폴리감마 함수

정의

파일:Polygamma function.png

실수x에 대한 ψ(n)(x)의 . 오렌지가 디 감마 함수, 노란 색이 트리 감마 함수, 녹색이 테트라 감마 함수, 빨강이 펜타 감마 함수, 파랑이 헥사 감마 함수에 대응한다xψ⁽ⁿ⁾(x)

섬네일을 만드는 중 오류 발생:

복소 평면상에서의 디감마 함수입니다ψ(z)

파일:Complex Polygamma 1.jpg

복소평면상에서의 트리감마함수입니다.ψ⁽¹⁾(z)

파일:Complex Polygamma 2.jpg

복소평면상에서의 테트라감마함수입니다.ψ⁽²⁾(z)

파일:Complex Polygamma 3.jpg

펜타감마 함수, 복소 평면 상에서의 펜타감마 함수입니다.ψ⁽³⁾(z)

감마 함수의 미분은 다음과 같이 폴리감마 함수(polygamma function) ${\psi }_n(z)$로 주어진다.

${\psi }_0(z)$은 ${\psi }^{(0)}(z)$으로도 표기한다.

이것은 폴리감마 함수중 첫번째 함수인 디감마 함수이다.

${\psi }_n(z)=\frac{d^{n+1}}{d{z}^{n+1}}\ln \Gamma (z)$

$=\frac{d^n}{d{z}^n}\frac{{\Gamma }^{\prime }(z)}{\Gamma (z)}$

$=\frac{d^n}{d{z}^n}{\psi }_0(z)$

오일러의 감마함수

$\Gamma (z)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{n^{z}n!}{\prod _{k=0}^n(z+k)}$

가우스의 감마함수

$\Gamma (z)=\frac{1}{z}\prod _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{{(1+\frac{1}{k})}^z}{1+\frac{z}{k}}$

$\therefore {\Gamma }^{\prime }(z)={\psi }_0(z)\Gamma (z)$

${\psi }_0(z)=\psi (z)=\frac{{\Gamma }^{\prime }(z)}{\Gamma (z)}$

• $-{\Gamma }^{\prime }(1)=\gamma =-{\psi }_0(1)$

$\gamma =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(\sum _{k=1}^n\frac{1}{k}-\ln n)=\sum _{m=2}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^m\frac{\zeta (m)}{m}(\gamma$오일러-마스케로니 상수 $,\zeta$리만 제타 함수 $)$

• $m>0$에서 감마 함수의 미분

${\Gamma }^{\prime }(m+1)=m!\cdot (-\gamma +\sum _{k=1}^m\frac{1}{k})$

• $\sum _{z=1}^{\mathrm{\infty }}(\frac{1}{z}-{\log }_e(\frac{z+1}{z}))=\gamma$

디감마 함수(Digamma function)

디감마 함수는 감마 함수의 미분으로 정의된다.

${\psi }_n(z)$에서 $n=0$

디감마 함수는 폴리감마 함수중 첫번째 함수로 주어진다.

${\psi }_0(z)$

$={\psi }_{}(z)$

트리감마 함수(Trigamma function)

${\psi }_n(z)$

$n=1$

${\psi }_1(z)$

로랑 급수의 점근적 확장 표현

${\psi }_1(z)=\frac{1}{z}+\frac{1}{2z^2}+\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{B_{2k}}{z^{2k+1}}=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{B_k}{z^{k+1}}$

$B$는 베르누이 수

감마 함수 미분의 급수 표현과 폴리감마 함수

${\psi }^{(n)}(z)=(-1{)}^{n+1}n!\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(z+k{)}^{n+1}}$

${\psi }^{(0)}(z)=(-1{)}^{0+1}0!\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(z+k{)}^{0+1}}$

${\psi }^{(0)}(z)=-1\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(z+k)}$

${\psi }^{(0)}(1)=-1\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(1+k)}$

$\Gamma (z)=\frac{1}{z}\prod _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{{(1+\frac{1}{k})}^z}{1+\frac{z}{k}}$

$\Gamma (1)=\frac{1}{1}\prod _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{{(1+\frac{1}{1})}^1}{1+\frac{1}{1}}$

$\Gamma (1)=1$

$\therefore {\Gamma }^{\prime }(z)={\psi }_0(z)\Gamma (z)$

${\Gamma }^{\prime }(1)={\psi }_0(1)\Gamma (1)$

${\Gamma }^{\prime }(1)={\psi }_0(1)\cdot 1$

• 후르비츠 제타 함수 표현

${\psi }^{(n)}(z)=(-1{)}^{n+1}n!\zeta (n+1,z)$

큐-폴리감마 함수(q-polygamma function)

큐-폴리감마 함수는 폴리감마 함수가 큐-아날로그화 된것이다.

${\psi }_q^{(n)}(z)=\frac{{\partial }^n{\psi }_q(z)}{\partial z^n}$

${\psi }_q(z)=\frac{\Gamma {\text{'}}_q(z)}{{\Gamma }_q(z)},z>0$

• 큐 감마함수(q gamma function)

$f(x+1)=\frac{1-q^z}{1-q}f(x)$

$q\in (0,1)$ 구간 예약

$f(1)=1$

${\displaystyle }$

$\log f(x),x>0$

$f(x)={\Gamma }_q(x)$

$\therefore {\Gamma }_q(z)=\frac{(q;q)\mathrm{\infty }}{(q^z;q)\mathrm{\infty }}(1-q{)}^{1-z}$ 큐-포흐하머 기호$(q;q)\mathrm{\infty }$

${\displaystyle }$:${\displaystyle }$:${\displaystyle }$:${\displaystyle }$

같이 보기

• 감마함수
• 람베르트 급수
• 에르되시-보와인 상수
• 큐-아날로그
• 디리클레 L-함수