지수열

복소기하학에서, 지수열(指數列, 영어: exponential sequence)은 복소수의 지수 함수로부터 유도되는 층들의 긴 완전열이다.

정의

복소다양체 $M$ 위에서, $𝒪_{M}$ 이 정칙 함수의 층, $𝒪_{M}^{\times}$ 이 가역 정칙 함수의 층이라고 하자. 이는 둘 다 아벨 군의 층이다. 그렇다면, 지수 함수

\exp (2 π i \cdot (-)) : ℂ \to ℂ^{\times}

로부터, 층의 사상

\exp : 𝒪_{X} \to 𝒪_{X}^{\times}

을 정의할 수 있다. 이로 인하여, 다음과 같은 층의 짧은 완전열이 존재한다.

0 \to \underline{ℤ} \to 𝒪_{M} \overset{\exp (2 π i \cdot)}{\to} 𝒪_{M}^{\times} \to 0

여기서 $\underline{ℤ}$ 는 $ℤ$ 의 값을 갖는 상수층이다.

임의의 열린집합 $U \subseteq M$ 에 대하여, 단면 함자 $Γ (U; -)$ 를 취하면, 다음과 같은 긴 완전열을 얻는다.

0 \to H^{0} (U; \underline{ℤ}) \to H^{0} (U; 𝒪_{M}) \to H^{0} (U; 𝒪_{M}^{\times}) \to H^{1} (U; \underline{ℤ}) \to H^{1} (U; 𝒪_{M}) \to H^{1} (U; 𝒪_{M}^{\times}) \to H^{2} (U; \underline{ℤ}) \to H^{2} (U; 𝒪_{M}) \to H^{2} (U; 𝒪_{M}^{\times}) \to \dots

이를 지수열이라고 한다.^[1]^{:446–447, §B.5}

성질

로그의 존재

지수열

0 \to H^{0} (U; \underline{ℤ}) \to H^{0} (U; 𝒪_{M}) \overset{\exp (2 π i \cdot)}{\to} H^{0} (U; 𝒪_{M}^{\times}) \to H^{1} (U; \underline{ℤ})

에서, 지수 함수 $\exp$ 의 역함수 $\log$ 가 (적어도 하나 이상) 존재하려면, $\exp$ 가 전사 함수여야 한다. 따라서, $U$ 가 단일 연결 공간이라면 ( $H^{0} (U; ℤ) ≅ H^{1} (U; ℤ) ≅ 0$ ), 어디서도 0이 아닌 모든 함수는 (적어도 하나의) 로그를 취할 수 있다.

예를 들어, $U = ℂ^{\times}$ 인 경우, $z \mapsto 1 / z$ 는 어디서도 0이 아니지만, 로그를 취할 수 없다.

천 특성류

지수열

\dots \to H^{1} (U; \underline{ℤ}) \to H^{1} (U; 𝒪_{M}) \to H^{1} (U; 𝒪_{M}^{\times}) \to H^{2} (U; \underline{ℤ}) \to H^{2} (U; 𝒪_{M}) \to \dots

에서, $H^{1} (U; 𝒪_{M}^{\times})$ 는 $U$ 의 피카르 군(해석적 선다발의 텐서곱군)이다.^[1]^:446–447 따라서, 사상 $H^{1} (U; 𝒪_{M}^{\times}) \to H^{2} (M; ℤ)$ 는 해석적 선다발을 그 천 특성류로 대응시킨다.

만약 $U$ 가 슈타인 다양체인 경우, 카르탕 B정리에 의하여

H^{1} (U; 𝒪_{M}) ≅ H^{2} (U; 𝒪_{M}) ≅ 0

이다. 따라서

H^{1} (U; 𝒪_{M}^{\times}) ≅ H^{2} (U; ℤ)

이다. 즉, 해석적 선다발들은 2차 코호몰로지류와 (천 특성류에 의하여) 일대일 대응한다.

예

$Σ_{g}$ 가 종수 $g$ 의 연결 콤팩트 리만 곡면이라고 하자. 그렇다면 특이 코호몰로지 군들은 다음과 같다.

H^{1} (Σ_{g}; \underline{ℤ}) ≅ ℤ^{2 g}

H^{0} (Σ_{g}; \underline{ℤ}) ≅ H^{2} (Σ_{g}; \underline{ℤ}) ≅ ℤ

H^{i} (Σ_{g}; \underline{ℤ}) = 0 \forall i > 2

또한, 연결 콤팩트 리만 곡면 위의 정칙 함수는 상수 함수밖에 없으므로, 다음이 성립한다.

H^{0} (Σ_{g}; 𝒪_{Σ_{g}}) ≅ ℂ

H^{0} (Σ_{g}; 𝒪_{Σ_{g}}) ≅ ℂ^{\times}

또한, 돌보 코호몰로지에 의하여 다음이 성립한다.

H^{1} (Σ_{g}; 𝒪_{Σ_{g}}) ≅ ℂ^{h^{0, 1}} = ℂ^{g}

H^{p} (Σ_{g}; 𝒪_{Σ_{g}}) ≅ ℂ^{h^{0, p}} = 0 \forall p > 1

따라서, 지수열은 다음과 같다.

0 \to ℤ \to ℂ \to ℂ^{\times} \to ℤ^{2 g} \to ℂ^{g} \to Pic (Σ_{g}) \to ℤ \to 0 \to 0 \to 0 \to \dots

여기서, $\exp (2 π i \cdot) : ℂ \to ℂ^{\times}$ 는 전사 함수이므로, 이 부분은 끊어 없앨 수 있다. 따라서, 지수열의 자명하지 않은 부분은 다음과 같다.^[1]^:447

0 \to ℤ^{2 g} \to ℂ^{g} \to Pic (Σ_{g}) \to ℤ \to 0

따라서, 야코비 다양체(피카르 군의 항등원의 연결 성분)는 다음과 같다.

J (Σ_{g}) = {Pic}^{0} (Σ_{g}) ≅ ℂ^{g} / ℤ^{2 g}

또한, 네롱-세베리 군은 다음과 같다.

NS (Σ_{g}) = Pic (X) / J (Σ_{g}) = ℤ

이 동형은 인자의 차수에 의하여 주어진다.

같이 보기

쿠쟁 문제

각주

↑ ^가 ^나 ^다 Hartshorne, Robin (1977). 《Algebraic geometry》 (영어). Graduate Texts in Mathematics 52. Springer. doi:10.1007/978-1-4757-3849-0. ISBN 978-0-387-90244-9. ISSN 0072-5285. MR 0463157. Zbl 0367.14001.

외부 링크

“Exponential exact sequence” (영어). 《nLab》. 2015년 2월 25일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2015년 2월 25일에 확인함.

[Hartshorne-1] 가 ^나 ^다 Hartshorne, Robin (1977). 《Algebraic geometry》 (영어). Graduate Texts in Mathematics 52. Springer. doi:10.1007/978-1-4757-3849-0. ISBN 978-0-387-90244-9. ISSN 0072-5285. MR 0463157. Zbl 0367.14001.

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