폴리감마 함수 문서 원본 보기

== 정의 ==
[[파일:Polygamma function.png|섬네일|오른쪽|실수x에 대한 ψ(n)(x)의 . 오렌지가 디 감마 함수, 노란 색이 트리 감마 함수, 녹색이 테트라 감마 함수, 빨강이 펜타 감마 함수, 파랑이 헥사 감마 함수에 대응한다''x''ψ<sup>(n)</sup>(''x'')]]
[[파일:Complex Polygamma 0.jpg|오른쪽|섬네일|복소 평면상에서의 디감마 함수입니다ψ(z)]]
[[파일:Complex Polygamma 1.jpg|오른쪽|섬네일|복소평면상에서의 트리감마함수입니다.ψ<sup>(1)</sup>(z)]]
[[파일:Complex Polygamma 2.jpg|오른쪽|섬네일|복소평면상에서의 테트라감마함수입니다.ψ<sup>(2)</sup>(z)]]
[[파일:Complex Polygamma 3.jpg|오른쪽|섬네일|펜타감마 함수, 복소 평면 상에서의 펜타감마 함수입니다.ψ<sup>(3)</sup>(z)]]

[[감마함수#함수 방정식|감마 함수의 미분]]은 다음과 같이 폴리감마 함수(polygamma function) <math>\psi_{n}(z)</math>로 주어진다.

:<math>\psi_0(z)</math>은 <math>\psi^{(0)}(z)</math>으로도 표기한다.

이것은 폴리감마 함수중 첫번째 함수인 디감마 함수이다.

:<math>  {{\psi_{n}(z)}} = {d^{n+1}\over{d z^{n+1}} }\ln \Gamma(z) </math>
:<math> \;\; = {d^{n}\over{d z^{n}} } {{\Gamma'(z)}\over{\Gamma(z)}} </math>
:<math> \;\; = {d^{n}\over{d z^{n}} }  \psi_0(z)</math>

=== [[레온하르트 오일러|오일러]]의 감마함수 ===
:<math>\Gamma(z)=\lim_{n\to\infty}\frac{n^zn!}{\displaystyle\prod_{k=0}^n (z+k)} \!\;</math>

=== [[카를 프리드리히 가우스|가우스]]의 감마함수 ===
:<math>\Gamma(z)={1 \over z}\prod_{k=1}^{\infty} {{\left( 1+{1 \over k} \right)^z}\over{1 + {z \over k}}}</math>

:<math>\therefore \;\Gamma'(z)=\psi_0(z) \Gamma(z)</math>
:<math>\psi_0(z)=\psi(z) = {{\Gamma'(z)}\over{\Gamma(z)}} </math>

* <math>  - \Gamma' (1)= \gamma = - \psi_0(1) </math>
:<math>\gamma = \lim_{n\to\infty } \left(\sum_{k=1}^n {1 \over k}  - \ln n \right)=\sum_{m=2}^{\infty} (-1)^m {{\zeta(m)}\over{m} }\;\; (\gamma \;</math>[[오일러-마스케로니 상수]] <math> ,\; \zeta \; </math>[[리만 제타 함수]] <math>)</math>

* <math>m > 0</math>에서 감마 함수의 미분
:<math>\Gamma'(m+1) = m!\cdot\left(  - \gamma + \sum_{k=1}^m  {{1}\over{k}} \right)</math>

* <math>\sum_{z=1}^\infin (\frac{1}{z} -\log_e(\frac{z+1}{z})) =\gamma </math>

== 디감마 함수(Digamma function) ==
디감마 함수는 감마 함수의 미분으로 정의된다.
: <math>\psi_{n}(z)</math>에서 <math>n=0</math>
디감마 함수는 폴리감마 함수중 첫번째 함수로 주어진다.

:<math>  {{\psi_{0}(z)}}  </math>
:<math> = {{\psi_{}(z)}}  </math>

== 트리감마 함수(Trigamma function) ==
: <math>\psi_{n}(z)</math>
: <math>n=1</math>
:<math>  {{\psi_{1}(z)}}  </math>

=== [[로랑 급수]]의 점근적 확장 표현 ===
: <math> \psi_1(z) = \frac{1}{z} + \frac{1}{2z^2} + \sum_{k=1}^{\infty}\frac{B_{2k}}{z^{2k+1}}  = \sum_{k=0}^{\infty}\frac{B_k}{z^{k+1}} </math>
:<math> B </math>는 [[베르누이 수]]

<!-- 
* [[후르비츠 제타 함수]]의 특수한 경우
:<math>  {{\psi_{1}(z)}} = \zeta(2,z) </math>  -->

== 감마 함수 미분의 [[급수 (수학)|급수]] 표현과 폴리감마 함수 ==
:<math>\psi^{(n)}(z) = (-1)^{n+1}\, n! \sum_{k=0}^\infty { {1} \over {(z+k)^{n+1}} }</math>
:<math>\psi^{(0)}(z) = (-1)^{0+1}\, 0! \sum_{k=0}^\infty { {1} \over {(z+k)^{0+1}} }</math>
:<math>\psi^{(0)}(z) = -1 \sum_{k=0}^\infty { {1} \over {(z+k)} }</math>
:<math>\psi^{(0)}(1) = -1 \sum_{k=0}^\infty { {1} \over {(1+k)} }</math>

:<math>\Gamma(z)={1 \over z}\prod_{k=1}^{\infty} {{\left( 1+{1 \over k} \right)^z}\over{1 + {z \over k}}}</math>
:<math>\Gamma(1)={1 \over 1}\prod_{k=1}^{\infty} {{\left( 1+{1 \over 1} \right)^1}\over{1 + {1 \over 1}}}</math>
:<math>\Gamma(1)=1</math>

:<math>\therefore \;\Gamma'(z)=\psi_0(z) \Gamma(z)</math>
:<math> \;\Gamma'(1)=\psi_0(1) \Gamma(1)</math>
:<math> \;\Gamma'(1)=\psi_0(1) \cdot 1</math>
* [[후르비츠 제타 함수]] 표현
:<math>\psi^{(n)}(z) = (-1)^{n+1}\, n!\, \zeta (n+1,z)</math>

<!-- 
*감마 함수의 <math>n</math>차 미분
:<math>{d^{n} \over (d z)^{n}}\,\Gamma(z) = \int_0^\infty t^{z-1} e^{-t} \ln^{n} t\,dt</math>
-->

== 큐-폴리감마 함수(q-polygamma function) ==
큐-폴리감마 함수는 폴리감마 함수가 [[큐-아날로그]]화 된것이다.

:<math>\psi_{q}^{(n)} (z)=  {{\partial^{n}\psi_{q}(z) }\over{\partial z^{n}}}</math>
:<math>\psi_q(z) = {{\Gamma'_q(z)}\over{\Gamma_q(z)}} \;\;\; ,  z>0</math>

* 큐 감마함수(q gamma function)
:<math>f(x+1) = {{1-q^z}\over{1-q}}f(x)</math>
:<math>q \in \left( 0,1 \right)</math> [[구간]] 예약
:<math>f(1) =1</math>
:<math></math>
:<math>\log f(x) ,x>0</math>
:<math>f(x)= \Gamma_q (x)</math>
:<math>\therefore  \Gamma_q(z)=  {{(q;q)\infty}\over{(q^z;q)\infty}}(1-q)^{1-z}\;\;\;</math> [[큐-포흐하머 기호]]<math>\; (q;q)\infty</math>
:<math></math>:<math></math>:<math></math>:<math></math>

== 같이 보기 ==
* [[감마함수]]
* [[람베르트 급수]]
* [[에르되시-보와인 상수]]
* [[큐-아날로그]]
* [[디리클레 L-함수]]

{{위키데이터 속성 추적}}

[[분류:특수 함수]]
[[분류:감마 함수 및 관련 함수]]