클리퍼드 군 문서 원본 보기

[[이차 형식]] 이론에서, '''클리퍼드 군'''(Clifford群, {{llang|en|Clifford group}})은 [[클리퍼드 대수]]의 특별한 [[가역원]]들로 구성되는 [[군 (수학)|군]]이며, [[직교군]]의 특정한 [[군의 확대|확대]]이다.

== 정의 ==
=== 국소 동차 원소 ===
[[가환환]] <math>K</math>가 주어졌을 때, <math>\mathbb Z/2</math>-[[등급환|등급]] <math>K</math>-대수 <math>A</math>의 원소 <math>a\in A</math>에 대하여 다음 세 조건이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 원소를 '''국소 동차 원소'''({{llang|en|locally homogeneous element}})라고 한다.<ref name="HM">{{서적 인용|제목=Quadratic mappings and Clifford algebras|url=https://archive.org/details/quadraticmapping0000helm|성=Helmstetter|이름=Jacques|성2=Micali|이름2=Artibano|doi=10.1007/978-3-7643-8606-1|출판사=Birkhäuser|날짜=2008|isbn=978-3-7643-8605-4|언어=en}}</ref>{{rp|233, Lemma 5.1.4}}<ref name="Knus">{{서적 인용|제목=Quadratic and hermitian forms over rings|이름=Max-Albert|성=Knus|doi=10.1007/978-3-642-75401-2|isbn=978-3-642-75403-6|총서=Grundlehren der mathematischen Wissenschaften|권=294|issn=0072-7830|날짜=1991|출판사=Springer|zbl=0756.11008|mr=1096299|언어=en}}</ref>{{rp|149, §III.6.1}}
* <math>(1-k)a\in A_0</math>, <math>ka\in A_1</math>인 원소 <math>k\in K</math>가 존재한다.
* 모든 [[소 아이디얼]] <math>\mathfrak p\in\operatorname{Spec}K</math>에 대하여, <math>a\in A\otimes_KK_{\mathfrak p}</math>는 동차 원소이다. 여기서 <math>\operatorname{Spec}K</math>는 [[환의 스펙트럼]]이며, <math>K_{\mathfrak p}</math>는 <math>K\setminus\mathfrak p</math>에서의 [[국소화 (환론)|가환환의 국소화]]이다.
* 모든 [[극대 아이디얼]] <math>\mathfrak m</math>에 대하여, <math>a\in A\otimes_KK_{\mathfrak m}</math>는 동차 원소이다. 여기서 <math>K_{\mathfrak m}</math>는 <math>K\setminus\mathfrak m</math>에서의 [[국소화 (환론)|가환환의 국소화]]이다.
(물론 <math>K</math>가 [[체 (수학)|체]]인 경우, 모든 국소 동차 원소는 동차 원소이다.) 국소 동차 원소들은 곱셈에 대하여 닫혀 있으며, 만약 [[가역원]]이라면 그 역원 역시 국소 동차 원소이다. 따라서 국소 동차 가역원들의 군 <math>A_{\text{lh}}^\times</math>은 <math>A</math>의 [[가역원군]] <math>A^\times</math>의 부분군을 이룬다.
:<math>A_0^\times\subseteq A_{\text{lh}}^\times\subseteq A^\times</math>

국소 동차 [[가역원]] <math>a\in A_{\text{lh}}^\times</math>가 주어졌으며, <math>k\in K</math>가 위 조건에 의하여 존재하는 환 원소라고 할 때, <math>A=(1-k)A\oplus kA</math>이며, 다음과 같은 <math>A</math>-[[자기 동형]]을 정의할 수 있다.<ref name="HM"/>{{rp|234}}<ref name="Knus"/>{{rp|158, §III.6.5}}
:<math>\Theta_a\colon A\to A</math>
:<math>\Theta_a\colon b\mapsto(1-k)xax^{-1}+kx\alpha(a)x^{-1}</math>
여기서
:<math>\alpha\colon (a_0+a_1)\mapsto(a_0-a_1)\qquad\forall a_0\in A_0,a_1\in A_1</math>
는 <math>\mathbb Z/2</math> [[등급환|등급]]에 의하여 정의되는 [[자기 동형]]이다.

=== 클리퍼드 군 ===
[[가환환]] <math>K</math> 위의 클리퍼드 대수 <math>\operatorname{Cliff}(V,Q)</math>의 '''클리퍼드 군'''({{llang|en|Clifford group}})
:<math>\Gamma(V,Q;K)\subseteq(\operatorname{Cliff}(V,Q))_{\text{lh}}^\times</math>
은 다음과 같은 원소 <math>x\in\operatorname{Cliff}(V,Q)</math>로 구성된, [[가역원군]]의 [[부분군]]이다.<ref name="Knus"/>{{rp|228, §IV.6.1}}
* <math>x</math>는 [[가역원]]이며 국소 동차 원소이다.
* <math>\Theta_x(V)\subseteq V</math>이다.
* 모든 <math>v\in V</math>에 대하여, <math>Q(\Theta_x(v))=Q(v)</math>이다.
즉, 클리퍼드 군은 클리퍼드 군의 [[가역원군]] 속의, [[직교군|직교 변환]]을 정의하는 원소이다.

[[가환환]] <math>K</math> 위의 클리퍼드 대수 <math>\operatorname{Cliff}(V,Q)</math>의 '''특수 클리퍼드 군'''({{llang|en|special Clifford group}})
:<math>\operatorname{S\Gamma}(V,Q;K)\subseteq\Gamma(V,Q;K)\subseteq\operatorname{Cliff}(V,Q)^\times</math>
은 다음과 같다.<ref name="Knus"/>{{rp|228, §IV.6.1}}
:<math>\operatorname{S\Gamma}(V,Q;K)=\Gamma(V,Q;K)\cap\operatorname{Cliff}_0(V,Q;K)</math>
즉, 특수 클리퍼드 군은 클리퍼드 군 가운데, [[홀수와 짝수|짝수]] 등급을 갖는 [[부분군]]이다.

=== 스핀 군과 핀 군 ===
클리퍼드 군 <math>\Gamma(V,Q;K)</math>의 원소 가운데, 다음과 같은 [[부분군]]을 '''[[핀 군]]'''({{llang|en|pin group}})이라고 한다.<ref name="Knus"/>{{rp|230, §IV.6.2}}
:<math>\operatorname{Pin}(V,Q;K)=\left\{x\in\Gamma(V,Q;K)\colon \alpha(x)x=1\right\}</math>
마찬가지로, 다음과 같은 [[부분군]]을 '''[[스핀 군]]'''({{llang|en|spin group}})이라고 한다.<ref name="Knus"/>{{rp|230, §IV.6.2}}
:<math>\operatorname{Spin}(V,Q;K)=\operatorname{Pin}(V,Q;K)\cap\operatorname{S\Gamma}(V,Q;K)</math>

== 성질 ==
임의의 가환환 <math>K</math> 위의 가군 <math>V</math> 위의 [[이차 형식]] <math>Q</math>에 대하여, 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.
:<math>\begin{matrix}
\operatorname{Spin}(V,Q;K)&\subset&\operatorname{Pin}(V,Q;K)\\
\cap&&\cap\\
\operatorname{S\Gamma}(V,Q;K)&\subset&\operatorname\Gamma(V,Q;K)\\
\cap&&\cap\\
\operatorname{Cliff}_0(V,Q;K)^\times&\subset&\operatorname{Cliff}(V,Q;K)^\times
\end{matrix}</math>

=== 체 위의 클리퍼드 군 ===
<math>K</math>가 [[체 (수학)|체]]라고 하고, <math>V</math>가 그 위의 유한 차원 벡터 공간이며, <math>Q</math>가 그 위의 [[비퇴화 이차 형식]]이라고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 가환 그림이 존재하며, 이 그림의 모든 행과 열은 <math>K</math>-[[대수군]]의 [[짧은 완전열]]을 이룬다.
:<math>\begin{matrix}
&&1&&1&&1\\
&&\downarrow&&\downarrow&&\downarrow\\
1&\to&\mu_2(K)&\to&K^\times&\to&(K^\times)^2&\to&1\\
&&\downarrow&&\downarrow&&\downarrow\\
1&\to&\operatorname{Pin}(V,Q;K)&\to&\operatorname\Gamma(V,Q;K)&\to&K^\times&\to&1\\
&&\downarrow&&\downarrow&&\downarrow\\
1&\to&\operatorname{\Omega}(V,Q;K)&\to&\operatorname O(V,Q;K)&\to&K^\times/(K^\times)^2&\to&1\\
&&\downarrow&&\downarrow&&\downarrow\\
&&1&&1&&1
\end{matrix}</math>
여기서
* <math>\mu_2(K)=\{a\in K^\times\colon a^2=1\}</math>은 <math>K</math>에서 [[1의 거듭제곱근|1의 제곱근]]의 [[대수군]]이다. 만약 <math>K</math>의 표수가 2라면 이는 [[자명군]]이며, 아니라면 이는 크기 2의 [[순환군]]이다.
* <math>(K^\times)^2\subseteq K^\times</math>는 <math>K^\times</math> 속의 제곱수들의 [[부분군]]이다. [[몫군]] <math>K^\times/(K^\times)^2</math>는 <math>K</math>의 [[제곱 유군]]이다.
* 준동형 <math>\Gamma(V,Q;K)\to K^\times</math>은 [[스피너]] 노름이다. 마찬가지로 <math>\operatorname O(V,Q;K)\to K^\times/(K^\times)^2</math> 역시 (클리퍼드 군의 원소의 동치류에 대하여 정의되는, [[제곱 유군]] 값을 갖는) 스피너 노름이다.
* <math>\operatorname\Omega(V,Q;K)\subseteq\operatorname O(V,Q;K)</math>는 스피너 노름이 1인 원소로 구성되는, [[직교군]] <math>\operatorname O(V,Q;K)</math>의 부분군이다.
* 준동형 <math>\operatorname\Gamma(V,Q;K)\to\operatorname O(V,Q;K)</math>는 클리퍼드 군의 <math>V</math> 위의 자연스러운 작용을 통해 정의된다. <math>\operatorname{Pin}(V,Q;K)\to\operatorname{\Omega}(V,Q;K)</math> 역시 마찬가지다.

위 그림에서 모두 짝수 등급 원소로 국한하여 다음과 같은 가환 그림을 얻을 수 있다.
:<math>\begin{matrix}
&&1&&1&&1\\
&&\downarrow&&\downarrow&&\downarrow\\
1&\to&\mu_2(K)&\to&K^\times&\to&(K^\times)^2&\to&1\\
&&\downarrow&&\downarrow&&\downarrow\\
1&\to&\operatorname{Spin}(V,Q;K)&\to&\operatorname{S\Gamma}(V,Q;K)&\to&K^\times&\to&1\\
&&\downarrow&&\downarrow&&\downarrow\\
1&\to&\operatorname{S\Omega}(V,Q;K)&\to&\operatorname{SO}(V,Q;K)&\to&K^\times/(K^\times)^2&\to&1\\
&&\downarrow&&\downarrow&&\downarrow\\
&&1&&1&&1
\end{matrix}</math>

(스)핀 군과 (특수) 직교군 사이의 관계는 다음과 같다.
:<math>\begin{matrix}
&&1&&1\\
&&\downarrow&&\downarrow\\
1&\to&\mu_2(K)&\to&\mu_2(K)&\to&1\\
&&\downarrow&&\downarrow&&\downarrow\\
1&\to&\operatorname{Spin}(V,Q;K)&\to&\operatorname{Pin}(V,Q;K)&\to&\mathbb Z/2&\to&1\\
&&\downarrow&&\downarrow&&\downarrow\\
1&\to&\operatorname{S\Omega}(V,Q;K)&\to&\operatorname{\Omega}(V,Q;K)&\to&\mathbb Z/2&\to&1\\
&&\downarrow&&\downarrow&&\downarrow\\
&&1&&1&&1
\end{matrix}</math>

마찬가지로, (특수) 클리퍼드 군과 (특수) 직교군 사이의 관계는 다음과 같다.
:<math>\begin{matrix}
&&1&&1\\
&&\downarrow&&\downarrow\\
1&\to&K^\times&\to&K^\times&\to&1\\
&&\downarrow&&\downarrow&&\downarrow\\
1&\to&\operatorname{S\Gamma}(V,Q;K)&\to&\operatorname{\Gamma}(V,Q;K)&\to&\mathbb Z/2&\to&1\\
&&\downarrow&&\downarrow&&\downarrow\\
1&\to&\operatorname{SO}(V,Q;K)&\to&\operatorname{O}(V,Q;K)&\to&\mathbb Z/2&\to&1\\
&&\downarrow&&\downarrow&&\downarrow\\
&&1&&1&&1
\end{matrix}</math>
여기서
* <math>\operatorname{\Gamma}(V,Q;K)\to\mathbb Z/2</math>는 딕슨 불변량이며, <math>\operatorname{Pin}(V,Q;K)\to\mathbb Z/2</math>는 그 제한이다.
* <math>\operatorname O(V,Q;K)\to\mathbb Z/2</math>는 (클리퍼드 군의 원소의 동치류에 대하여 잘 정의되는) 딕슨 불변량이며, <math>\operatorname{SO}(V,Q;K)\to\mathbb Z/2</math>는 그 제한이다.

=== 실수 계수 ===
<math>K=\mathbb R</math>이며, <math>V</math>가 <math>n</math>차원 [[실수 벡터 공간]]이며, <math>Q</math>가 [[비퇴화 이차 형식]]일 때, <math>\operatorname{Cliff}(p,q;\mathbb R)</math>의 [[가역원군]] <math>\operatorname{Cliff}(p,q;\mathbb R)^\times</math>은 <math>2^n</math>차원 [[리 군]]을 이룬다. 만약 <math>Q</math>가 [[음의 정부호]] [[이차 형식]]이라면, <math>\Gamma(0,n;\mathbb R)</math>는 두 개의 [[연결 성분]]을 가지며, 단위원을 포함하는 성분 <math>\Gamma_0(V,Q;\mathbb R)</math>는 [[부분군의 지표|지표]] 2의 [[부분군]]이다. 또한, 다음과 같은 군의 [[짧은 완전열]]이 존재한다.
:<math>1\to\mathbb R^\times\to\operatorname\Gamma(0,n;\mathbb R)\to\operatorname O(n;\mathbb R)\to1</math>
:<math>1\to\mathbb R^\times\to\operatorname{S\Gamma}(0,n;\mathbb R)\to\operatorname{SO}(n;\mathbb R)\to1</math>
즉, <math>\Gamma(0,n;\mathbb R)</math>는 <math>n(n-1)/2+1</math>차원 [[리 군]]이다. 전체 [[가역원군]] <math>\operatorname{Cliff}(0,n;\mathbb R)^\times</math>은 <math>2^n</math>차원 [[리 군]]이므로, 이는 [[여차원]] <math>2^n-n(n-1)/2-1</math>의 [[부분군]]이다.

=== 직교군과의 관계 ===
정의에 따라, 클리퍼드 군 <math>\Gamma(V,Q;K)</math>는 <math>V</math> 위의 <math>K</math>-선형 [[군의 표현|표현]]을 갖는다. 이 작용은 [[이차 형식]] <math>Q</math>를 보존하며, 따라서 [[직교군]]
:<math>\operatorname O(V,Q;K)=\{f\in\operatorname{End}_K(V)\colon Q\circ f=Q\}</math>
으로 가는 다음과 같은 [[군 준동형]]이 존재한다.
:<math>\Gamma(V,Q;K)\to\operatorname O(V,Q;K)</math>
클리퍼드 군 <math>\Gamma(V,Q;K)</math>는 <math>\{v\in V\colon Q(v)\in K^\times\}</math>를 [[부분 집합]]으로 포함한다 (<math>K^\times</math>는 <math>K</math>의 [[가역원군]]). 이 경우
:<math>v^{-1}=\frac v{Q(v)}</math>
:<math>vu\alpha(v)^{-1} = -\frac{vuv}{Q(v)}
=\frac{v^2u-v(Q(u+v)-Q(u)-Q(v))}{Q(v)}
=u-v\frac{Q(u+v)-Q(u)-Q(v)}{Q(v)}\qquad\forall u\in V</math>
이다. 즉, <math>v\in V</math>의 작용은 <math>u</math>를 축 <math>v</math>에 대하여 반사시키는 것이다.

=== 딕슨 불변량 ===
<math>K</math>가 [[체 (수학)|체]]이며, <math>V</math>가 유한 차원 벡터 공간이며, <math>Q</math>가 [[비퇴화 이차 형식]]이라고 하자. 핀 군 위에는 다음과 같은 '''딕슨 불변량'''({{llang|en|Dickson invariant}})이라는 [[군 준동형]]이 존재한다.
:<math>D\colon\operatorname{Pin}(V,Q;K)\to\mathbb Z/2</math>
:<math>D\colon x\mapsto \operatorname{rank}(u\mapsto u-xu\alpha(x)^{-1})\bmod2</math>
즉, 이는 <math>u</math>로 인하여 생성되는 <math>V</math>-[[선형 변환]] 빼기 1의 [[계수 (선형대수학)|계수]]이다. 만약 <math>K</math>의 [[체의 표수|표수]]가 2가 아니라면 딕슨 불변량은 다음과 같이 [[행렬식]]으로 주어진다.
:<math>D(x)=(-1)^{\det(u\mapsto xu\alpha(x)^{-1})}</math>
핀 군의, 딕슨 불변량이 0인 [[정규 부분군]]은 스핀 군과 같다.
:<math>\operatorname{Spin}(V,Q;K)=\ker D=\{x\in\operatorname{Pin}(V,Q;K)\colon D(x)=0\}</math>

=== 갈루아 코호몰로지와의 관계 ===
체 <math>K</math> 위의 유한 차원 벡터 공간 <math>V</math> 위의 [[비퇴화 이차 형식]] <math>Q</math>에 대하여, [[짧은 완전열]]
:<math>1\to\mu_2(K^{\operatorname{sep}})\to\operatorname{Pin}(V,Q;K^{\operatorname{sep}})\to\operatorname O(V,Q;K^{\operatorname{sep}})\to1</math>
에서 [[뱀 보조정리]]로 유도되는, [[군 코호몰로지]] <math>\operatorname H^\bullet(\operatorname{Gal}(K^{\operatorname{sep}}/K);-)</math>의 [[긴 완전열]]을 생각해 보자. (비아벨 군의 2차 이상 코호몰로지는 정의되지 않으므로, 이는 2차 코호몰로지에서 끝난다.) 이 [[긴 완전열]]은 다음과 같다.
:<math>1\to\mu_2(K)\to\operatorname{Pin}(V,Q;K)\to\operatorname O(V,Q;K)\to K^\times/(K^\times)^2 \to \operatorname H^1(\operatorname{Gal}(K^{\operatorname{sep}}/K);\operatorname{Pin}(V,Q;-))\to\operatorname H^1(\operatorname{Gal}(K^{\operatorname{sep}}/K);\operatorname O(V,Q;-))\to\operatorname H^2(\operatorname{Gal}(K^{\operatorname{sep}}/K);\mu_2(-))</math>
여기서 0차 갈루아 코호몰로지
:<math>\operatorname H^0(\operatorname{Gal}(K^{\operatorname{sep}}/K);\operatorname{Pin}(V,Q;-))=\operatorname{Pin}(V,Q;K)</math>
등은 단순히 <math>K</math> 계수의 유리점들의 군이며, 1차 갈루아 코호몰로지
:<math>\operatorname H^1(\operatorname{Gal}(K^{\operatorname{sep}}/K);\mu_2(-))\cong K^\times/(K^\times)^2</math>
는 [[제곱 유군]]이며, 연결 사상 <math>\operatorname O(V,Q;K)\to K^\times/(K^\times)^2</math>는 스피너 노름이 된다.

== 같이 보기 ==
* [[클리퍼드 대수]]
== 각주 ==
{{각주}}
* {{서적 인용 | last=Porteous | first=Ian R.  | title=Clifford algebras and the classical groups | publisher=Cambridge University Press | location=Cambridge | isbn=978-0-521-55177-9 | 날짜=1995-10|총서=Cambridge Studies in Advanced Mathematics|권=50|doi=10.1017/CBO9780511470912|mr=1369094|zbl=0855.15019|언어=en}}
* {{서적 인용 | 장=Quadratic forms and automorphic forms | 이름=Jonathan | 성=Hanke | zbl = 1282.11017 | arxiv=1105.5759 | 제목=Quadratic and higher degree forms | editor1-last=Alladi|editor1-first= Krishnaswami | editor2-last = Bhargava |editor2-first= Manjul | editor2-link=만줄 바르가바 | editor3-last= Savitt | editor3-first= David |editor4-last= Tiep|editor4-first= Pham Huu | isbn=978-1-4614-7487-6 | 총서 = Developments in Mathematics | 권=31 | 쪽=109-168 | 날짜=2013 | 출판사=Springer-Verlag | bibcode=2011arXiv1105.5759H | doi = 10.1007/978-1-4614-7488-3_5 | issn=1389-2177 |언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Clifford algebra}}
{{위키데이터 속성 추적}}

[[분류:리 군]]
[[분류:이차 형식]]