f\in T^\operatorname T(W^*)</math>라면, <math>f=T^\operatorname Tg</math>인 <math>g\in W^*</math>가 존재한다. 임의의 <math>v\in\ker T</math>에 대하여,
:<math>f(v)=gTv=g0=0</math>
이므로, <math>T^\operatorname T(W^*)\subseteq(\ker T)^\circ</math>이다. 또한,
:<math>\dim(\ker T)^\circ=\dim V-\dim\ker T=\operatorname{rank}T=\operatorname{rank}T^\operatorname T</math>
이므로, <math>T^\operatorname T(W^*)=(\ker T)^\circ</math>이다.
{{end proof}}
만약 <math>V</math>와 <math>W</math>가 유한 차원 벡터 공간일 경우, <math>T\colon V\to W</math>의 기저 <math>B\subseteq V</math> 및 <math>B'\subseteq W</math>에 대한 행렬이 <math>M</math>이라고 하면, 전치 선형 변환 <math>T^\operatorname T</math>의 [[쌍대 기저]] <math>{B'}^*\subseteq W^*</math>및 <math>B^*\subseteq V^*</math>에 대한 행렬은 <math>M^\operatorname T</math>이다.
{{proof}}
두 기저를 다음과 같이 쓰자.
:<math>B=\{e_1,\dots,e_n\}</math>
:<math>B'=\{e_1',\dots,e_n'\}</math>
또한 <math>T</math>의 <math>B,B'</math>에 대한 행렬을 <math>M</math>, <math>T^\operatorname T</math>의 <math>{B'}^*,B^*</math>에 대한 행렬을 <math>N</math>이라고 하자. 그렇다면,
:<math>M_{ij}=e_i^*Te_j=(T^\operatorname Te_i^*)(e_j)=N_{ji}</math>
이므로, <math>N=M^\operatorname T</math>이다.
{{end proof}}

== 예 ==
전치 행렬의 예는 다음과 같다.
* <math>\begin{pmatrix}1&2\end{pmatrix}^\operatorname T=\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}</math>
* <math>\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}^\operatorname T
=\begin{pmatrix}1&3\\2&4\end{pmatrix}</math>
* <math>\begin{pmatrix}1&2\\3&4\\5&6\end{pmatrix}^\operatorname T
=\begin{pmatrix}1&3&5\\2&4&6\end{pmatrix}</math>
* [[여인자 행렬]]의 전치 행렬은 [[고전적 수반 행렬]]이다.

== 같이 보기 ==
* [[상관행렬]]

== 각주 ==
{{각주}}

== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용|성1=Hoffman|이름1=Kenneth|성2=Kunze|이름2=Ray|제목=Linear algebra|url=https://archive.org/details/linearalgebra00hoff_0|언어=en|판=2|출판사=Prentice-Hall|위치=Englewood Cliffs, N. J.|날짜=1971|isbn=0-13-536797-2|mr=0276251|zbl=0212.36601|id=[[인터넷 아카이브|Internet Archive]] [https://archive.org/details/LinearAlgebraHoffmanAndKunze LinearAlge(…)]}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Transposed matrix}}
* {{매스월드|id=Transpose|title=Transpose}}
* {{nlab|id=transpose matrix|title=Transpose matrix}}
* {{플래닛매스|urlname=transpose|title=Transpose}}
* {{proofwiki|id=Definition:Transpose of Matrix|제목=Definition:Transpose of matrix}}
* {{proofwiki|id=Definition:Transpose of Linear Transformation|제목=Definition:Transpose of Linear Transformation}}
* {{proofwiki|id=Rank and Nullity of Transpose|제목=Rank and nullity of transpose}}
* {{proofwiki|id=Transpose of Matrix Product|제목=Transpose of matrix product}}
* {{proofwiki|id=Determinant of Transpose|제목=Determinant of transpose}}
* {{proofwiki|id=Transpose of Linear Transformation is a Linear Transformation|제목=Transpose of linear transformation is a linear transformation}}

{{선형대수학}}
{{위키데이터 속성 추적}}

[[분류:행렬]]