당김 (범주론)

범주론에서 당김(영어: pullback 풀백^[*])은 어떤 한 쌍의 사상에 의해 결정되는, 곱의 일반화이다. 일부 범주에서는 흔히 올곱(미국 영어: fibered product, 영국 영어: fibred product)이라고 불린다.

정의

어떤 범주에서 대상 $X,Y,Z$ 및 사상

$X\stackrel{f}{\to }Z\stackrel{g}{\leftarrow }Y$

이 주어졌을 때, $X$와 $Y$의 당김 $X{\times }_{Z}Y$는 다음과 같은 가환 그림을 만족시키는 대상 $P$ 및 사상 $p_1,p_2$으로 구성된다.

$\begin{array}{ccc}P& \stackrel{p_1}{\to }& X\\ p_2\downarrow & & \downarrow f\\ Y& \to g& Z\end{array}$

위와 같은 가환 그림을 당김 사각형(영어: pullback square)이라고 한다. 이 그림에서, $f$를 $g$에 대한 당김 또는 밑 변환(-變換, 영어: base change)이라고 한다.

이는 범주론적 극한을 이루어야 한다. 즉, 다음과 같은 보편 성질을 만족시켜야 한다. 다른 모든 대상 $P^{\prime }$ 및 사상 $p{\text{'}}_1:P^{\prime }\to X$, $p{\text{'}}_2:P^{\prime }\to Y$에 대하여, 만약 $f\circ p{\text{'}}_1=g\circ p{\text{'}}_2$라면 다음 그림을 가환하게 만드는 사상 $u:P^{\prime }\to P$가 유일하게 존재한다.

$\begin{array}{ccc}& & P^{\prime }\\ {}^{p{\text{'}}_1}& \swarrow & \downarrow \mathrm{\exists }!u& \searrow & {}^{p{\text{'}}_2}\\ X& \leftarrow & P& \to & Y\\ {}_f& \searrow & & \swarrow & {}_g\\ & & Z\end{array}$

만약 $X=Y$이며 $f=g$일 경우, $X\stackrel{f}{\to }Z\stackrel{f}{\leftarrow }X$의 당김은 핵쌍(核雙, 영어: kernel pair)이라고 한다.

밑 변환

범주 $𝒞$의 사상에 대한 어떤 성질 $𝔓$가 주어졌다고 하자. (즉, $𝒞$의 사상들의 모임 $𝔓\subseteq \mathrm{Mor}(𝒞)$가 주어졌다고 하자.)

만약 모든 $𝔓$ 사상 $f:X\to Y$ 및 임의의 사상 $Y^{\prime }\to Y$에 대하여 밑 변환 $f^{\prime }:X{\times }_Y{Y}^{\prime }\to Y^{\prime }$ 역시 $𝔓$ 사상이라면, $𝔓$를 밑 변환에 대하여 안정적인 성질(영어: property invariant under base change)이라고 한다.

밑 변환에 대하여 불안정한 성질 $𝔓$에 대하여, 보편 $𝔓$ 사상(영어: universally $𝔓$ morphism)은 다음 조건을 만족시키는 사상 $f:X\to Y$이다.

• 임의의 사상 $Y^{\prime }\to Y$에 대하여, 밑 변환 $f^{\prime }:X{\times }_Y{Y}^{\prime }\to Y^{\prime }$은 $𝔓$ 사상이다.

범주 $𝒞$가 모든 당김을 갖는다고 하자. 그렇다면, 밑 변환에 의하여, 임의의 사상 $f:B^{\prime }\to B$에 대하여 조각 범주 사이의 함자

$f^{*}:𝒞/B\to 𝒞/B^{\prime }$

가 존재하며, 이는 조각 범주의 대상과 사상에 다음과 같이 작용한다.

$f^{*}:(X\to B)\mapsto (X{\times }_B{B}^{\prime }\to B^{\prime })$

$f^{*}:\left(\begin{array}{c}X\\ g\downarrow & \searrow \\ Y& \to & B\end{array}\right)\mapsto \left(\begin{array}{c}X{\times }_B{B}^{\prime }\\ f^{*}g\downarrow & \searrow \\ Y{\times }_B{B}^{\prime }& \to & B\end{array}\right)$

여기서 사상 $X{\times }_B{B}^{\prime }\to Y{\times }_B{B}^{\prime }$는 다음과 같이, 당김 보조정리에 의하여 존재한다.

$\begin{array}{ccccccc}X{\times }_B{B}^{\prime }& \cong & X{\times }_Y(Y{\times }_B{B}^{\prime })& \to & Y{\times }_B{B}^{\prime }& \to & B^{\prime }\\ & & \downarrow & & \downarrow & & \downarrow \\ & & X& \to & Y& \to & B\end{array}$

즉, 왼쪽·오른쪽 사각형이 둘 다 당김 사각형이므로 전체 사각형 역시 당김 사각형이며, $X{\times }_Y(Y{\times }_B{B}^{\prime })\cong X{\times }_B{B}^{\prime }$이 된다.

만약 $𝒞$가 토포스라면, 그 위의 조각 범주 $𝒞/B$, $𝒞/B^{\prime }$ 역시 토포스이며, 밑 변환 함자는 왼쪽 수반 함자와 오른쪽 수반 함자를 갖는다.

$f_{!}⊣f^{*}⊣f_{*}$

또한, $(f_{!},f^{*},f_{*})$는 토포스 사이의 본질적 기하학적 사상을 이룬다.

성질

곱과의 관계

(유한) 곱과 동등자가 존재하는 범주에서는 당김이 존재한다. 구체적으로, 곱

$X\stackrel{{\pi }_X}{\leftarrow }X\times Y\stackrel{{\pi }_Y}{\to }Y$

이 주어졌을 때,

$X\stackrel{f}{\to }Z\stackrel{g}{\leftarrow }Y$

의 당김은

$X\times Y\underset{g\circ {\pi }_Y}{\overset{f\circ {\pi }_X}{\to }}Z$

의 동등자이다. 반대로, 당김과 곱이 존재하는 범주에서는 동등자가 존재한다.

만약 $1$이 끝 대상일 경우, $X{\times }_{1}Y\cong X\times Y$이다. 즉, 끝 대상이 존재하는 경우 당김(올곱)은 곱의 일반화이다.

당김 사각형의 붙임

다음과 같은 가환 그림이 주어졌다고 하자.

$\begin{array}{ccccc}\bullet & \to & \bullet & \to & \bullet \\ \downarrow & & \downarrow & & \downarrow \\ \bullet & \to & \bullet & \to & \bullet \end{array}$

이 그림에서, 왼쪽 사각형 · 오른쪽 사각형 · 전체 사각형이 각각 당김 사각형을 이루는지 여부를 고려할 수 있다. 그렇다면, 당김 보조정리(영어: pullback lemma)에 따르면 다음이 성립한다.

• 오른쪽 사각형이 당김 사각형이라고 가정했을 때, 왼쪽 사각형이 당김 사각형인 것은 전체 사각형이 당김 사각형인 것과 동치이다.

그러나 이러한 정리는 왼쪽 사각형에 대하여 성립하지 않는다. 즉, 두 개의 당김 사각형을 붙여 당김 사각형을 만들 수 있고, 반대로 당김 사각형을 반으로 갈랐을 때 오른쪽이 당김 사각형이라면 왼쪽도 마찬가지다. (그러나 왼쪽이 당김 사각형일 경우 오른쪽은 아닐 수 있다.)

즉, 다음과 같은 경우가 가능하다. (표에서 "예"는 당김 사각형인 경우, "아니오"는 당김 사각형이 아닌 경우이다.)

오른쪽	왼쪽	전체	가능?
예	예	예	가능
예	예	아니오	불가능
예	아니오	예	불가능
예	아니오	아니오	가능
아니오	예	예	가능
아니오	예	아니오	가능
아니오	아니오	예	가능
아니오	아니오	아니오	가능

예

대수적 범주

대수 구조 다양체로 정의되는 범주의 경우, 당김이 항상 존재하며, 보통 올곱으로 불린다. 다음과 같은 대수 구조 및 준동형

$X\stackrel{f}{\to }Z\stackrel{g}{\leftarrow }Y$

의 당김은 다음과 같다.

$X{\times }_{Z}Y=\{(x,y)\in X\times Y:f(x)=g(y)\in Z\}=\underset{z\in Z}{⨆}{f}^{-1}(z)\times g^{-1}(z)\subset X\times Y$

이 경우 사상 $X{\times }_{Z}Y\to X$, $X_{\times }ZY\to Y$는 자연스러운 사영 함수 $(x,y)\mapsto x$, $(x,y)\mapsto y$이다. 예를 들어, 집합과 함수의 범주 $\mathrm{Set}$는 아무런 연산을 갖지 않는 대수 구조이므로 당김이 존재한다. 마찬가지로, 군의 범주 $\mathrm{Grp}$, 아벨 군의 범주 $\mathrm{Ab}$, 유사환의 범주 $\mathrm{Rng}$, 환의 범주 $\mathrm{Ring}$, 가환환의 범주 $\mathrm{CRing}$ 등에서도 모두 당김이 존재한다.

위상 공간

위상 공간의 범주에서, $X\to Z\leftarrow Y$의 당김은 곱공간 $X\times Y$의 다음과 같은 부분 공간이다.

$X{\times }_{Z}Y=\{(x,y)\in X\times Y:f(x)=f(y)\}\subseteq X\times Y$

집합으로서 이는 집합의 범주에서의 당김과 같다.

특히, 올다발 $\pi :E\to B$ 및 연속 함수 $X\to B$가 주어졌을 때, $E{\times }_{B}X$는 $X$ 위에서 정의된 $\pi$의 당김 올다발이다. "당김"이라는 이름은 이로부터 유래하였다.

스킴

스킴의 범주 $\mathrm{Sch}$는 유한 완비 범주이며, 특히 모든 당김을 갖는다. 스킴의 당김은 (망각 함자 $\mathrm{Sch}\to \mathrm{Top}$ 아래) 일반적으로 위상 공간의 당김과 다르다.

스킴 사상의 성질 가운데 밑 변환에 대하여 안정적인 것은 다음이 있다.

• 전사 함수
• 준콤팩트 함수
• 닫힌 몰입
• 열린 몰입
• 분리 사상
• 준분리 사상
• 유한 사상
• 국소 유한 표시 사상
  • 유한 표시 사상 = 준콤팩트 함수 + 준분리 사상 + 국소 유한 표시 사상
• 국소 유한형 사상
  • 유한형 사상 = 준콤팩트 함수 + 국소 유한형 사상
• 고유 사상
• 평탄 사상
• 형식적 매끄러운 사상
  • 매끄러운 사상 = 국소 유한 표시 사상 + 형식적 매끄러운 사상
• 형식적 비분기 사상
  • 비분기 사상 = 국소 유한 표시 사상 + 형식적 비분기 사상
  • 에탈 사상 = 국소 유한 표시 사상 + 형식적 매끄러운 사상 + 형식적 비분기 사상

스킴 사상의 성질 가운데 밑 변환에 대하여 불안정한 것은 다음이 있다.

• 전단사 함수
• 단사 함수
• 열린 함수
• 닫힌 함수
• 우세 사상
• 위상 동형

같이 보기

• 곱 (범주론)
• 밂 (범주론)
• 데카르트 사상

참고 문헌

• Mac Lane, Saunders (1998). 《Categories for the working mathematician》 2판 (영어). Graduate Texts in Mathematics 5. Springer. doi:10.1007/978-1-4757-4721-8. ISBN 978-1-4419-3123-8. ISSN 0072-5285. MR 1712872. Zbl 0906.18001.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크)

외부 링크

• “Fibre product of objects in a category” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Pullback map” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research. 
• “Pullback” (영어). 《nLab》. 
• “Kernel pair” (영어). 《nLab》. 
• “Base change” (영어). 《nLab》.