프로베니우스 사상

가환대수학과 체론에서 프로베니우스 사상(Frobenius寫像, 영어: Frobenius morphism)은 양의 소수 표수에서 정의되는 가환환 또는 체의 자기 사상이다.

정의

가환환 $R$ 의 환의 표수가 $p > 0$ 이며, $p$ 가 소수라고 하자. 그렇다면 $R$ 의 프로베니우스 사상 ${Frob}_{R} : R \to R$ 은 다음과 같다.

{Frob}_{R} : r \mapsto r^{p}

이는 환 준동형을 이룬다. 이는

(r + s)^{p} = \sum_{i = 0}^{p} (\binom{p}{i}) r^{i} s^{p - i} = r^{p} + s^{p} \forall r, s \in R (∵ p ∣ (\binom{p}{i}) \forall 1 \leq i \leq p - 1)

이기 때문이다. 위 항등식은 신입생의 꿈(新入生-, 영어: freshman’s dream) 또는 1학년의 꿈이라고 한다. 이름과 같이 이 항등식은 복소수체 위에서 성립하지 않는다 (예를 들어, $(1 + 1)^{p} = 2^{p} \neq 2 = 1^{p} + 1^{p}$ 이다).

스킴의 프로베니우스 사상

소수 $p$ 가 주어졌을 때, 유한체 $𝔽_{p}$ 위의 스킴 $X / Spec 𝔽_{p}$ 가 주어졌다고 하자. $X$ 의 임의 아핀 부분 스킴 $U$ 에 대하여, $Γ (U, 𝒪_{X})$ 는 $K$ -단위 결합 대수이며, 따라서 프로베니우스 사상을 갖는다. 프로베니우스 사상은 자연 변환이므로, 이 아핀 부분 스킴들의 프로베니우스 사상들을 서로 짜깁기할 수 있다. 이 $𝔽_{p}$ -스킴 사상 ${Frob}_{X} : X \to X$ 을 $X$ 의 절대 프로베니우스 사상이라고 한다.^[1]^{:94, Definition 3.2.21} 절대 프로베니우스 사상은 다음과 같은 자연 변환을 이룬다.

{Frob}_{/ 𝔽_{p}} : {Id}_{Sch / Spec 𝔽_{p}} \Rightarrow {Id}_{Sch / Spec 𝔽_{p}}

여기서 ${Id}_{Sch / Spec 𝔽_{p}}$ 는 $𝔽_{p}$ -스킴의 범주 $Sch / Spec 𝔽_{p}$ 의 항등 함자이다.

산술·기하 프로베니우스 사상

$𝔽_{p}$ -스킴 $S$ 위의 스킴 $f : X \to S$ 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, $S$ 의 절대 프로베니우스 사상 ${Frob}_{S} : S \to S$ 와의 올곱을 취하면

X^{(p / S)} = X \times_{S} {Frob}_{S}

를 정의할 수 있다. 이는 함자

Sch / S \to Sch / S

를 이루며, 프로베니우스 스칼라 확대(영어: extension of scalars by Frobenius)라고 한다. 이 경우 표준적으로 존재하는 사영 사상

{Frob}_{a, X / S} : X^{(p / S)} \to X

을 산술 프로베니우스 사상(영어: arithmetic Frobenius morphism)이라고 한다.

\begin{matrix} X^{(p / S)} & \overset{F r o b_{a}}{\to} & X \\ ↓ & ↓ \\ S & \to Frob & S \end{matrix}

만약 $S$ 의 절대 프로베니우스 사상 ${Frob}_{S} : S \to S$ 이 자기 동형 사상이라면 (예를 들어, $S$ 가 완전체의 스펙트럼이라면), 역사상 ${Frob}_{S}^{- 1}$ 에 대한 올곱

X^{(p^{- 1} / S)} = X \times_{S} {Frob}_{S}

을 생각할 수 있다. 이 경우 표준적으로 존재하는 사영 사상

{Frob}_{g, X / S} : X^{(p^{- 1} / S)} \to X

을 기하 프로베니우스 사상(영어: geometric Frobenius morphism)이라고 한다.

\begin{matrix} X^{(p^{- 1} / S)} & \overset{F r o b_{g}}{\to} & X \\ ↓ & ↓ \\ S & \to {Frob}^{- 1} & S \end{matrix}

상대 프로베니우스 사상

$𝔽_{p}$ -스킴 $S$ 위의 스킴 $f : X \to S$ 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 올곱의 보편 성질에 의하여 다음 그림을 가환 그림으로 만드는 유일한 스킴 사상 ${Frob}_{/ S} : X \to X^{(p / S)}$ 이 존재한다.

\begin{matrix} X \\ f ↙ & ↓ \exists! & ↘ Frob \\ S & \leftarrow & X^{(p / S)} & \to F r o b_{a} & X \\ Frob ↘ & ↙ f \\ S \end{matrix}

이를 상대 프로베니우스 사상(영어: relative Frobenius morphism)이라고 한다.^[1]^{:94, Definition 3.2.23} 이는 자연 변환

{Frob}_{/ S} : {Id}_{Sch / S} \to {Id}_{Sch / S}

을 이룬다.

물론, $S = Spec 𝔽_{p}$ 라면 (또는 보다 일반적으로 ${Frob}_{S} = {id}_{S}$ 라면) 상대 프로베니우스 사상은 절대 프로베니우스 사상과 같다.

성질

소수 표수의 가환환 $R$ 위의 프로베니우스 사상이 단사 함수일 필요충분조건은 $R$ 가 축소환인 것이다. 특히, 양의 표수의 체 위의 프로베니우스 사상은 단사 함수이다.

양의 표수의 체 $K$ 에 대하여 프로베니우스 사상이 전단사 함수(즉, 자기 동형)가 될 필요충분조건은 $K$ 가 완전체인 것이다.

고정점

유한체 $𝔽_{p}$ 위의 프로베니우스 사상은 항등 함수이다 (페르마 소정리).

a^{p} = a \forall a \in 𝔽_{p}

양의 표수 $p > 0$ 의 체 $K / 𝔽_{p}$ 위의 프로베니우스 사상의 고정점은 다항식 $x^{p} - x \in K [x]$ 의 근을 이룬다. 대수학의 기본 정리에 따라 $p$ 차 다항식의 근의 수는 $p$ 개 이하이며, $𝔽_{p} \subseteq K$ 는 이미 $p$ 개의 근을 이루므로, $K$ 위의 프로베니우스 사상의 고정점 집합은 $𝔽_{p}$ 이다. 보다 일반적으로, 양의 표수 $p > 0$ 의 정역 $D$ 에 대해서, 항상 분수체 $Frac D \supseteq D \supseteq 𝔽_{p}$ 를 취할 수 있으므로, 표수 $p$ 의 정역 위의 프로베니우스 사상의 고정점 집합 역시 $𝔽_{p}$ 이다.

{a \in D : a^{p} = a} = 𝔽_{p}

갈루아 군

유한체 $𝔽_{p}$ 의 유한 확대 $𝔽_{p^{n}} / 𝔽_{p}$ 의 갈루아 군은 순환군이다.

Gal (𝔽_{p^{n}} / 𝔽_{p}) ≅ ℤ / n

프로베니우스 자기 동형

{Frob}_{𝔽_{p^{n}}} \in Gal (𝔽_{p^{n}} / 𝔽_{p})

은 이 갈루아 군의 생성원을 이룬다.

마찬가지로, 유한체 $𝔽_{p^{m}}$ 의 유한 확대 $𝔽_{p^{m n}} / 𝔽_{p^{m}}$ 의 갈루아 군은 순환군

Gal (𝔽_{p^{m n}} / 𝔽_{p^{m}}) ≅ ℤ / n

이며, 프로베니우스 자기 동형의 $m$ 제곱

\overset{m}{\overset{⏞}{{Frob}_{𝔽_{p^{m}}} \circ \dots \circ {Frob}_{𝔽_{p^{m}}}}} \in Gal (𝔽_{p^{m n}} / 𝔽_{m})

은 그 생성원을 이룬다.

증명:

$𝔽_{p^{m n}}$ 의 곱셈군 $F_{p^{m n}}^{\times}$ 은 $p^{m n} - 1$ 차 순환군이므로, 임의의 $a \in 𝔽_{p^{m n}}^{\times}$ 에 대하여 $a^{p^{m n} - 1} = 1$ 이며, 따라서 임의의 $a \in 𝔽_{p^{m n}}$ 에 대하여 $a^{p^{m n}} = a$ 이다. 임의의 $0 < i < n$ 에 대하여, $x^{p^{m} i} = x$ 의 근의 수는 $p^{m i}$ 이하이므로, $a^{p^{m i}} \neq a$ 인 $a \in 𝔽_{p^{m n}}$ 이 존재한다. 즉,

ϕ = \overset{m}{\overset{⏞}{{Frob}_{𝔽_{p^{m}}} \circ \dots \circ {Frob}_{𝔽_{p^{m}}}}}

를 생성원으로 하는 순환군은 $n$ 차 순환군이다. $ϕ$ 가 갈루아 군의 원소이므로, 이 순환군의 $n$ 개의 원소 역시 갈루아 군의 원소들이다. 그런데 갈루아 군의 원소의 수는 확대의 차수

[𝔽_{p^{m n}} : 𝔽_{p^{m}}] = n

이하여야 한다. 따라서 이 순환군은 갈루아 군 전체와 같다.

스킴 위의 갈루아 군의 작용

유한체 $𝔽_{p^{n}}$ 위의 스킴 $X / 𝔽_{p^{n}}$ 가 주어졌다고 하자. 유한체 $𝔽_{p^{n}}$ 은 완전체이므로 $𝔽_{p^{n}}$ 의 프로베니우스 사상은 자기 동형 사상이며, $X^{(p / 𝔽_{p^{n}})}$ 및 $X^{(p^{- 1} / 𝔽_{p^{n}})}$ 은 $X$ 와 동형이다. 즉, 산술·기하 프로베니우스 사상은 $X$ 위의 자기 사상으로 생각할 수 있다.

이제, $X$ 의 $𝔽_{p^{n}}$ -점들의 집합 $X (𝔽_{p^{n}})$ 위에는 갈루아 군 $Gal (𝔽_{p^{n}} / 𝔽_{p}) ≅ ℤ / n$ (의 생성원인 프로베니우스 자기 동형)이 다음과 같이 자연스럽게 작용한다.

(Spec 𝔽_{p^{n}} \overset{x}{\to} X) \mapsto (Spec 𝔽_{p^{n}} \overset{Frob}{\to} Spec 𝔽_{p^{n}} \overset{x}{\to} X)

또한, $X (𝔽_{p^{n}})$ 위에는 산술 프로베니우스 사상으로 생성되는 순환군이 자연스럽게 작용한다.

(Spec 𝔽_{p^{n}} \overset{x}{\to} X) \mapsto (Spec 𝔽_{p^{n}} \overset{x}{\to} X \overset{F r o b_{a}}{\to} X)

이 두 작용은 서로 일치한다.

따라서, 산술 프로베니우스 사상 ${Frob}_{a, X / 𝔽_{p^{n}}} : (X^{(p / 𝔽_{p^{n}})} ≅ X) \to X$ 은 $𝔽_{p^{n}}$ -점의 집합 위의 갈루아 군 $Gal (𝔽_{p^{n}} 𝔽_{p}) ≅ ℤ / n$ 의 작용을 나타낸다.

에탈 코호몰로지 위의 프로베니우스 사상

유한체 $𝔽_{p}$ 위의 스킴 $X / 𝔽_{p}$ 가 주어졌다고 하자. $\bar{X} = X \otimes_{𝔽_{p}} Spec {\bar{𝔽}}_{p}$ 위의 작은 에탈 위치 ${\bar{X}}_{\overset{´}{e} t}$ 를 생각하자. 그렇다면, $X$ 위의 상대 프로베니우스 사상

{Frob}_{X / {\bar{𝔽}}_{p}} : \bar{X} \to \bar{X}

과 기하 프로베니우스 사상

{Frob}_{g, X / {\bar{𝔽}}_{p}} X : \bar{X} \to \bar{X}

은 토포스 ${\bar{X}}_{\overset{´}{e} t}$ 위의 같은 기하학적 사상

f : {Frob}_{X / {\bar{𝔽}}_{p}} = {Frob}_{g, X / {\bar{𝔽}}_{p}} : {\bar{X}}_{\overset{´}{e} t} \to {\bar{X}}_{\overset{´}{e} t}

을 유도한다.

특히, ${\bar{X}}_{\overset{´}{e} t}$ 위의 아벨 군 값의 층 $ℱ$ 이 주어졌다고 하면, 상대 프로베니우스 사상과 기하 프로베니우스 사상은 $ℱ$ 의 에탈 코호몰로지 위에 똑같이 작용한다.

{Frob}_{X / {\bar{𝔽}}_{p}}^{*} = {Frob}_{g, X / {\bar{𝔽}}_{p}}^{*} : H_{\overset{´}{e} t}^{∙} (\bar{X}; ℱ) \to H_{\overset{´}{e} t}^{∙} (\bar{X}; f^{*} ℱ)

수론적 성질

대수적 수론에서, 국소체 또는 대역체의 비분기 확대에 대하여 프로베니우스 원소(영어: Frobenius element)라는, 잉여류체 갈루아 군의 특별한 원소를 정의할 수 있다. 이는 유체론에서 아르틴 기호를 정의하는 데 사용된다.

국소체

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

두 비아르키메데스 국소체 $L$ , $K$ 사이의 비분기 유한 갈루아 확대 $L / K$

대수적 정수환 $𝒪_{L}$ 의 유일한 극대 아이디얼을 $𝔓 \in Spec 𝒪_{L}$ 라고 하고, $𝒪_{K}$ 의 유일한 극대 아이디얼을 $𝔭 \in Spec 𝒪_{K}$ 라고 하자.

그렇다면, 잉여류체 $𝒪_{L} / 𝔓$ 와 $𝒪_{K} / 𝔭$ 는 둘 다 유한체이며,

[𝒪_{L} / 𝔓 : 𝒪_{K} / 𝔭] = [L : K]

이다. (여기서 $[:]$ 는 체의 확대의 차수이다.) 그렇다면, 다음 조건을 만족시키는 유일한 원소

{Frob}_{L / K} \in Gal (\frac{𝒪_{L} / 𝔓}{𝒪_{K} / 𝔭})

가 존재하며, 이를 $L / K$ 의 프로베니우스 원소라고 한다.

{Frob}_{L / K} (x) \equiv x^{| 𝒪_{K} / 𝔭 |} (\mod 𝔓) \forall x \in 𝒪_{L}

대역체

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

$K / ℚ$ 가 갈루아 확대인 대수적 수체 $K$
소 아이디얼 $𝔭 \in Spec (𝒪_{K})$ ( $𝒪_{K}$ 는 대수적 정수환). 소수 $p$ 에 대하여 $𝔭 ∣ p$ 이며, $𝔭 ∣ p$ 가 비분기라고 하자.

$𝔭$ 가 비분기 자리이므로, 갈루아 군 $Gal (K / ℚ)$ 은 $𝔭$ 를 고정시킨다. 즉, $𝔭$ 에서의 분해군(영어: decompsition group)

G_{𝔭} = {g \in Gal (K / ℚ) : g \cdot 𝔭 = 𝔭}

은 갈루아 군 $Gal (K / ℚ)$ 전체이다.

이 경우,

g (x) \equiv x^{p} (\mod 𝔭) \forall x \in 𝒪_{K_{𝔭}}

를 만족시키는 유일한 원소

g \in Gal (K_{𝔭} / 𝔽_{p})

가 존재한다. (여기서 $K_{𝔭}$ 는 $𝔭$ 진 자리에 대한 완비체이며, 이는 잉여류체가 $𝔽_{p}$ 인 이산 값매김환의 분수체이다.) 이를 $𝔭$ 의 프로베니우스 원소 ${Frob}_{𝔭} \in Gal (K_{𝔭} / 𝔽_{p})$ 라고 한다.

예

유한체 계수의 유리 함수체 $𝔽_{p} (t)$ 의 프로베니우스 사상은 전사 함수가 아니다. 예를 들어, $t$ 는 프로베니우스 사상의 상에 포함되지 않는다. 따라서 $𝔽_{p} (t)$ 는 완전체가 아니다.

역사

페르디난트 게오르크 프로베니우스가 1896년에 도입하였다.^[2]

같이 보기

완전체

각주

↑ ^가 ^나 Liu, Qing (2006년 6월 29일). 《Algebraic geometry and arithmetic curves》 2판 (영어). 번역 Erne, Reinie. Oxford Graduate Texts in Mathematics 6. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-920249-2. MR 1917232. Zbl 1103.14001. 2016년 3월 5일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2017년 5월 7일에 확인함.
↑ Frobenius, F. G. (1896). “Über Beziehungen zwischen den Primidealen eines algebraischen Körpers und den Substitutionen seiner Gruppe” (독일어). 《Sitzungsberichte der Königlich Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin》: 689–703. JFM 27.0091.04. 2016년 4월 25일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2020년 6월 1일에 확인함.

외부 링크

“Frobenius endomorphism” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
“Frobenius automorphism” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Frobenius automorphism” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research.
“Frobenius morphism” (영어). 《nLab》.
Ben-Zvi, David. “The Frobenius page” (영어).
이철희. “프로베니우스 원소”. 《수학노트》.
“Geometric vs arithmetic Frobenius” (영어). Math Overflow. 2016년 4월 17일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2016년 4월 10일에 확인함.

[Liu-1] 가 ^나 Liu, Qing (2006년 6월 29일). 《Algebraic geometry and arithmetic curves》 2판 (영어). 번역 Erne, Reinie. Oxford Graduate Texts in Mathematics 6. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-920249-2. MR 1917232. Zbl 1103.14001. 2016년 3월 5일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2017년 5월 7일에 확인함.

[2] Frobenius, F. G. (1896). “Über Beziehungen zwischen den Primidealen eines algebraischen Körpers und den Substitutionen seiner Gruppe” (독일어). 《Sitzungsberichte der Königlich Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin》: 689–703. JFM 27.0091.04. 2016년 4월 25일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2020년 6월 1일에 확인함.

[1]

[2]