매끄러운 사상

대수기하학에서 매끄러운 스킴(영어: smooth scheme)은 국소적으로 아핀 공간과 같이 보이는 체 위의 스킴이며, 매끄러운 사상(-寫像, 영어: smooth morphism)은 각 올이 매끄러운 스킴을 이루는 스킴 사상이다.

비분기 사상(非分岐寫像, 영어: unramified morphism)은 분기화가 일어나지 않는 스킴 사상이며, 미분기하학의 몰입에 해당한다. (대수기하학의 열린 몰입과 닫힌 몰입은 이름과 달리 미분기하학의 매장에 해당한다.) 에탈 사상(étale寫像, 영어: étale morphism)은 스킴 사이의 국소 동형 사상이다. 즉, 미분기하학의 국소 미분동형사상이나, 위상수학의 국소 위상동형사상에 대응되는 개념이다.

정의

형식적으로 매끄러운 사상/형식적으로 비분기 사상/형식적으로 에탈 사상은 특정 오른쪽 올림 성질을 만족시키는 스킴 사상이다. 형식적으로 매끄러운/비분기/에탈 사상 조건에 국소 유한 표시 조건을 추가한다면 매끄러운 사상/비분기 사상/에탈 사상 개념을 얻는다.

형식적으로 매끄러운 · 비분기 · 에탈 사상

임의의 가환환 $R$ 및 멱영 아이디얼 $𝔫 \subseteq R$ 에 대하여, 그 몫 준동형

(/ 𝔫) : R \to R / 𝔫

에 대응하는 아핀 스킴 사상

(/ 𝔫)^{*} : Spec (R / 𝔫) \to Spec R

을 생각할 수 있으며, 이는 항상 닫힌 몰입이다. 직관적으로, $𝔫$ 이 멱영 아이디얼이므로 $Spec R$ 는 $Spec (R / 𝔫)$ 을 "무한소"만큼 "연장"시킨 것이다. 즉, 이러한 닫힌 몰입은 닫힌집합의 "무한히 작은 근방"으로의 포함 사상으로 해석할 수 있다.

스킴 사상 $f : X \to S$ 에 대하여,

만약 멱영 아이디얼로부터 유도되는 닫힌 몰입에 대하여 오른쪽 올림 성질이 성립한다면, $f$ 를 형식적으로 매끄러운 사상(영어: formally smooth morphism, 프랑스어: morphisme formellement lisse)이라고 한다.^[1]^{:56, Définition IV.17.1.1} 즉, $(/ 𝔫)^{*} : {hom}_{Sch / S} (Spec R, X) \to {hom}_{Sch / S} (Spec (R / 𝔫), X)$ 가 전사 함수이다.
만약 멱영 아이디얼로부터 유도되는 닫힌 몰입에 대하여 모든 오른쪽 올림이 (만약 존재한다면) 유일하다면, $f$ 를 형식적으로 비분기 사상(영어: formally unramified morphism, 프랑스어: morphisme formellement non ramifié)이라고 한다.^[1]^{:56, Définition IV.17.1.1} 즉, $(/ 𝔫)^{*} : {hom}_{Sch / S} (Spec R, X) \to {hom}_{Sch / S} (Spec (R / 𝔫), X)$ 가 단사 함수이다.
만약 멱영 아이디얼로부터 유도되는 닫힌 몰입에 대하여 오른쪽 유일 올림 성질이 성립한다면, $f$ 를 형식적으로 에탈 사상(영어: formally étale morphism, 프랑스어: morphisme formellement étale)이라고 한다.^[1]^{:56, Définition IV.17.1.1} 즉, $(/ 𝔫)^{*} : {hom}_{Sch / S} (Spec R, X) \to {hom}_{Sch / S} (Spec (R / 𝔫), X)$ 가 전단사 함수이다.
$\begin{matrix} Spec (R / 𝔫) & \to & X \\ ↓ & \exists ↗ & ↓ \\ Spec R & \to & S \end{matrix}$

이 조건들은 직관적으로 다음과 같이 해석할 수 있다.

형식적으로 매끄럽다는 것은 사상 $Spec (R / 𝔫) \to X$ 를 그 무한소 근방 $Spec R$ 로 무한소만큼 확장할 때, "특이점"에 걸려 확장이 불가능한 경우가 없다는 것이다.
형식적으로 비분기라는 것은 사상 $Spec (R / 𝔫) \to X$ 를 그 무한소 근방 $Spec R$ 로 무한소만큼 확장할 때, "분기점" 때문에 두 개 이상의 가능한 확장이 존재하는 경우가 없다는 것이다.
형식적으로 에탈이라는 것은 형식적으로 매끄러우며 비분기인 것과 같으므로, "특이점"과 "분기점"이 없어 그 무한소 근방으로의 확장이 항상 유일한 것이다.

매끄러운 사상

국소 유한 표시 사상 $f : X \to S$ 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 국소 유한 표시 사상을 매끄러운 사상(영어: smooth morphism, 프랑스어: morphisme lisse)이라고 한다.

$f$ 는 형식적으로 매끄러운 사상이다.^[1]^{:61, Définition IV.17.3.1}
$f$ 는 평탄 사상이며, 모든 $x \in X$ 및 $s = f (x)$ 에 대하여 올 $f^{- 1} (f (x))$ 은 국소환의 잉여류체 $κ (s) = 𝒪_{S, s} / 𝔪 (𝒪_{S, s})$ 위의 매끄러운 스킴이다.^[1]^{:67, Théorème IV.17.5.1}
$f$ 는 평탄 사상이며, 모든 $x \in X$ 및 $s = f (x)$ 에 대하여 올 $f^{- 1} (s) \to κ (s)$ 에 대하여 그 완비화 $f^{- 1} (s) \times_{κ (s)} \bar{κ} (s)$ 는 정칙 스킴이다.^[2]^{:269–270, Theorem III.10.2}
$f$ 는 평탄 사상이며, 켈러 미분층 $Ω_{X / S}$ 는 국소 자유 가군층이며, 그 차원은 $f : X \to S$ 의 상대 차원과 같다.
모든 $x \in X$ 에 대하여, $f |_{U} = \tilde{f} \circ c$ 가 되는 열린 근방 $U ∋ x$ 및 자연수 $n$ 및 사상 $\tilde{f} : U \to 𝔸_{S}^{n}$ 가 존재한다. ( $c : 𝔸_{S}^{n} \to S$ 는 아핀 공간의 표준적 사상이다.)
임의의 x∈X에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 아핀 열린 근방 x∈Spec⁡R⊆X 및 f(Spec⁡R)⊆Spec⁡S⊆Y가 존재한다.
- 가환환 준동형 $S \to R$ 은 어떤 표준 매끄러운 대수와 동형이다.

가환환 $S$ 가 주어졌을 때, 그 위의 유한 표시 대수

\frac{S [x_{1}, \dots, x_{n}]}{(f_{1}, \dots, f_{k})} (n, k \in ℕ, k \leq n, f_{1}, \dots, f_{k} \in R [x_{1}, \dots, x_{n}])

가 다음 조건을 만족시킨다면, 이를 표준 매끄러운 대수(영어: standard smooth algebra)라고 한다.

다항식

\det (\partial f_{i} / \partial x_{j})_{i, j = 1, \dots, k} \in S [x_{1}, \dots, x_{n}]

은

S [x_{1}, \dots, x_{n}] / (f_{1}, \dots, f_{k})

속의 가역원이다.

비분기 사상

국소 유한 표시 사상 $f : X \to S$ 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 국소 유한 표시 사상을 비분기 사상(영어: ramified morphism, 프랑스어: morphisme non ramifié)이라고 한다.^[1]^{:65, Corollaire IV.17.4.2(c)}

$f$ 는 형식적으로 비분기 사상이다.^[1]^{:62, Définition IV.17.3.7}
$Ω_{X / S} = \underline{0}$ 이다. 여기서 $Ω_{X / S}$ 는 켈러 미분층이며, $\underline{0}$ 은 영가군의 상수층이다.
대각 사상 $Δ_{f} : X \to X \times_{S} X$ 은 열린 몰입이다.

스킴 사상 $f : X \to S$ 가 $x \in X$ 에서 비분기이다는 것은 $x$ 의 어떤 열린 근방 $U ∋ x$ 에 대하여 $f |_{U}$ 가 비분기 사상이라는 것이다.

에탈 사상

국소 유한 표시 사상 $f : X \to S$ 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 국소 유한 표시 사상을 에탈 사상(영어: étale morphism, 프랑스어: morphisme étale)이라고 한다.

$f$ 는 형식적으로 에탈 사상이다.^[1]^{:62, Définition IV.17.3.7}
$f$ 는 평탄 사상이며 비분기 사상이다.
$f$ 는 매끄러운 사상이며 비분기 사상이다.
$f$ 는 매끄러운 사상이며 상대 차원(영어: relative dimension)이 0이다.
모든 점 x∈X에서, 다음 조건을 만족시키는 아핀 열린 근방 x∈Spec⁡R⊆X 및 f(Spec⁡R)⊆Spec⁡S⊆Y 및 가 존재한다.
- 준동형 $S \to R$ 는 어떤 표준 에탈 대수와 동형이다.

위 정의에서, 가환환 $S$ 위의 표준 에탈 대수(영어: standard étale algebra)는 다음과 같은 꼴의 단위 결합 가환 대수이다.

{(S [x] / (f))}_{g}

여기서

$f \in S [x]$ 는 일계수 다항식이며, $g \in S [x]$ 는 임의의 다항식이다.
$f$ 의 도함수 $d f / d x$ 는 $(S [x] / (f))_{g}$ 에서 가역원이다. 여기서 $(\dots)_{g}$ 는 국소화이고, $(f)$ 는 $f$ 로 생성되는 아이디얼이다.

스킴 사상 $f : X \to S$ 가 $x \in X$ 에서 에탈이다는 것은 $x$ 의 어떤 열린 근방 $U ∋ x$ 에 대하여 $f |_{U}$ 가 에탈 사상이라는 것이다.

성질

함의 관계

다음과 같은 함의 관계가 성립한다.

국소 유한 표시 사상	⊃	국소 유한 표시 평탄 사상	⊃	매끄러운 사상
∪				∪
비분기 사상	⊃			에탈 사상
∪				∪
국소 유한 표시 닫힌 몰입	⊃	스킴 동형	⊂	열린 몰입

다음과 같은 함의 관계가 성립한다.

축소 스킴 ⊋ 정규 스킴 ⊋ 정칙 스킴 ⊋ 체 위의 매끄러운 스킴

즉, 임의의 체 $K$ 에 대하여 모든 매끄러운 $K$ -스킴은 정칙 스킴이다. 특히, 완전체 $K$ 위의 $K$ -스킴 $X$ 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

$X \to Spec K$ 는 매끄러운 사상이다.
정칙 스킴이며, $X \to Spec K$ 는 국소 유한형 사상이다.

닫힘

$𝔓$ 가 매끄러운 사상 · 비분기 사상 · 에탈 사상 · 형식적으로 매끄러운 사상 · 형식적으로 비분기 사상 · 형식적으로 에탈 사상 조건 가운데 하나라고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.

(합성에 대한 닫힘) $X \overset{f}{\to} Y \overset{g}{\to} Z$ 에 대하여, 만약 $f$ 와 $g$ 가 $𝔓$ -사상이라면 $g \circ f$ 역시 $𝔓$ -사상이다.
(밑 변환에 대하여 안정) $X \overset{f}{\to} Y \leftarrow Y^{'}$ 에 대하여, 만약 $f$ 가 $𝔓$ -사상이라면 밑 변환 $f^{'} : X \times_{Y} Y^{'} \to Y^{'}$ 역시 $𝔓$ -사상이다.

$𝔓$ 가 매끄러운 사상 · 비분기 사상 · 에탈 사상 가운데 하나라고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.

(fpqc 위상에서의 내림) $X \overset{f}{\to} Y \overset{g}{\leftarrow} Y^{'}$ 에 대하여, 만약 밑 변환 $f^{'} : X \times_{Y} Y^{'} \to Y^{'}$ 가 $𝔓$ -사상이며, $g$ 가 fpqc 사상이라면 $f$ 역시 $𝔓$ -사상이다.

여기서 fpqc 사상은 평탄 사상이며, 전사 함수이며, 공역 속의 임의의 콤팩트 열린집합에 대하여 이를 상으로 하는 정의역의 콤팩트 열린집합이 존재하는 스킴 사상이다.

예

매끄러움의 실패

대수적으로 닫힌 체 $K$ 가 주어졌을 때, $K [a]$ -대수의 포함 준동형

f : K [a] ↪ K [x, y, a] / (x y - a)

을 생각하자. 그렇다면 이는 아핀 스킴의 사상

Spec K [x, y, a] / (x y - a) ↠ 𝔸_{K}^{1}

을 정의하며, 이는 기하학적으로 아핀 평면 원뿔 곡선들의 족을 정의한다. 이는 유한형 사상이며 평탄 사상이지만, 매끄러운 사상이 아니다. 구체적으로, $K [a]$ -대수 $K [z, a] / (a^{2})$ 의 멱영 아이디얼 $(a) \subset K [z, a] / (a^{2})$ 를 생각하자. 이 경우,

g : K [x, y, a] / (x y - a) \to K [z, a] / (a^{2}, a) ≅ K [z]

g : x \mapsto z

g : y \mapsto 0

는 $K [a]$ -대수의 준동형을 이룬다. 하지만, 임의의 $K [a]$ -대수의 준동형

h : K [x, y, a] / (x y - a) \to K [z, a] / (a^{2})

에 대하여,

q : K [z, a] / (a^{2}) ↠ K [z] / (a)

와 합성하였을 때 $q \circ h = g$ 가 될 수 없다. 기하학적으로, 이는 $a = 0$ 일 때의 올 $x y = 0$ 은 특이올을 이루기 때문이다.

더 단순한 예로, $K ↪ K [x, y] / (x y)$ 를 생각하자. 이 경우, $K$ -대수의 준동형

g : K [x, y] / (x y) \to K [z] / (z^{2})

g : x \mapsto z

g : y \mapsto z

이 존재한다. 그러나 몫 준동형

q : K [z] / (z^{3}) ↠ K [x] / (z^{2})

에 대하여, $g = q \circ h$ 가 되는 준동형

h : K [x, y] / (x y) \to K [z] / (z^{3})

은 존재할 수 없다. 따라서 아핀 대수 곡선 $Spec K [x, y] / (x y)$ 는 원점에서 특이점을 가져 매끄러운 곡선이 아니다.

비분기성의 실패

표수가 2가 아닌 대수적으로 닫힌 체 $K$ 위에,

f : K [x] ↪ K [x, y] / (y^{2} - x) ≅ K [y]

를 생각하자. 그렇다면 이는 아핀 스킴의 사상

𝔸_{K}^{1} ↠ 𝔸_{K}^{1}

을 정의한다. 이는 유한형 사상이지만, 비분기 사상이 아니다. 구체적으로, $K [x, z] / (x^{2}, z^{2} - x)$ 의 멱영 아이디얼 $(z) \subset K [x] / (x^{2}, z^{2} - x)$ 을 생각하자. 그렇다면, $K [x]$ -대수의 준동형

g_{\pm} : K [x, y] / (x^{2}, y^{2} - x) \to K [x] / (x^{2}, z^{2} - x)

g_{\pm} : y \mapsto \pm z

을 정의할 수 있다. 이는 몫

q : K [x, z] / (x^{2}, z^{2} - x) ↠ K [x, z] / (x^{2}, z^{2} - x, z) ≅ K

과 합성하면

q \circ g_{\pm} : K [x, y] / (x^{2}, y^{2} - x) \to K

q \circ g_{\pm} : x, y \mapsto 0

이 되므로, 서로 같아진다. 즉, 기하학적으로, 원점 $Spec K \to 𝔸_{K}^{1}$ 을 그 무한소 근방 $Spec K [x] / (x^{2}, z^{2} - x)$ 으로 연장하는 방법이 유일하지 않으므로, 비분기 사상이 될 수 없다.

체 위의 에탈 스킴

체 $K$ 위의 스킴 $X \to Spec K$ 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.^[3]^[4]

$X \to Spec K$ 는 비분기 사상이다.
$X \to Spec K$ 는 에탈 사상이다.
$X ≅ ⨆_{i \in I} Spec K_{i}$ 이며, $K_{i} / K$ 는 유한 분해 가능 확대이다.

체 $K$ 위의 에탈 스킴들의 범주는 절대 갈루아 군 $Gal (K^{sep} / K)$ 의 작용을 갖춘 집합들의 범주 $Gal (K^{sep} / K) -Set$ 와 동치이다.^[5] 구체적으로, 에탈 스킴 $X$ 에 대응하는 집합은 다음과 같다.

X \mapsto {hom}_{Sch / Spec K} (Spec K^{sep}, X)

여기서 $K^{sep}$ 은 $K$ 의 분해 가능 폐포이다.

역사

알렉산더 그로텐디크가 《대수기하학 원론》 4권^[1]에서 도입하였다.

각주

↑ ^가 ^나 ^다 ^라 ^마 ^바 ^사 ^아 ^자 Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1967). “Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Quatrième partie” (프랑스어). 《Publications Mathématiques de l’IHÉS》 32. doi:10.1007/bf02732123. ISSN 0073-8301. MR 0238860. 2016년 3월 3일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2015년 8월 14일에 확인함.
↑ Hartshorne, Robin (1977). 《Algebraic geometry》 (영어). Graduate Texts in Mathematics 52. Springer. doi:10.1007/978-1-4757-3849-0. ISBN 978-0-387-90244-9. ISSN 0072-5285. MR 0463157. Zbl 0367.14001.
↑ Stacks Project Lemma 28.35.11
↑ Stacks Project Lemma 28.36.7
↑ Stacks Project Lemma 40.21.2

외부 링크

“Smooth scheme” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
“Etale morphism” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
“Smooth morphism of schemes” (영어). 《nLab》.
“Smooth scheme” (영어). 《nLab》.
“Etale morphism of schemes” (영어). 《nLab》.
“Formally smooth morphism” (영어). 《nLab》.
“Formally smooth scheme” (영어). 《nLab》.
“Formally unramified morphism” (영어). 《nLab》.
“Formally etale morphism” (영어). 《nLab》.
“Etale scheme” (영어). 《nLab》.
“What are unramified morphisms like?” (영어).
Youcis, Alex (2014년 4월 6일). “Unramified morphisms” (영어). 《Hard arithmetic》.

같이 보기

[ÉGA4.4-1] 가 ^나 ^다 ^라 ^마 ^바 ^사 ^아 ^자 Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1967). “Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Quatrième partie” (프랑스어). 《Publications Mathématiques de l’IHÉS》 32. doi:10.1007/bf02732123. ISSN 0073-8301. MR 0238860. 2016년 3월 3일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2015년 8월 14일에 확인함.

[Hartshorne-2] Hartshorne, Robin (1977). 《Algebraic geometry》 (영어). Graduate Texts in Mathematics 52. Springer. doi:10.1007/978-1-4757-3849-0. ISBN 978-0-387-90244-9. ISSN 0072-5285. MR 0463157. Zbl 0367.14001.

[3] Stacks Project Lemma 28.35.11

[4] Stacks Project Lemma 28.36.7

[5] Stacks Project Lemma 40.21.2

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]