클리퍼드 군

이차 형식 이론에서, 클리퍼드 군(Clifford群, 영어: Clifford group)은 클리퍼드 대수의 특별한 가역원들로 구성되는 군이며, 직교군의 특정한 확대이다.

정의

국소 동차 원소

가환환 $K$ 가 주어졌을 때, $ℤ / 2$ -등급 $K$ -대수 $A$ 의 원소 $a \in A$ 에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 원소를 국소 동차 원소(영어: locally homogeneous element)라고 한다.^[1]^{:233, Lemma 5.1.4}^[2]^{:149, §III.6.1}

$(1 - k) a \in A_{0}$ , $k a \in A_{1}$ 인 원소 $k \in K$ 가 존재한다.
모든 소 아이디얼 $𝔭 \in Spec K$ 에 대하여, $a \in A \otimes_{K} K_{𝔭}$ 는 동차 원소이다. 여기서 $Spec K$ 는 환의 스펙트럼이며, $K_{𝔭}$ 는 $K ∖ 𝔭$ 에서의 가환환의 국소화이다.
모든 극대 아이디얼 $𝔪$ 에 대하여, $a \in A \otimes_{K} K_{𝔪}$ 는 동차 원소이다. 여기서 $K_{𝔪}$ 는 $K ∖ 𝔪$ 에서의 가환환의 국소화이다.

(물론 $K$ 가 체인 경우, 모든 국소 동차 원소는 동차 원소이다.) 국소 동차 원소들은 곱셈에 대하여 닫혀 있으며, 만약 가역원이라면 그 역원 역시 국소 동차 원소이다. 따라서 국소 동차 가역원들의 군 $A_{lh}^{\times}$ 은 $A$ 의 가역원군 $A^{\times}$ 의 부분군을 이룬다.

A_{0}^{\times} \subseteq A_{lh}^{\times} \subseteq A^{\times}

국소 동차 가역원 $a \in A_{lh}^{\times}$ 가 주어졌으며, $k \in K$ 가 위 조건에 의하여 존재하는 환 원소라고 할 때, $A = (1 - k) A \oplus k A$ 이며, 다음과 같은 $A$ -자기 동형을 정의할 수 있다.^[1]^:234^[2]^{:158, §III.6.5}

Θ_{a} : A \to A

Θ_{a} : b \mapsto (1 - k) x a x^{- 1} + k x α (a) x^{- 1}

여기서

α : (a_{0} + a_{1}) \mapsto (a_{0} - a_{1}) \forall a_{0} \in A_{0}, a_{1} \in A_{1}

는 $ℤ / 2$ 등급에 의하여 정의되는 자기 동형이다.

클리퍼드 군

가환환 $K$ 위의 클리퍼드 대수 $Cliff (V, Q)$ 의 클리퍼드 군(영어: Clifford group)

Γ (V, Q; K) \subseteq (Cliff (V, Q))_{lh}^{\times}

은 다음과 같은 원소 $x \in Cliff (V, Q)$ 로 구성된, 가역원군의 부분군이다.^[2]^{:228, §IV.6.1}

$x$ 는 가역원이며 국소 동차 원소이다.
$Θ_{x} (V) \subseteq V$ 이다.
모든 $v \in V$ 에 대하여, $Q (Θ_{x} (v)) = Q (v)$ 이다.

즉, 클리퍼드 군은 클리퍼드 군의 가역원군 속의, 직교 변환을 정의하는 원소이다.

가환환 $K$ 위의 클리퍼드 대수 $Cliff (V, Q)$ 의 특수 클리퍼드 군(영어: special Clifford group)

S Γ (V, Q; K) \subseteq Γ (V, Q; K) \subseteq Cliff (V, Q)^{\times}

은 다음과 같다.^[2]^{:228, §IV.6.1}

S Γ (V, Q; K) = Γ (V, Q; K) \cap {Cliff}_{0} (V, Q; K)

즉, 특수 클리퍼드 군은 클리퍼드 군 가운데, 짝수 등급을 갖는 부분군이다.

스핀 군과 핀 군

클리퍼드 군 $Γ (V, Q; K)$ 의 원소 가운데, 다음과 같은 부분군을 핀 군(영어: pin group)이라고 한다.^[2]^{:230, §IV.6.2}

Pin (V, Q; K) = {x \in Γ (V, Q; K) : α (x) x = 1}

마찬가지로, 다음과 같은 부분군을 스핀 군(영어: spin group)이라고 한다.^[2]^{:230, §IV.6.2}

Spin (V, Q; K) = Pin (V, Q; K) \cap S Γ (V, Q; K)

성질

임의의 가환환 $K$ 위의 가군 $V$ 위의 이차 형식 $Q$ 에 대하여, 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

\begin{matrix} Spin (V, Q; K) & \subset & Pin (V, Q; K) \\ \cap & \cap \\ S Γ (V, Q; K) & \subset & Γ (V, Q; K) \\ \cap & \cap \\ {Cliff}_{0} (V, Q; K)^{\times} & \subset & Cliff (V, Q; K)^{\times} \end{matrix}

체 위의 클리퍼드 군

$K$ 가 체라고 하고, $V$ 가 그 위의 유한 차원 벡터 공간이며, $Q$ 가 그 위의 비퇴화 이차 형식이라고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 가환 그림이 존재하며, 이 그림의 모든 행과 열은 $K$ -대수군의 짧은 완전열을 이룬다.

\begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ ↓ & ↓ & ↓ \\ 1 & \to & μ_{2} (K) & \to & K^{\times} & \to & (K^{\times})^{2} & \to & 1 \\ ↓ & ↓ & ↓ \\ 1 & \to & Pin (V, Q; K) & \to & Γ (V, Q; K) & \to & K^{\times} & \to & 1 \\ ↓ & ↓ & ↓ \\ 1 & \to & Ω (V, Q; K) & \to & O (V, Q; K) & \to & K^{\times} / (K^{\times})^{2} & \to & 1 \\ ↓ & ↓ & ↓ \\ 1 & 1 & 1 \end{matrix}

여기서

$μ_{2} (K) = {a \in K^{\times} : a^{2} = 1}$ 은 $K$ 에서 1의 제곱근의 대수군이다. 만약 $K$ 의 표수가 2라면 이는 자명군이며, 아니라면 이는 크기 2의 순환군이다.
$(K^{\times})^{2} \subseteq K^{\times}$ 는 $K^{\times}$ 속의 제곱수들의 부분군이다. 몫군 $K^{\times} / (K^{\times})^{2}$ 는 $K$ 의 제곱 유군이다.
준동형 $Γ (V, Q; K) \to K^{\times}$ 은 스피너 노름이다. 마찬가지로 $O (V, Q; K) \to K^{\times} / (K^{\times})^{2}$ 역시 (클리퍼드 군의 원소의 동치류에 대하여 정의되는, 제곱 유군 값을 갖는) 스피너 노름이다.
$Ω (V, Q; K) \subseteq O (V, Q; K)$ 는 스피너 노름이 1인 원소로 구성되는, 직교군 $O (V, Q; K)$ 의 부분군이다.
준동형 $Γ (V, Q; K) \to O (V, Q; K)$ 는 클리퍼드 군의 $V$ 위의 자연스러운 작용을 통해 정의된다. $Pin (V, Q; K) \to Ω (V, Q; K)$ 역시 마찬가지다.

위 그림에서 모두 짝수 등급 원소로 국한하여 다음과 같은 가환 그림을 얻을 수 있다.

\begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ ↓ & ↓ & ↓ \\ 1 & \to & μ_{2} (K) & \to & K^{\times} & \to & (K^{\times})^{2} & \to & 1 \\ ↓ & ↓ & ↓ \\ 1 & \to & Spin (V, Q; K) & \to & S Γ (V, Q; K) & \to & K^{\times} & \to & 1 \\ ↓ & ↓ & ↓ \\ 1 & \to & S Ω (V, Q; K) & \to & SO (V, Q; K) & \to & K^{\times} / (K^{\times})^{2} & \to & 1 \\ ↓ & ↓ & ↓ \\ 1 & 1 & 1 \end{matrix}

(스)핀 군과 (특수) 직교군 사이의 관계는 다음과 같다.

\begin{matrix} 1 & 1 \\ ↓ & ↓ \\ 1 & \to & μ_{2} (K) & \to & μ_{2} (K) & \to & 1 \\ ↓ & ↓ & ↓ \\ 1 & \to & Spin (V, Q; K) & \to & Pin (V, Q; K) & \to & ℤ / 2 & \to & 1 \\ ↓ & ↓ & ↓ \\ 1 & \to & S Ω (V, Q; K) & \to & Ω (V, Q; K) & \to & ℤ / 2 & \to & 1 \\ ↓ & ↓ & ↓ \\ 1 & 1 & 1 \end{matrix}

마찬가지로, (특수) 클리퍼드 군과 (특수) 직교군 사이의 관계는 다음과 같다.

\begin{matrix} 1 & 1 \\ ↓ & ↓ \\ 1 & \to & K^{\times} & \to & K^{\times} & \to & 1 \\ ↓ & ↓ & ↓ \\ 1 & \to & S Γ (V, Q; K) & \to & Γ (V, Q; K) & \to & ℤ / 2 & \to & 1 \\ ↓ & ↓ & ↓ \\ 1 & \to & SO (V, Q; K) & \to & O (V, Q; K) & \to & ℤ / 2 & \to & 1 \\ ↓ & ↓ & ↓ \\ 1 & 1 & 1 \end{matrix}

여기서

$Γ (V, Q; K) \to ℤ / 2$ 는 딕슨 불변량이며, $Pin (V, Q; K) \to ℤ / 2$ 는 그 제한이다.
$O (V, Q; K) \to ℤ / 2$ 는 (클리퍼드 군의 원소의 동치류에 대하여 잘 정의되는) 딕슨 불변량이며, $SO (V, Q; K) \to ℤ / 2$ 는 그 제한이다.

실수 계수

$K = ℝ$ 이며, $V$ 가 $n$ 차원 실수 벡터 공간이며, $Q$ 가 비퇴화 이차 형식일 때, $Cliff (p, q; ℝ)$ 의 가역원군 $Cliff (p, q; ℝ)^{\times}$ 은 $2^{n}$ 차원 리 군을 이룬다. 만약 $Q$ 가 음의 정부호 이차 형식이라면, $Γ (0, n; ℝ)$ 는 두 개의 연결 성분을 가지며, 단위원을 포함하는 성분 $Γ_{0} (V, Q; ℝ)$ 는 지표 2의 부분군이다. 또한, 다음과 같은 군의 짧은 완전열이 존재한다.

1 \to ℝ^{\times} \to Γ (0, n; ℝ) \to O (n; ℝ) \to 1

1 \to ℝ^{\times} \to S Γ (0, n; ℝ) \to SO (n; ℝ) \to 1

즉, $Γ (0, n; ℝ)$ 는 $n (n - 1) / 2 + 1$ 차원 리 군이다. 전체 가역원군 $Cliff (0, n; ℝ)^{\times}$ 은 $2^{n}$ 차원 리 군이므로, 이는 여차원 $2^{n} - n (n - 1) / 2 - 1$ 의 부분군이다.

직교군과의 관계

정의에 따라, 클리퍼드 군 $Γ (V, Q; K)$ 는 $V$ 위의 $K$ -선형 표현을 갖는다. 이 작용은 이차 형식 $Q$ 를 보존하며, 따라서 직교군

O (V, Q; K) = {f \in {End}_{K} (V) : Q \circ f = Q}

으로 가는 다음과 같은 군 준동형이 존재한다.

Γ (V, Q; K) \to O (V, Q; K)

클리퍼드 군 $Γ (V, Q; K)$ 는 ${v \in V : Q (v) \in K^{\times}}$ 를 부분 집합으로 포함한다 ( $K^{\times}$ 는 $K$ 의 가역원군). 이 경우

v^{- 1} = \frac{v}{Q (v)}

v u α (v)^{- 1} = - \frac{v u v}{Q (v)} = \frac{v^{2} u - v (Q (u + v) - Q (u) - Q (v))}{Q (v)} = u - v \frac{Q (u + v) - Q (u) - Q (v)}{Q (v)} \forall u \in V

이다. 즉, $v \in V$ 의 작용은 $u$ 를 축 $v$ 에 대하여 반사시키는 것이다.

딕슨 불변량

$K$ 가 체이며, $V$ 가 유한 차원 벡터 공간이며, $Q$ 가 비퇴화 이차 형식이라고 하자. 핀 군 위에는 다음과 같은 딕슨 불변량(영어: Dickson invariant)이라는 군 준동형이 존재한다.

D : Pin (V, Q; K) \to ℤ / 2

D : x \mapsto rank (u \mapsto u - x u α (x)^{- 1}) mod 2

즉, 이는 $u$ 로 인하여 생성되는 $V$ -선형 변환 빼기 1의 계수이다. 만약 $K$ 의 표수가 2가 아니라면 딕슨 불변량은 다음과 같이 행렬식으로 주어진다.

D (x) = (- 1)^{\det (u \mapsto x u α (x)^{- 1})}

핀 군의, 딕슨 불변량이 0인 정규 부분군은 스핀 군과 같다.

Spin (V, Q; K) = \ker D = {x \in Pin (V, Q; K) : D (x) = 0}

갈루아 코호몰로지와의 관계

체 $K$ 위의 유한 차원 벡터 공간 $V$ 위의 비퇴화 이차 형식 $Q$ 에 대하여, 짧은 완전열

1 \to μ_{2} (K^{sep}) \to Pin (V, Q; K^{sep}) \to O (V, Q; K^{sep}) \to 1

에서 뱀 보조정리로 유도되는, 군 코호몰로지 $H^{∙} (Gal (K^{sep} / K); -)$ 의 긴 완전열을 생각해 보자. (비아벨 군의 2차 이상 코호몰로지는 정의되지 않으므로, 이는 2차 코호몰로지에서 끝난다.) 이 긴 완전열은 다음과 같다.

1 \to μ_{2} (K) \to Pin (V, Q; K) \to O (V, Q; K) \to K^{\times} / (K^{\times})^{2} \to H^{1} (Gal (K^{sep} / K); Pin (V, Q; -)) \to H^{1} (Gal (K^{sep} / K); O (V, Q; -)) \to H^{2} (Gal (K^{sep} / K); μ_{2} (-))

여기서 0차 갈루아 코호몰로지

H^{0} (Gal (K^{sep} / K); Pin (V, Q; -)) = Pin (V, Q; K)

등은 단순히 $K$ 계수의 유리점들의 군이며, 1차 갈루아 코호몰로지

H^{1} (Gal (K^{sep} / K); μ_{2} (-)) ≅ K^{\times} / (K^{\times})^{2}

는 제곱 유군이며, 연결 사상 $O (V, Q; K) \to K^{\times} / (K^{\times})^{2}$ 는 스피너 노름이 된다.

같이 보기

클리퍼드 대수

각주

↑ ^가 ^나 Helmstetter, Jacques; Micali, Artibano (2008). 《Quadratic mappings and Clifford algebras》 (영어). Birkhäuser. doi:10.1007/978-3-7643-8606-1. ISBN 978-3-7643-8605-4.
↑ ^가 ^나 ^다 ^라 ^마 ^바 Knus, Max-Albert (1991). 《Quadratic and hermitian forms over rings》 (영어). Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 294. Springer. doi:10.1007/978-3-642-75401-2. ISBN 978-3-642-75403-6. ISSN 0072-7830. MR 1096299. Zbl 0756.11008.

Porteous, Ian R. (1995년 10월). 《Clifford algebras and the classical groups》 (영어). Cambridge Studies in Advanced Mathematics 50. Cambridge: Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9780511470912. ISBN 978-0-521-55177-9. MR 1369094. Zbl 0855.15019.
Hanke, Jonathan (2013). 〈Quadratic forms and automorphic forms〉 (영어). Alladi, Krishnaswami; Bhargava, Manjul; Savitt, David; Tiep, Pham Huu (편집). 《Quadratic and higher degree forms》. Developments in Mathematics 31. Springer-Verlag. 109-168쪽. arXiv:1105.5759. Bibcode:2011arXiv1105.5759H. doi:10.1007/978-1-4614-7488-3_5. ISBN 978-1-4614-7487-6. ISSN 1389-2177. Zbl 1282.11017.

외부 링크

“Clifford algebra” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.

[HM-1] 가 ^나 Helmstetter, Jacques; Micali, Artibano (2008). 《Quadratic mappings and Clifford algebras》 (영어). Birkhäuser. doi:10.1007/978-3-7643-8606-1. ISBN 978-3-7643-8605-4.

[Knus-2] 가 ^나 ^다 ^라 ^마 ^바 Knus, Max-Albert (1991). 《Quadratic and hermitian forms over rings》 (영어). Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 294. Springer. doi:10.1007/978-3-642-75401-2. ISBN 978-3-642-75403-6. ISSN 0072-7830. MR 1096299. Zbl 0756.11008.

[1]

[2]