초켈러 다양체

미분기하학에서 초켈러 다양체(超Kähler多樣體, 영어: hyper-Kähler manifold)는 그 접공간이 사원수의 좌표를 가진 공간의 구조를 가지는 리만 다양체이다.

정의

매끄러운 다양체 $M$이 주어졌을 때, 접다발의 대수

$\mathrm{End}(\mathrm{T}M)={\Omega }^1(M;\mathrm{T}M)$

를 생각하자. 실수체 위의 결합 대수의 준동형

$𝒥:ℍ\to \mathrm{End}(\mathrm{T}M)$

이 주어졌다고 하자. 만약 절댓값 1의 순허수 사원수 $q\in ℍ$, $\overline{q}=-q=q^{-1}$에 대하여 $𝒥(q)$가 항상 복소구조라면, $(M,𝒥)$를 초복소다양체(영어: hypercomplex manifold)라고 한다. 즉, 세 복소구조

$𝒥(\mathrm{i})=I$

$𝒥(\mathrm{j})=J$

$𝒥(\mathrm{k})=K$

가 주어졌을 때,

$I^2=J^2=K^2=-1$

$IJ=-JI=K$

$JK=-KJ=I$

$KI=-IK=J$

이 성립한다. 즉, 초복소다양체 위에는 복소구조의 모듈라이 공간 ${𝕊}^2=\{q\in ℍ:\overline{q}=-q=q^{-1}\}$이 존재한다.

리만 다양체 $(M,g)$ 위의 초복소구조 $𝒥$ 가운데, 만약 $q\in \mathrm{Im}ℍ$, $\Vert q\Vert =1$, $\overline{q}=-q$에 대하여 $𝒥(q)$가 항상 켈러 구조라면, $𝒥$를 초켈러 구조라고 하며, 초켈러 구조를 갖춘 리만 다양체를 초켈러 다양체라고 한다. 즉, 초켈러 다양체 위에는 켈러 구조의 모듈라이 공간 ${𝕊}^2=\{q\in ℍ:\overline{q}=-q=q^{-1}\}$이 존재한다. 즉, 지표로 쓰면, 리만 다양체 $(M,g_{\mu \nu })$ 위의 초켈러 구조는 구체적으로 다음과 같은 데이터로 주어진다.^:§2.1

• 세 개의 (1,1)차 텐서장 $J_{\nu }^{\mu i}$ ($i=1,2,3$은 $𝔰𝔲(2)$ 좌표)

이는 다음과 같은 호환 조건을 만족시킨다.

• $J_{\nu }^{\mu i}{J}_{\rho }^{\nu j}=-{\delta }^{ij}{\delta }_{\rho }^{\mu }-{ϵ}^{ij}{}_k{J}_{\rho }^{\mu k}$ (사원수 대수 및 개복소구조)
• $g_{\mu \nu }{J}_{{\mu }^{\prime }}^{\mu i}=-g_{{\mu }^{\prime }{\nu }^{\prime }}{J}_{\nu }^{{\nu }^{\prime }i}$ (에르미트성)
• ${\mathrm{\nabla }}_{\mu }{J}_{\rho }^{\nu i}=0$ (복소구조의 적분가능성)

이들 데이터로부터 세 개의 심플렉틱 구조

${\omega }_{\mu \nu }^i=J_{\mu }^{{\mu }^{\prime }i}{g}_{{\mu }^{\prime }\nu }$

를 정의할 수 있다.

성질

초켈러 다양체의 (실수) 차원은 항상 4의 배수이다. 이는 켈러 다양체의 실수 차원이 항상 2의 배수인 것과 마찬가지다.

위상수학적 성질

다양체가 초켈러 다양체의 구조를 가지려면, 위상수학적으로 특수한 성질들을 만족시켜야 한다.

$4n$차원 콤팩트 초켈러 다양체의 베티 수 $b_k$ 및 오일러 지표 $\chi (M)$에 대하여, 다음이 성립한다.

$\sum _{k=0}^{4n}(-1{)}^k(6k^2-2n(12n+1))b_i=0$

$b_{2k}\ge (\genfrac{}{}{0ex}{}{k+2}{2})(k\le n)$

$4\mid b_{2k+1}\mathrm{\forall }k$

$12\mid n\chi (M)$

8차원 콤팩트 초켈러 다양체의 가능한 베티 수에 대해서는 많은 정보가 알려져 있다.

호지 이론적 성질

$4n$차원 콤팩트 초켈러 다양체의 호지 수 $h^{p,q}$에 대하여, 다음이 성립한다.

$h^{p,q}=h^{q,p}=h^{2n-p,2n-q}=h^{2n-q,2n-p}=h^{2n-p,q}=h^{2n-q,p}\mathrm{\forall }0\le p,q\le 2n$

$h^{p,q}\ge h^{p+1,q-1}\mathrm{\forall }p\ge q$

리만 기하학적 성질

$4n$차원 초켈러 다양체의 홀로노미는 $\mathrm{USp}(4n)$의 부분군이다. 이에 따라, 모든 초켈러 다양체는 칼라비-야우 다양체이자 사원수 켈러 다양체(quaternion-Kähler manifold)이다. (칼라비-야우 다양체는 홀로노미가 $\mathrm{SU}(n)$의 부분군인 경우고, 사원수 켈러 다양체는 홀로노미가 $\mathrm{USp}(4n)\times \mathrm{USp}(4)$인 경우다. $\mathrm{USp}(4n)\subset \mathrm{SU}(4n)$이다.)

복소기하학적 성질

초켈러 다양체 $(M,{\omega }_1,{\omega }_2,{\omega }_3)$의 임의의 한 심플렉틱 형식 ${\omega }_1$을 골라, 켈러 다양체로 여긴다고 하자. 그렇다면, 2차 복소수 미분 형식

${\omega }_{ℂ}={\omega }_2+\mathrm{i}{\omega }_3\in {\Omega }^{2,0}(M)$

은 정칙 미분 형식이며, 켈러 다양체 $(M,{\omega }_1)$ 위의 심플렉틱 형식을 이룬다. 이를 정칙 심플렉틱 형식(영어: holomorphic symplectic form)이라고 한다. 즉, 이 경우 두 심플렉틱 형식

${\omega }_1={\omega }_{ℝ}\in {\Omega }^{1,1}(M)$

${\omega }_{ℂ}\in {\Omega }^{2,0}(M)$

이 존재한다.

반대로, 칼라비-야우 정리(영어: Calabi–Yau theorem)에 따라, 정칙 심플렉틱 형식을 갖춘 콤팩트 켈러 다양체는 항상 초켈러 다양체를 이룬다. (콤팩트 조건을 생략할 수 없다.)

응용

초켈러 다양체는 8개의 초전하(4차원에서 $𝒩=2$)를 가진 초대칭 게이지 이론과 밀접한 관련이 있다. 예를 들어, 중력이 없을 경우, 16개의 초전하를 가진 비선형 시그마 모형의 모듈러스 공간은 초켈러 다양체를 이룬다. 마찬가지로, 초켈러 다양체 위의 2차원 시그마 모형은 $𝒩=(4,4)$ 초등각 장론을 이룬다.

역사

에우제니오 칼라비가 1979년에 도입하였다. 이 논문에서 칼라비는 다음과 같이 적었다.

“

우리는 홀로노미 군이 콤팩트 군 $\mathrm{Sp}(n)$ ($n=1,2,\dots$)인 켈러 계량을 발견한다. 이는 ‘사원수 접공간 구조’라고 불리는 구조의 최초의 알려진 예인 것으로 보인다. 그러나 우리는 ‘초켈러 구조’라는 용어를 선호한다. nous allons trouver […] des métriques kàhlériennes […] dont le groupe d’holonomie est le groupe compact $\mathrm{Sp}(n)$ ($n=1,2,\dots$) […]; ce sont apparemment les premiers exemples connus de telles structures, qui ont été appelées « structures tangentielles quaternioniennes », mais pour lesquelles nous préférons l’appellation de « structures hyperkählériennes » […]

”

참고 문헌

• Kronheimer, P. B. (1989). “The construction of ALE spaces as hyper-Kähler quotients” (영어). 《Journal of Differential Geometry》 29 (3): 665–683. ISSN 0022-040X. MR 992334. Zbl 0671.53045. 
• Beauville, Arnaud. “Riemannian Holonomy and Algebraic Geometry” (영어). arXiv:math/9902110. Bibcode:1999math......2110B. 
• Huybrechts, Daniel (2011). 〈Hyperkähler manifolds and sheaves〉 (PDF) (영어). Rajendra Bhatia (편집). 《Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Hyderabad, August 19–27, 2010. Volume II: Invited Lectures》. World Scientific. 450–460쪽. doi:10.1142/9789814324359_0059. ISBN 978-981-4324-30-4. Zbl 1226.14027. 

외부 링크

• Weisstein, Eric Wolfgang. “Hyper-Kähler manifold” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research. 
• “Hyperkähler manifold” (영어). 《nLab》. 
• “Injective homomorphism induced by cup product in cohomology” (영어). Math Overflow. 
• “Is the cotangent bundle to a Kahler manifold hyperkahler?” (영어). Math Overflow. 

같이 보기

• K3 곡면
• 사원수 켈러 다양체
• 홀로노미
• 사원수
• 초대칭 게이지 이론