P-군 문서 원본 보기

{{DISPLAYTITLE:''p''-군}}
[[군론]]에서 '''''p''-군'''({{llang|en|''p''-group}})은 모든 원소의 위수가 [[소수 (수론)|소수]] <math>p</math>의 거듭제곱인 [[군 (수학)|군]]이다.

== 정의 ==
<math>p</math>가 [[소수 (수론)|소수]]라 하자. '''<math>p</math>-군'''은 모든 원소의 위수가 [[소수 (수론)|소수]] <math>p</math>의 거듭제곱인 [[군 (수학)|군]]이다. 즉, 군 <math>G</math>의 모든 원소 <math>g\in G</math>에 대하여,
:<math>g^{p^{n(g)}}=1</math>
인 <math>n(g)\in\mathbb N</math>이 존재할 경우, <math>G</math>를 <math>p</math>-군이라고 한다.

== 성질 ==
[[유한군|유한]] <math>p</math>-군의 크기는 항상 <math>p</math>의 거듭제곱이다. 반대로, 크기가 <math>p</math>의 거듭제곱인 유한군은 항상 <math>p</math>-군이다.

[[번사이드 정리]]에 따라, 유한 <math>p</math>-군은 항상 [[가해군]]이다. 사실, 유한 <math>p</math>-군은 항상 [[멱영군]]이며, 반대로 유한 [[멱영군]]은 항상 (서로 다른 <math>p</math>에 대한) <math>p</math>-군들의 [[직접곱]]이다. <math>a\ge2</math>에 대하여, 크기가 <math>p^a</math>인 유한 <math>p</math>-군의 멱영류는 <math>a-1</math> 이하이다.

[[자명군]]이 아닌 유한 <math>p</math>-군은 항상 자명하지 않은 [[군의 중심|중심]]을 갖는다.

유한 <math>p</math>-군의 [[프라티니 부분군]]에 대한 몫군은 크기 <math>p</math>의 [[순환군]]들의 [[직접곱]](즉, <math>\mathbb F_p</math>-[[벡터 공간]]의 덧셈군)이다.

== 분류 ==
유한 <math>p</math>-군은 크기 <math>p^n</math>에 따라 분류할 수 있다. <math>n\le 6</math>인 경우는 모두 분류되었고, <math>n\ge7</math>인 경우는 가짓수가 매우 많아 나열하기 힘들다.
{| class="wikitable"
|-
! ''n''=log<sub>''p''</sub><nowiki>|</nowiki>''G''<nowiki>|</nowiki> !! [[아벨 군|아벨]] ''p''-군 !! 비아벨 ''p''-군
|-
| 0 || [[자명군]] 1 || (없음)
|-
| 1 || [[순환군]] <math>\mathbb Z/p</math> || (없음)
|-
| 2 || <math>(\mathbb Z/p)^{\oplus2}</math>, <math>\mathbb Z/p^2</math> || (없음)
|-
| 3 (<math>p>2</math>) || <math>(\mathbb Z/p)^{\oplus3}</math>, <math>\mathbb Z/p^2\oplus\mathbb Z/p</math>, <math>\mathbb Z/p^3</math> || <math>(\mathbb Z/p)^{\oplus2}\rtimes\mathbb Z/p</math>, <math>(\mathbb Z/p^2)\rtimes\mathbb Z/p</math>
|-
| 3 (<math>p=2</math>) || (<math>p>2</math>인 경우와 동일) || [[정이면체군]] <math>\operatorname{Dih}_4</math>, [[사원수군]] <math>Q_8</math>
|}

== 참고 문헌 ==
*{{저널 인용 | last=Hall | first=Philip | title=The classification of prime-power groups | url=http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?GDZPPN00217491X | doi=10.1515/crll.1940.182.130 | mr=0003389  | 날짜=1940 | journal=Journal für die reine und angewandte Mathematik | issn=0075-4102 | volume=182 | issue=182 | pages=130–141}}
* {{서적 인용 | last=Leedham-Green | first=C. R. | 공저자=Susan McKay | title=The structure of groups of prime power order | publisher=Oxford University Press | series=London Mathematical Society Monographs (New Series) | isbn=978-0-19-853548-5 | mr=1918951  | 날짜=2002 | volume=27 | 언어=en}}
* {{저널 인용 | last=Sims | first=Charles | title=Enumerating p-groups | mr=0169921  | 날짜=1965 | journal=Proceedings of the London Mathematical Society (Third Series) | volume=15 | pages=151–166 | doi=10.1112/plms/s3-15.1.151 | 언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=p-group}}
* {{매스월드|id=p-Group|title=p-group}}

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{{위키데이터 속성 추적}}

[[분류:군론]]