완전열

호몰로지 대수학에서 완전열(完全列, 영어: exact sequence)은 한 사상의 상이 다음 사상의 핵과 일치하는, 사상들과 대상들로 구성된 열이다.

정의

핵과 여핵을 가지는 범주에서 완전열은 다음과 같은 꼴의 대상들과 사상들로 구성된다.

\dots \to A_{i - 1} \overset{f_{i - 1}}{\to} A_{i} \overset{f_{i}}{\to} A_{i + 1} \overset{f_{i + 1}}{\to} A_{i + 2} \to \dots

이 열이 완전열을 이루려면, 인접한 사상들 각각에 대해 뒷쪽 사상의 핵과 앞쪽 사상의 상이 일치하여야 한다.

im f_{i - 1} = \ker f_{i}

즉,

coker f_{i - 1} = A_{i} / \ker f_{i}

이어야 한다.

모든 아벨 범주 (아벨 군의 범주 등)에서는 핵과 여핵이 존재하므로, 완전열을 정의할 수 있다. 군의 범주 $Grp$ 는 아벨 범주가 아니지만 핵과 여핵이 존재하므로, 이 범주에서도 역시 완전열을 정의할 수 있다.

영 대상 및 핵과 여핵이 존재하는 범주에서, 다음 명제들이 성립한다.

영 대상 및 핵과 여핵이 존재하는 범주에서, 짧은 완전열(영어: short exact sequence)은 다음과 같은 모양의 완전열이다.

0 \to A \overset{f}{\to} B \overset{g}{\to} C \to 0

여기서, $f$ 는 단사 사상이며 $g$ 는 전사 사상이다. 이 경우, 다음과 같은 동형이 성립한다.

C ≅ B / A

아벨 군의 범주에서, 다음과 같은 짧은 완전열을 생각하자.

0 \to ℤ \overset{2 \cdot}{\to} ℤ \overset{mod 2}{\to} ℤ / 2 ℤ \to 0

여기에서 0은 자명군이고, $ℤ$ 에서 $ℤ$ 로 가는 사상은 2배를 곱하는 것이고, $ℤ$ 에서 $ℤ / 2 ℤ ≃ {0, 1}$ 은 정수를 modulo 2로 정의한 것이다. 인접한 사상을 각각 살펴보면 이것이 완전열임을 알 수 있다.

사상 $0 \to ℤ$ 의 상은 자명군이고, $\cdot 2 : ℤ \to ℤ$ 에 대한 핵(두 배를 해서 0이 되는 수들의 부분집합) 또한 자명군이다. 따라서 첫 번째 $ℤ$ 에서 열은 완전열이다.
$\cdot 2 : ℤ \to ℤ$ 의 상은 짝수의 부분군 $2 ℤ$ 이며, $mod 2 : ℤ \to ℤ$ 의 핵 또한 짝수의 부분군 $2 ℤ$ 이다. 따라서, 두 번째 $ℤ$ 에 대해서도 완전열이다.
$mod 2 : ℤ \to ℤ$ 에 대한 상은 $ℤ / 2 ℤ$ 이고, 0으로 가는 상의 핵도 $ℤ / 2 ℤ$ 이기 때문에, 열은 $ℤ / 2 ℤ$ 에서도 완전열이다.

“Exact sequence” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Exact sequence” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Short exact sequence” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Long exact sequence” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research.

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