초등각 장론 문서 원본 보기

[[양자장론]]에서 '''초등각 장론'''(超等角場論, {{llang|en|superconformal field theory}}, 약자 SCFT)은 [[등각 대칭]]과 [[초대칭]]을 동시에 갖는 [[양자장론]]이다.

== 4차원 초등각 장론 ==
4차원 초등각 장론은 4차원 초등각 대칭을 따르는 [[양자장론]]이며, 4차원 초대칭 양자장론의 [[재규격화군]]흐름의 적외선 극한으로 얻어진다.

=== 4차원 초등각 대수 ===
4차원에서, 초전하의 수가 <math>4\mathcal N</math>개인 초등각 대수는 <math>\operatorname{PSU}(2,2|\mathcal N)</math>이다.<ref name="Nahm">{{저널 인용|이름=Werner|성=Nahm|제목=Supersymmetries and their representations|저널=Nuclear Physics B|권=135|날짜=1978|쪽=149|url=http://cds.cern.ch/record/132743/files/197709213.pdf|언어=en|확인날짜=2015-06-16|보존url=https://web.archive.org/web/20180726120154/http://cds.cern.ch/record/132743/files/197709213.pdf|보존날짜=2018-07-26|url-status=dead}}</ref> 그 보손 성분은
:<math>\operatorname{PSU}(2,2)\times\operatorname U(\mathcal N)</math>
이다. 다만, <math>\mathcal N=4</math>일 경우 U(1) [[R대칭]]이 깨져,
:<math>\operatorname{PSU}(2,2)\times\operatorname{SU}(4)</math>
가 된다.<ref name="Nahm"/>

4차원 초등각 대수의 생성원 및 이들의 보손 대칭 표현은 다음과 같다.
{| class=wikitable
|-
! 생성원 || 기호 || <math>\Delta</math> || <math>\operatorname U(\mathcal N)</math> R대칭 표현 || 로런츠 표현 || 에르미트 수반
|-
| 운동량 || <math>P_\mu</math> || +1 || '''1''' || (½,½) || <math>(P_\mu)^\dagger=K^\mu</math>
|-
| 왼손 초전하 || <math>Q_\alpha^i</math> || +½ || <math>\mathcal N</math> || (½,0) || <math>(Q_\alpha^i)^\dagger=S^\alpha_i</math>
|-
| 오른손 초전하 || <math>\bar Q^{\dot\alpha i}</math> || +½ || <math>\bar{\mathcal N}</math> || (0,½) || <math>(\bar Q^{\dot\alpha}_i)^\dagger=\bar S_{\dot\alpha}^i</math>
|-
| 확대 || <math>D</math> || 0 || '''1''' || (0,0) || <math>D^\dagger=-D</math>
|-
| 각운동량 || <math>J_{\mu\nu}</math> || 0 || '''1''' || (1,0) ⊕ (0,1) || <math>(J_{\mu\nu})^\dagger=J^{\mu\nu}</math>
|-
| [[R대칭]] || <math>R^i{}_j</math> || 0 || <math>\mathfrak u(\mathcal N)</math> || (0,0) || <math>(R^i{}_j)^\dagger=R_j{}^i</math>
|-
| 왼손 특수 초전하 || <math>S^\alpha_i</math> || −½ || <math>\bar{\mathcal N}</math> || (½,0) || <math>(S^\alpha_i)^\dagger=Q_\alpha^i</math>
|-
| 오른손 특수 초전하 || <math>\bar S^{\dot\alpha i}</math> || −½ || <math>\mathcal N</math> || (0,½) || <math>(\bar S_{\dot\alpha}^i)^\dagger=\bar Q^{\dot\alpha}_i</math>
|-
| 특수 등각 변환 || <math>K_\mu</math> || −1 || '''1''' || (½,½) || <math>(K^\mu)^\dagger=P_\mu</math>
|}
<math>J_{\mu\nu}</math>, <math>P_\mu</math>, <math>K^\mu</math>, <math>D</math> 사이의 [[리 괄호]]는 [[등각 대칭]]과 같으며. 나머지 리 괄호들은 다음과 같다.<ref>{{서적 인용
  | last = Gates  | first = S. J.
  | last2 = Grisaru  | first2 = Marcus T.
  | last3 = Rocek  | first3 = M.
  | last4 = Siegel  | first4 = W.
  | 날짜 = 1983
  | title = Superspace, or one thousand and one lessons in supersymmetry
  | 총서 = Frontiers in Physics
  | 권 = 58
  | arxiv = hep-th/0108200
  | bibcode = 2001hep.th....8200G
  | 언어=en
}}</ref>
:<math>\{ Q_\alpha^i, \bar Q_{\dot\beta j}\}=2 \delta^i_j\sigma^\mu_{\alpha\dot\beta} P_\mu</math>
:<math>\{\bar S^{\dot\alpha}_i, S^{\beta j}\} = 2\delta_i^j\bar\sigma^{\mu\dot\alpha\dot\beta}K_\mu</math>
:<math>\{Q^i_\alpha,S_j^\beta\} = \delta^i_j(\sigma^\mu\bar\sigma^\nu)_\alpha{}^\beta J_{\mu\nu} + \delta^\beta_\alpha (\frac32R^i_j+\delta^i_jD)</math>
:<math>\{\bar Q_{\dot\alpha i},\bar S^{\dot\beta i}\} = \delta_i^j(\bar\sigma^\mu \sigma^\nu)^{\dot\alpha}{}_{\dot\beta}J_{\mu\nu} + \delta^{\dot\beta}_{\dot\alpha}(\frac32R^i_j-\delta^i_jD)</math>
:<math>[K^\mu,Q_\alpha^i]=i\sigma^\mu_{\alpha\dot\beta}\bar S^{\dot\beta i}</math>
:<math>[K^\mu,\bar Q_{\dot\alpha}^i]=i\bar\sigma^{\mu\dot\alpha\beta}S_\beta^i</math>
:<math>[P^\mu,S_{\alpha i}]=i\sigma^\mu_{\alpha\dot\beta}\bar Q^{\dot\beta i}</math>
:<math>[P^\mu,\bar S^{\dot\alpha i}]=i\bar\sigma^{\mu\dot\alpha\beta}Q_\beta^i</math>
:<math>[P,Q]=[P,\bar Q]=[K,S]=[K,\bar S]=\{Q,Q\} = \{\bar Q, \bar Q\}=\{Q,\bar S\} = \{\bar Q, S\} = \{S,S\}=\{\bar S,\bar S\}=0</math>
여기서
:<math>P_{\alpha\dot\beta}=\sigma^\mu_{\alpha\dot\beta}P_\mu</math>
:<math>K_{\alpha\dot\beta}=\sigma^\mu_{\alpha\dot\beta}K_\mu</math>
이다.

=== 표현 ===
4차원 초등각 장론에서의 1차 등각장은 R대칭 표현과 등각 무게 <math>\Delta</math> 및 로런츠 표현에 의하여 결정된다. 유니터리 초등각 장론의 경우 이 값들에 대하여 '''유니터리 하한'''({{llang|en|unitarity bound}})이라는 부등식들이 존재한다.<ref>{{저널 인용|arxiv=hep-th/9712074|제목=Restrictions imposed by superconformal invariance on quantum field theories|저널=Advances in Theoretical and Mathematical Physics|권=2|쪽=781-846|날짜=1998|이름=Shiraz|성=Minwalla|언어=en}}</ref>

== 3차원 초등각 장론 ==
3차원 초등각 대수는 <math>\mathfrak{osp}(\mathcal N|4)</math>이며, 그 보손 부분군은
:<math>\operatorname{SO}(\mathcal N)\times\operatorname{Sp}(4,\mathbb R)\cong\operatorname{SO}(\mathcal N)\times\operatorname{Spin}^+(3,2)</math>
이다. 즉, [[R대칭]]군은 <math>\operatorname{SO}(\mathcal N)</math>이다.<ref>{{저널 인용|제목=Superconformal symmetry in three dimensions|성=Park|이름=Jeong-Hyuck|arxiv=hep-th/9910199|doi=10.1063/1.1290056|저널=Journal of Mathematical Physics|권=41|호=10|날짜=2000-10|쪽=7129–7161|bibcode=2000JMP....41.7129P|언어=en}}</ref>

== 2차원 초등각 장론 ==
{{본문|1=2차원 𝒩=1 초등각 장론}}
{{본문|1=2차원 𝒩=2 초등각 장론}}
2차원 초등각 대수는 [[비라소로 대수]]를 포함하므로 무한 차원의 [[리 초대수]]이며, 이에 따라 2차원 초등각 장론들은 여러 특수한 성질들을 갖는다.

== 성질 ==
4차원 <math>\mathcal N=1</math> 초등각 장론의 R전하 및 등각 무게는 '''<math>a</math>-최대화'''({{llang|en|<math>a</math>-maximization}})라는 방법으로 계산할 수 있다.<ref>{{저널 인용|제목=The exact superconformal R-symmetry maximizes <math>a</math>|이름=Kenneth|성=Intriligator|이름2=Brian|성2=Wecht|arxiv=hep-th/0304128|doi=10.1016/S0550-3213(03)00459-0|언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용|arxiv=hep-th/0402084|제목=
Exploring the 4d Superconformal Zoo|이름=Kenneth|성=Intriligator|이름2=Brian|성2=Wecht|언어=en}}</ref> 즉, 이들 값들은 항상 [[대수적 수]]이다.

== 예 ==
[[𝒩=4 초대칭 양-밀스 이론|<math>\mathcal N=4</math> 초대칭 양-밀스 이론]]은 4차원 <math>\mathcal N=4</math> 초등각 장론이며, 이는 [[D3-막]]의 세계부피 이론이다. [[6차원 (2,0) 초등각 장론]]을 [[리만 곡면]]에 [[축소화]]하면, '''𝒮류 이론'''({{llang|en|theories of class 𝒮}})이라는 <math>\mathcal N=2</math> 초등각 장론들을 얻는다.<ref>{{저널 인용|제목=Wall-crossing, Hitchin systems, and the WKB approximation|이름=Davide|성=Gaiotto|공저자=Gregory W. Moore, Andrew Neitzke|arxiv=0907.3987|bibcode=2009arXiv0907.3987G|doi=10.1016/j.aim.2012.09.027|저널=Advances in Mathematics|권=234|날짜=2013-02-15|쪽=239–403|issn=0001-8708|언어=en}}</ref> 4차원 <math>\mathcal N=1</math> 초등각 장론에 대하여서는 [[자이베르그 이중성]]이라는 이중성이 존재한다.

3차원에서는 [[베스-추미노 모형]]이 [[재규격화군]] 흐름의 [[고정점]]을 만나, 초등각 장론을 이룬다.<ref name="West">{{저널 인용
  | last = West
  | first = Peter C.
  | title = Introduction to rigid supersymmetric theories
  | year = 1997
  | arxiv = hep-th/9805055
}}</ref> 그러나 4차원에서는 베스-추미노 모형의 적외선 극한은 자유 이론이다.

6차원에서는 [[6차원 (2,0) 초등각 장론]]이 존재한다. 이는 [[M5-막]]의 세계부피 이론이다.

== 같이 보기 ==
* [[등각 대칭]]
* [[2차원 𝒩=1 초등각 장론]]
* [[초대칭 대수]]
== 각주 ==
{{각주}}
* {{저널 인용|이름=Steven|성=Shnider|제목=The superconformal algebra in higher dimensions|저널=Letters in Mathematical Physics|날짜=1988-11|권=16|호=4|쪽=377–383|doi=10.1007/BF00402046|언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{nlab|id=SCFT}}
* {{웹 인용|url=http://bolvan.ph.utexas.edu/~vadim/Classes/2009f/SCA.pdf|제목=Conformal and superconformal symmetries|이름=Vadim|성=Kaplunovsky|날짜=2009|언어=en|확인날짜=2015-06-16|보존url=https://web.archive.org/web/20150326194020/http://bolvan.ph.utexas.edu/~vadim/Classes/2009f/SCA.pdf|보존날짜=2015-03-26|url-status=dead}}
{{위키데이터 속성 추적}}

[[분류:등각 장론]]
[[분류:초대칭]]