전치 행렬

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어떤 행렬의 전치 행렬은 그 행렬을 주대각선을 기준으로 하여 뒤집어 얻을 수 있다. 똑같은 방법으로 한 번 더 뒤집으면 원래 행렬로 돌아온다.

선형대수학에서 전치 행렬(轉置行列, 영어: transposed matrix)은 행과 열을 교환하여 얻는 행렬이다. 즉, 주대각선을 축으로 하는 반사 대칭을 가하여 얻는 행렬이다. 기호는 $A^{\mathrm{T}}$, $A^{\mathrm{\top }}$, ${}^{\mathrm{t}}A$, $A^{\prime }$, $A^{\mathrm{tr}}$.

정의

$m\times n$ 행렬 $M$의 전치 행렬 $M^{\mathrm{T}}$은 다음과 같은 $n\times m$ 행렬이다.

$M_{ij}^{\mathrm{T}}=M_{ji}$

선형 변환 $T:V\to W$의 전치 선형 변환(영어: transposed linear map) $T^{\mathrm{T}}:W^{*}\to V^{*}$은 다음과 같다.

$(T^{\mathrm{T}}g)(v)=gTv\mathrm{\forall }g\in W^{*},v\in V$

성질

전치 행렬

행렬의 전치는 대합 선형 반대 동형이다. 즉, $m\times n$ 행렬 $M,N$ 및 스칼라 $c$에 대하여,

$(M+N{)}^{\mathrm{T}}=M^{\mathrm{T}}+N^{\mathrm{T}}$

$(cM{)}^{\mathrm{T}}=c{M}^{\mathrm{T}}$

$M^{\mathrm{T}\mathrm{T}}=M$

가 성립하며, $m\times n$ 행렬 $M$ 및 $n\times p$ 행렬 $N$에 대하여,

$(MN{)}^{\mathrm{T}}=N^{\mathrm{T}}{M}^{\mathrm{T}}$

가 성립한다.

서로 전치 행렬의 계수와 대각합과 행렬식은 서로 같다.

$\mathrm{rank}{M}^{\mathrm{T}}=\mathrm{rank}M$

증명:

$\begin{array}{cc}\mathrm{rank}{M}^{\mathrm{T}}& =m-\dim \ker M^{\mathrm{T}}\\ & =m-\dim \{MX:X\in K^n{\}}^{\circ }\\ & =\dim \{MX:X\in K^n\}\\ & =\mathrm{rank}M\end{array}$

$\mathrm{tr}{M}^{\mathrm{T}}=\mathrm{tr}M$

$\det M^{\mathrm{T}}=\det M$

특히, $n\times n$ 행렬 $M$과 그 전치 행렬의 가역성은 같으며, 이 둘이 가역 행렬일 경우 다음이 성립한다.

$(M^{\mathrm{T}}{)}^{-1}=(M^{-1}{)}^{\mathrm{T}}$

행렬 $M$을 반대각선을 축으로 반사하여 얻는 행렬은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

$J{M}^{\mathrm{T}}J(J_{ij}={\delta }_{n+1-i,j})$

전치 선형 변환

선형 변환 $T:V\to W$에 대하여, 다음이 성립한다.

$\ker T^{\mathrm{T}}=T(V{)}^{\circ }$

증명:

$\begin{array}{cc}\ker T^{\mathrm{T}}& =\{g\in W^{*}:T^{\mathrm{T}}g=0\}\\ & =\{g\in W^{*}:gTv=0\mathrm{\forall }v\in V\}\\ & =\{g\in W^{*}:gw=0\mathrm{\forall }w\in T(V)\}\\ & =T(V{)}^{\circ }\end{array}$

만약 $V$와 $W$가 유한 차원 벡터 공간일 경우, 반대로 다음 역시 성립한다.

$T^{\mathrm{T}}(W^{*})=(\ker T{)}^{\circ }$

증명:

만약 $f\in T^{\mathrm{T}}(W^{*})$라면, $f=T^{\mathrm{T}}g$인 $g\in W^{*}$가 존재한다. 임의의 $v\in \ker T$에 대하여,

$f(v)=gTv=g0=0$

이므로, $T^{\mathrm{T}}(W^{*})\subseteq (\ker T{)}^{\circ }$이다. 또한,

$\dim (\ker T{)}^{\circ }=\dim V-\dim \ker T=\mathrm{rank}T=\mathrm{rank}{T}^{\mathrm{T}}$

이므로, $T^{\mathrm{T}}(W^{*})=(\ker T{)}^{\circ }$이다.

만약 $V$와 $W$가 유한 차원 벡터 공간일 경우, $T:V\to W$의 기저 $B\subseteq V$ 및 $B^{\prime }\subseteq W$에 대한 행렬이 $M$이라고 하면, 전치 선형 변환 $T^{\mathrm{T}}$의 쌍대 기저 ${B^{\prime }}^{*}\subseteq W^{*}$및 $B^{*}\subseteq V^{*}$에 대한 행렬은 $M^{\mathrm{T}}$이다.

증명:

두 기저를 다음과 같이 쓰자.

$B=\{e_1,\dots ,e_n\}$

$B^{\prime }=\{{e_1}^{\prime },\dots ,{e_n}^{\prime }\}$

또한 $T$의 $B,B^{\prime }$에 대한 행렬을 $M$, $T^{\mathrm{T}}$의 ${B^{\prime }}^{*},B^{*}$에 대한 행렬을 $N$이라고 하자. 그렇다면,

$M_{ij}=e_i^{*}T{e}_j=(T^{\mathrm{T}}{e}_i^{*})(e_j)=N_{ji}$

이므로, $N=M^{\mathrm{T}}$이다.

예

전치 행렬의 예는 다음과 같다.

• ${\left(\begin{array}{cc}1& 2\end{array}\right)}^{\mathrm{T}}=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right)$
• ${\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right)}^{\mathrm{T}}=\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ 2& 4\end{array}\right)$
• ${\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\\ 5& 6\end{array}\right)}^{\mathrm{T}}=\left(\begin{array}{ccc}1& 3& 5\\ 2& 4& 6\end{array}\right)$
• 여인자 행렬의 전치 행렬은 고전적 수반 행렬이다.

같이 보기

• 상관행렬

참고 문헌

• Hoffman, Kenneth; Kunze, Ray (1971). 《Linear algebra》 2판 (영어). Englewood Cliffs, N. J.: Prentice-Hall. ISBN 0-13-536797-2. MR 0276251. Zbl 0212.36601. Internet Archive LinearAlge(…). 

외부 링크

• “Transposed matrix” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Transpose” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research. 
• “Transpose matrix” (영어). 《nLab》. 
• “Transpose” (영어). 《PlanetMath》. 
• “Definition:Transpose of matrix” (영어). 《ProofWiki》. 
• “Definition:Transpose of Linear Transformation” (영어). 《ProofWiki》. 
• “Rank and nullity of transpose” (영어). 《ProofWiki》. 
• “Transpose of matrix product” (영어). 《ProofWiki》. 
• “Determinant of transpose” (영어). 《ProofWiki》. 
• “Transpose of linear transformation is a linear transformation” (영어). 《ProofWiki》.