반직선 유군

유체론에서 반직선 유군(半直線類群, 영어: ray class group)은 임의의 모듈러스에 대한, 아이디얼 유군의 일반화이다. 대수적 수체의 아벨 확대에서의 분기화 현상을 나타낸다.

정의

대수적 수체 $K$ 위의 모듈러스 $𝔪$ 이 주어졌다고 하자. $K$ 의 $𝔪$ 에 대한 반직선(영어: ray)은

K_{𝔪, 1} = {a \in K^{\times} : a \equiv 1 (\mod 𝔪)}

이다. 이는 곱셈에 대하여 아벨 군을 이룬다.

$I^{𝔪}$ 이 $𝔪$ 과 서로소인 소 아이디얼들로 생성되는 분수 아이디얼들의 아벨 군이라고 하자. 즉,

𝔞 / 𝔟 (𝔭 ∣ 𝔪 ⟹ 𝔭 ∤ 𝔞, 𝔟)

의 꼴의 분수 아이디얼들로 구성된 아벨 군이다. 주 아이디얼 사상 $i : a \mapsto (a)$ 은 군 준동형

i : K_{𝔪, 1} \to I^{𝔪}

을 정의한다. $K$ 의 $M$ 에 대한 반직선 유군은 몫군

Cl ℴ_{𝔪} = I^{𝔪} / i (K_{𝔪})

이며, 반직선류(半直線類, 영어: ray class)는 반직선 유군의 원소이다.

이델 유군과의 관계

대수적 수체 $K$ 및 그 모듈러스 $𝔪$ 에 대하여, 이델 군 $𝔸_{K}^{\times}$ 의 다음과 같은 부분군을 생각하자.

U_{𝔪} = \prod_{p} U_{p}

여기서

$p$ 가 복소 자리라면, $U_{p} = ℂ^{\times}$
$p$ 가 실수 자리이며 $p \in 𝔪_{\infty}$ 라면, $U_{p} = ℝ^{+}$
$p$ 가 실수 자리이며 $p \in̸ 𝔪_{\infty}$ 라면, $U_{p} = ℝ^{\times}$
$p$ 가 유한 자리이며 $p ∤ 𝔪_{0}$ 라면, $U_{p} = ℴ_{K_{p}}^{\times}$ ( $K_{p}$ 는 $K$ 의 $p$ 에서의 완비화)
$p$ 가 유한 자리이며 $p^{n} ∣ 𝔪_{0}$ 이지만 $p^{n + 1} ∤ 𝔪_{0}$ 라면, $U_{p} = 1 + 𝔭^{n} \subset ℴ_{K_{p}}^{\times}$ ( $𝔭$ 는 이산 값매김환 $ℴ_{K_{p}}$ 의 유일한 극대 아이디얼)

이델 유군 $C_{K}$ 는 대각 사상 $i : K^{\times} ↪ 𝔸_{K}^{\times}$ 의 상에 대한 몫군 $C_{K} = 𝔸_{K}^{\times} / i (K^{\times})$ 인데, $U_{𝔪^{'}} = i (U_{𝔪})$ 이라고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 표준적인 군 동형이 존재한다.

{Cl}_{𝔪} ℴ_{K} ≅ C_{K} / U_{𝔪^{'}}

예

대수적 수체 $K$ 에 대하여, 자명한 모듈러스 $𝔪 = 1$ 에 대한 반직선류군은 아이디얼 유군 $Cl ℴ_{K}$ 이다.

유리수체 $ℚ$ 및 양의 정수 $m$ 에 대하여, 유한 모듈러스 $(m)$ 에 대한 반직선류군은 가역원군의 몫군

{Cl}_{(m)} ℤ ≅ (ℤ / (m))^{\times} / {\pm 1}

이며, 모듈러스 $(m) \infty$ 에 대한 반직선류군은 가역원군

{Cl}_{(m) \infty} ℤ ≅ (ℤ / (m))^{\times}

이다.

참고 문헌

Cohn, Harvey (1985). 《Introduction to the construction of class fields》 (영어). Cambridge studies in advanced mathematics 6. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-24762-7.

외부 링크

“Modulus in algebraic number theory” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.

같이 보기

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