p-군

군론에서 p-군(영어: p-group)은 모든 원소의 위수가 소수 $p$의 거듭제곱인 군이다.

정의

$p$가 소수라 하자. $p$-군은 모든 원소의 위수가 소수 $p$의 거듭제곱인 군이다. 즉, 군 $G$의 모든 원소 $g\in G$에 대하여,

$g^{p^{n(g)}}=1$

인 $n(g)\in \mathbb{N}$이 존재할 경우, $G$를 $p$-군이라고 한다.

성질

유한 $p$-군의 크기는 항상 $p$의 거듭제곱이다. 반대로, 크기가 $p$의 거듭제곱인 유한군은 항상 $p$-군이다.

번사이드 정리에 따라, 유한 $p$-군은 항상 가해군이다. 사실, 유한 $p$-군은 항상 멱영군이며, 반대로 유한 멱영군은 항상 (서로 다른 $p$에 대한) $p$-군들의 직접곱이다. $a\ge 2$에 대하여, 크기가 $p^a$인 유한 $p$-군의 멱영류는 $a-1$ 이하이다.

자명군이 아닌 유한 $p$-군은 항상 자명하지 않은 중심을 갖는다.

유한 $p$-군의 프라티니 부분군에 대한 몫군은 크기 $p$의 순환군들의 직접곱(즉, ${𝔽}_p$-벡터 공간의 덧셈군)이다.

분류

유한 $p$-군은 크기 $p^n$에 따라 분류할 수 있다. $n\le 6$인 경우는 모두 분류되었고, $n\ge 7$인 경우는 가짓수가 매우 많아 나열하기 힘들다.

n=logp|G|	아벨 p-군	비아벨 p-군
0	자명군 1	(없음)
1	순환군 $\mathbb{Z}/p$	(없음)
2	$(\mathbb{Z}/p{)}^{\oplus 2}$, $\mathbb{Z}/p^2$	(없음)
3 ($p>2$)	$(\mathbb{Z}/p{)}^{\oplus 3}$, $\mathbb{Z}/p^2\oplus \mathbb{Z}/p$, $\mathbb{Z}/p^3$	$(\mathbb{Z}/p{)}^{\oplus 2}⋊\mathbb{Z}/p$, $(\mathbb{Z}/p^2)⋊\mathbb{Z}/p$
3 ($p=2$)	($p>2$인 경우와 동일)	정이면체군 ${\mathrm{Dih}}_4$, 사원수군 $Q_8$

참고 문헌

• Hall, Philip (1940). “The classification of prime-power groups”. 《Journal für die reine und angewandte Mathematik》 182 (182): 130–141. doi:10.1515/crll.1940.182.130. ISSN 0075-4102. MR 0003389. 
• Leedham-Green, C. R.; Susan McKay (2002). 《The structure of groups of prime power order》 (영어). London Mathematical Society Monographs (New Series) 27. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-853548-5. MR 1918951. 
• Sims, Charles (1965). “Enumerating p-groups” (영어). 《Proceedings of the London Mathematical Society (Third Series)》 15: 151–166. doi:10.1112/plms/s3-15.1.151. MR 0169921. 

외부 링크

• “p-group” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “p-group” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research.