특이 호몰로지

대수적 위상수학에서 특이 호몰로지(特異homology, 영어: singular homology 싱귤러 호몰로지^[*])는 단체를 사용하여 정의하는 호몰로지 이론이다.

정의

$X$ 가 위상 공간이며, $R$ 가 (1을 갖는) 환이라고 하자. 그렇다면, $X$ 의, $R$ 계수의 특이 호몰로지는 다음과 같이 정의된다.

사슬

$n$ 차원 표준 단체(標準單體, 영어: standard simplex) $Δ^{n} \subset ℝ^{n + 1}$ 은 다음과 같다.

Δ^{n} = {(x_{0}, x_{1}, \dots, x_{n}) | 0 \leq x_{i} \leq 1, \sum_{i} x_{i} = 1}

.

이는 선분과 삼각형, 사면체를 일반화한 것이다.

$X$ 위의 $n$ 차원 특이 단체(特異單體, 영어: singular complex)는 연속 함수

σ_{n} : Δ^{n} \to X

를 뜻한다. $X$ 위의, $R$ 계수의 $n$ 차원 사슬(영어: chain)은 모든 $n$ 차원 특이 단체로 의하여 생성되는, $R$ 위의 왼쪽 자유 가군의 원소다. 이 자유 가군을 $C_{n} (X; R)$ 라고 쓰자. (만약 $R = ℤ$ 일 경우, 이는 자유 아벨 군이 된다.)

경계

표준 단체 $Δ^{n}$ 의 꼭짓점들을 $p_{1}, \dots, p_{n}$ 이라고 하자. 표준 단체 $Δ^{n}$ 의 경계는 그 면들로 이루어져 있는데, 이들은 $n + 1$ 개의 꼭짓점 가운데 하나씩을 제외하여 나열할 수 있다. 예를 들어

[p_{0}, p_{2}, \dots, p_{k - 1}, p_{k + 1}, \dots, p_{n}]

의 꼴이다. 이를 편의상

[p_{0}, p_{1}, \dots, p_{k - 1}, {\hat{p}}_{k}, p_{k + 1}, \dots, p_{n}]

로 쓰자.

$n$ 차원 특이 단체 $σ_{n} : Δ^{n} \to X$ 의 경계(境界, 영어: boundary) $\partial_{n} σ_{n} \in C_{n - 1} (X; R)$ 는 다음과 같다.

\partial_{n} σ_{n} = \sum_{k = 0}^{n} (- 1)^{k} σ |_{[p_{0}, \dots, {\hat{p}}_{k}, \dots, p_{n}]}

.

경계 연산자 $\partial_{n}$ 는 특이 단체뿐만 아니라 일반적인 사슬에 대해서도 선형으로 자연스럽게 확장할 수 있다. 즉 $\partial_{n} : C_{n} \to C_{n - 1}$ 이다. 이는 $R$ 위의 가군의 가군 준동형을 이룬다. 또한, $\partial_{n - 1} \circ \partial_{n} : C_{n} (X) \to C_{n - 2} (X)$ 는 항상 0이다. 따라서 $(C_{∙} (X), \partial_{∙})$ 은 사슬 복합체를 이룬다. 이 사슬 복합체를 이용하여 정의한 호몰로지

H_{n} (X) = \ker \partial_{n} / im \partial_{n + 1}

들을 특이 호몰로지라고 한다. 이는 $R$ 위의 왼쪽 가군을 이룬다. (사슬 가군은 자유 가군이지만, 호몰로지는 일반적으로 자유 가군이 아니다.)

특이 코호몰로지

$X$ 위의 공사슬(共-, 영어: cochain)은 가군 준동형 $ϕ^{n} : C_{n} (X; R) \to R$ 이다. 공사슬의 집합은 아벨 군을 이루며, $C^{n} (X; R) = hom (C_{n} (X; R), R)$ 으로 쓴다. 공사슬의 공경계(共境界, 영어: coboundary) $δ_{n} : C^{n} (X; R) \to C^{n + 1} (X; R)$ 은 다음과 같다.

δ_{n} (ϕ^{n}) (σ_{n + 1}) = ϕ^{n} (\partial_{n + 1} σ_{n + 1})

.

$(C^{∙} (X; R), δ_{∙})$ 은 공사슬 복합체를 이룬다. 이 복합체를 이용하여 정의한 코호몰로지

H^{n} (X) = \ker δ_{n} / im δ_{n - 1}

들을 특이 코호몰로지(영어: singular cohomology)라고 한다.

성질

$K$ 가 체라면, 보편 계수 정리에 따라서 특이 코호몰로지는 특이 호몰로지의 대수적 쌍대 공간이다.

H^{∙} (X; K) = H_{∙} (X; K)^{*} = {hom}_{K -Vect} (H_{∙} (X; K), K)

그러나 이는 (정수환을 포함한) 일반적인 환에 대하여 성립하지 않는다. 즉, 특이 코호몰로지는 사슬을 쌍대화한 뒤 호몰로지를 취한 것이지, 호몰로지를 취한 뒤 쌍대화한 것이 아니다.

예

초구

$n$ 차원 초구 $S^{n}$ 의 특이 호몰로지와 특이 코호몰로지는 다음과 같다.

H_{k} (S^{n}; R) = {\begin{matrix} R & k \in {0, n} \\ 0 & k \in̸ {0, n} \end{matrix} (n > 0)

H^{k} (S^{n}; R) = {\begin{matrix} R & k \in {0, n} \\ 0 & k \in̸ {0, n} \end{matrix} (n > 0)

H_{k} (S^{0}; R) = {\begin{matrix} R^{2} & k = 0 \\ 0 & k \neq 0 \end{matrix}

H^{k} (S^{0}; R) = {\begin{matrix} R^{2} & k = 0 \\ 0 & k \neq 0 \end{matrix}

사영 공간

복소수 사영 공간 $ℂ P^{n}$ 의 특이 호몰로지는 다음과 같다.

H_{k} (ℂ P^{n}; R) = {\begin{matrix} R & 2 ∣ q \leq 2 n \\ 0 & q ∤ q \lor q > 2 n \end{matrix}

H^{k} (ℂ P^{n}; R) = {\begin{matrix} R & 2 ∣ q \leq 2 n \\ 0 & q ∤ q \lor q > 2 n \end{matrix}

실수 사영 공간의 특이 호몰로지는 다음과 같다.

H_{k} (ℝ P^{n}; ℤ) = {\begin{matrix} ℤ & k = 0 \lor 2 ∤ i = n \\ ℤ / (2) & 0 < k < n, 2 ∤ k \\ 0 & otherwise \end{matrix}

H_{k} (ℝ P^{n}; 𝔽_{2}) = {\begin{matrix} 𝔽_{2} & k \leq n \\ 0 & k \geq n \end{matrix}

H_{k} (ℝ P^{n}; K) = {\begin{matrix} K & k = 0 \lor 2 ∤ i = n \\ 0 & otherwise \end{matrix}

여기서 $K$ 는 표수가 2가 아닌 임의의 체이다.

원환면

$n$ 차원 원환면 $T^{n}$ 의 특이 호몰로지 군은 다음과 같다.

H_{k} (T^{n}; ℤ) = ℤ^{(\binom{n}{k})}

.

여기서 $(\binom{n}{k})$ 는 이항계수로, $k > n$ 인 경우 0으로 정의한다.

같이 보기

참고 문헌

Hatcher, Allen (2002). 《Algebraic topology》. Cambridge University Press. 108쪽. ISBN 0-521-79540-0.
조용승 (2010년 9월). 《대수적 위상수학》. 경문사. ISBN 978-89-6105-365-5. 2015년 2월 7일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2013년 4월 7일에 확인함.

외부 링크

“Singular homology” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Singular homology” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research.
“Singular homology” (영어). 《nLab》.
“Singular cohomology” (영어). 《nLab》.

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