등거리변환

수학에서 등거리 변환(等距離變換, 영어: isometry 아이소메트리^[*]) 또는 등거리 사상(等距離寫像) 또는 등장 사상(等長寫像)은 거리를 보존하는 거리 공간 사이 함수다.

정의

$(X,d_X)$와 $(Y,d_Y)$가 거리 공간이라고 하자. 이 두 거리 공간 사이의 등거리 변환 $f:X\to Y$는 다음 조건을 만족하는 함수다. 임의의 $a,b\in X$에 대하여,

$d_X(a,b)=d_Y(f(a),f(b))$.

등거리 변환은 자동적으로 연속 함수다.

등거리 동형사상(영어: isometric isomorphism)은 전단사 등거리 변환이다. 이는 거리 공간 사이의 동형사상이다. 등거리 동형사상은 항상 위상동형사상이다.

선형 등거리 변환(영어: linear isometry)는 노름 공간 사이에서 노름을 보존하는 함수다. 즉, $(X,\Vert {\Vert }_X)$와 $(X,\Vert {\Vert }_Y)$가 노름 공간이라고 하자. 그렇다면 이 두 노름 공간 사이의 선형 등거리 변환 $f:X\to Y$는 다음 조건을 만족하는 선형 변환이다. 임의의 $a\in X$에 대하여,

$\Vert a{\Vert }_X=\Vert f(a){\Vert }_Y$.

선형 등거리 변환은 등거리 변환이다.

같이 보기

• 준등거리사상