라플라스 전개

선형대수학에서 라플라스 전개(-展開, 영어: Laplace expansion) 또는 여인자 전개(餘因子展開, 영어: cofactor expansion)는 행렬식을 더 작은 두 행렬식과 그에 맞는 부호를 곱한 것들의 합으로 전개하는 것이다.

내용

소행렬식과 여인자

n × n 정사각행렬 A의 (i, j) 소행렬식 M_ij는 A의 i행과 j열을 지워서 얻어진 행렬식이다. A의 여인자 C_ij는 거기에 1 또는 -1을 값으로 하는 계수 (-1)^{i + j}를 곱한 것이다. 즉,

C_{i j} = (- 1)^{i + j} M_{i j}

예를 들어 행렬

A = [\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{matrix}]

의 (2, 3) 소행렬식과 여인자는 각각 다음과 같다.

M_{23} = | \begin{matrix} 1 & 2 & ◻ \\ ◻ & ◻ & ◼ \\ 7 & 8 & ◻ \end{matrix} | = | \begin{matrix} 1 & 2 \\ 7 & 8 \end{matrix} | = - 6

C_{23} = (- 1)^{2 + 3} | \begin{matrix} 1 & 2 \\ 7 & 8 \end{matrix} | = - | \begin{matrix} 1 & 2 \\ 7 & 8 \end{matrix} | = 6

라플라스 전개

n × n 행렬 A = [a_ij]의 행렬식은 고정된 $i$ 행의 각 항과 그의 여인자의 곱으로 전개할 수 있다.

| A | = \sum_{j = 1}^{n} a_{i j} C_{i j}

비슷하게, 고정된 $j$ 열에 대하여 전개할 수 있다.

| A | = \sum_{i = 1}^{n} a_{i j} C_{i j}

고전적 수반 행렬

서로 다른 행의 항과 여인자를 붙여 전개하면 0이 된다.

\sum_{j = 1}^{n} a_{i j} C_{k j} = 0 (i \neq k)

비슷하게, 서로 다른 열의 항과 여인자를 붙여 전개하면 0이 된다.

\sum_{i = 1}^{n} a_{i j} C_{i k} = 0 (j \neq k)

즉,

\sum_{j = 1}^{n} a_{i j} C_{k j} = δ_{i k} | A |

\sum_{i = 1}^{n} a_{i j} C_{i k} = δ_{j k} | A |

여기서 $δ$ 는 크로네커 델타이다. 정리하면, 행렬과 그 고전적 수반 행렬의 곱은 다음과 같다.

A adj A = (adj A) A = | A | I

여러 행에 대한 전개

라플라스 전개는 임의의 $k$ 개의 행에 대한 전개로 일반화할 수 있다. 즉, 다음과 같은 대상들이 주어졌다고 하자.

$I$ , $J$ 는 1, ..., n}의 $k$ 원소 부분 집합이다. 즉, $k$ 개의 행과 열을 뜻한다.
A_{I, J}는 $A$ 에서 행 첨수가 $I$ 에, 열 첨수가 $J$ 에 있는 원소만을 골라내어 얻는 행렬식이다.
M_{I, J}는 $A$ 에서 행 첨수가 $I$ 에, 열 첨수가 $J$ 에 있는 원소만을 제거하여 얻는 행렬식이다.

그렇다면, 행렬식은 고정된 $k$ 개의 행 $I$ 에 대하여 다음과 같이 전개된다.

| A | = \sum_{| J | = k} (- 1)^{\sum I + \sum J} A_{I, J} M_{I, J}

비슷하게, 행렬식은 고정된 $k$ 개의 열 $J$ 에 대하여 다음과 같이 전개된다.

| A | = \sum_{| I | = k} (- 1)^{\sum I + \sum J} A_{I, J} M_{I, J}

여러 행에 대한 라플라스 전개는 필산하기에 복잡하나, 이론적으로 유용하다.

예

3 × 3 행렬

A = [\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{matrix}]

의 행렬식은 1행에 대한 라플라스 전개를 통해 다음과 같이 계산할 수 있다.

\begin{matrix} | A | & = (- 1)^{1 + 1} 1 | \begin{matrix} 5 & 6 \\ 8 & 9 \end{matrix} | + (- 1)^{1 + 2} 2 | \begin{matrix} 4 & 6 \\ 7 & 9 \end{matrix} | + (- 1)^{1 + 3} 3 | \begin{matrix} 4 & 5 \\ 7 & 8 \end{matrix} | \\ = 1 (- 3) - 2 (- 6) + 3 (- 3) \\ = 0 \end{matrix}

2열에 대하여 전개해도 결과는 같다.

\begin{matrix} | A | & = (- 1)^{2 + 1} 2 | \begin{matrix} 4 & 6 \\ 7 & 9 \end{matrix} | + (- 1)^{2 + 2} 5 | \begin{matrix} 1 & 3 \\ 7 & 9 \end{matrix} | + (- 1)^{2 + 3} 8 | \begin{matrix} 1 & 3 \\ 4 & 6 \end{matrix} | \\ = - 2 (- 6) + 5 (- 12) - 8 (- 6) \\ = 0 \end{matrix}

물론, $A$ 는 1행과 3행의 합이 2행의 2배이므로, 특이 행렬이다. 따라서, 행렬식은 당연히 위 계산대로 0이다.

4 × 4 행렬

A = [\begin{matrix} 1 & 2 & 1 & 4 \\ 0 & - 1 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 3 & 1 \end{matrix}]

의 행렬식은 1행에 대한 전개를 통해 계산할 수 있다. 먼저 소행렬식 $M_{11}$ , $M_{12}$ , $M_{13}$ , $M_{14}$ 는 모두 3 × 3 행렬식이므로 역시 다음과 같이 라플라스 전개를 통해 계산할 수 있다.

\begin{matrix} M_{11} & = | \begin{matrix} - 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 3 \\ 1 & 3 & 1 \end{matrix} | = - 1 | \begin{matrix} 1 & 3 \\ 3 & 1 \end{matrix} | - 2 | \begin{matrix} 0 & 3 \\ 1 & 1 \end{matrix} | + 1 | \begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 3 \end{matrix} | \\ = - 1 (1 - 9) - 2 (0 - 3) + 1 (0 - 1) = 13 \end{matrix}

\begin{matrix} M_{12} & = | \begin{matrix} 0 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 3 \\ 0 & 3 & 1 \end{matrix} | = 0 | \begin{matrix} 1 & 3 \\ 3 & 1 \end{matrix} | - 2 | \begin{matrix} 1 & 3 \\ 0 & 1 \end{matrix} | + 1 | \begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 3 \end{matrix} | \\ = - 2 (1 - 0) + 1 (3 - 0) = 1 \end{matrix}

\begin{matrix} M_{13} & = | \begin{matrix} 0 & - 1 & 1 \\ 1 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 1 \end{matrix} | = 0 | \begin{matrix} 0 & 3 \\ 1 & 1 \end{matrix} | - (- 1) | \begin{matrix} 1 & 3 \\ 0 & 1 \end{matrix} | + 1 | \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} | \\ = 1 (1 - 0) + 1 (1 - 0) = 2 \end{matrix}

\begin{matrix} M_{14} & = | \begin{matrix} 0 & - 1 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 3 \end{matrix} | = 0 | \begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 3 \end{matrix} | - (- 1) | \begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 3 \end{matrix} | + 2 | \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} | \\ = 1 (3 - 0) + 2 (1 - 0) = 5 \end{matrix}

따라서, 행렬식은 다음과 같다.

| A | = 1 M_{11} - 2 M_{12} + 1 M_{13} - 4 M_{14} = 13 - 2 + 2 - 20 = - 7

여러 행에 대한 전개

위 4 × 4 행렬

A = [\begin{matrix} 1 & 2 & 1 & 4 \\ 0 & - 1 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 3 & 1 \end{matrix}]

의 행렬식은 1행과 2행에 대한 라플라스 전개를 통해 다음과 같이 계산할 수 있다.

\begin{matrix} | A | & = & (- 1)^{1 + 2 + 1 + 2} | \begin{matrix} 1 & 2 \\ 0 & - 1 \end{matrix} | | \begin{matrix} 1 & 3 \\ 3 & 1 \end{matrix} | + (- 1)^{1 + 2 + 1 + 3} | \begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{matrix} | | \begin{matrix} 0 & 3 \\ 1 & 1 \end{matrix} | + (- 1)^{1 + 2 + 1 + 4} | \begin{matrix} 1 & 4 \\ 0 & 1 \end{matrix} | | \begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 3 \end{matrix} | \\ + (- 1)^{1 + 2 + 2 + 3} | \begin{matrix} 2 & 1 \\ - 1 & 2 \end{matrix} | | \begin{matrix} 1 & 3 \\ 0 & 1 \end{matrix} | + (- 1)^{1 + 2 + 2 + 4} | \begin{matrix} 2 & 4 \\ - 1 & 1 \end{matrix} | | \begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 3 \end{matrix} | + (- 1)^{1 + 2 + 3 + 4} | \begin{matrix} 1 & 4 \\ 2 & 1 \end{matrix} | | \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} | \\ = & (- 1) (- 8) - 2 (- 3) + 1 (- 1) + 51 - 63 + (- 7) 1 \\ = & - 7 \end{matrix}

증명

$k \in {1, \dots, n}$ 에 대하여, 다음과 같은 함수 $μ_{k}$ 를 정의하자.

μ_{k} : {1, \dots, n - 1} \to {1, \dots, n}

μ_{k} : x \mapsto {\begin{matrix} x & x \in {1, \dots, k - 1} \\ x + 1 & x \in {k, \dots, n - 1} \end{matrix}

즉, $μ_{k}$ 는 $k$ 이상의 원소들을 뒤로 한 칸 밀며, 나머지 원소들은 움직이지 않는다. 그렇다면, 함수

{σ \in S_{n} : σ_{i} = j} \to S_{n - 1}

σ \mapsto μ_{j}^{- 1} σ μ_{i}

는 일대일 대응이다.

행렬식의 라이프니츠 공식 속, $a_{i j}$ 를 포함하는 항

sgn σ a_{1 σ_{1}} \dots a_{i j} \dots a_{n σ_{n}}

을 생각하자. 또한,

τ = μ_{j}^{- 1} σ μ_{i} \in S_{n - 1}

τ^{'} = τ μ_{j}^{- 1} ⊔ {id}_{{j}} \in S_{n}

라고 하자. 그렇다면,

sgn τ = sgn τ^{'}

이며,

σ = ν τ^{'}

ν = {\begin{matrix} {id}_{{1, \dots, n}} & i = j \\ (σ_{j}, σ_{j - 1}, \dots, σ_{i + 2}, σ_{i + 1}, j) & i < j \\ (σ_{j}, σ_{j + 1}, \dots, σ_{i - 2}, σ_{i - 1}, j) & i > j \end{matrix} \in S_{n}

이다. 또한, $ν$ 는 $| i - j |$ 개의 호환으로 표현할 수 있으므로,

sgn σ = (- 1)^{| i - j |} sgn τ^{'} = (- 1)^{i + j} sgn τ

이다. 따라서,

\begin{matrix} | A | & = \sum_{σ \in S_{n}} sgn σ a_{1 σ_{1}} \dots a_{n σ_{n}} \\ = \sum_{j = 1}^{n} \sum_{σ_{i} = j} sgn σ a_{i σ_{1}} \dots a_{i j} \dots a_{n σ_{n}} \\ = \sum_{j = 1}^{n} \sum_{τ \in S_{n - 1}} (- 1)^{i + j} sgn τ a_{i σ_{1}} \dots a_{i j} \dots a_{n σ_{n}} \\ = \sum_{j = 1}^{n} (- 1)^{i + j} a_{i j} \sum_{τ \in S_{n - 1}} sgn τ a_{i σ_{1}} \dots a_{i - 1, σ_{i - 1}} a_{i + 1, σ_{i + 1}} \dots a_{n σ_{n}} \\ = \sum_{j = 1}^{n} (- 1)^{i + j} a_{i j} M_{i j} \\ = \sum_{j = 1}^{n} a_{i j} C_{i j} \end{matrix}

여러 행에 대한 전개

위 증명과 비슷하게, 다음 대상들을 정의하자. ( $[n] = {1, \dots, n}$ )

$k$ 원소 집합 $K \subseteq [n]$ 에 대하여, $μ_{K} : [n - k] \to [n]$ 은 의 원소들을 뒤로 밀어 $K$ 의 원소들에 공백이 생기도록 하는 함수이다.
일대일 대응
${σ \in S_{n} : σ (I) = J} \to S_{k} \times S_{n - k}$

$σ \mapsto (μ_{σ ([n] ∖ I)}^{- 1} σ μ_{[n] ∖ I}, μ_{J}^{- 1} σ μ_{I})$

행렬식의 라이프니츠 공식에서, $σ (I) = J$ 인 항

sgn σ a_{1 σ_{1}} \dots a_{n σ_{n}}

을 생각하자. 또한,

τ_{1} = μ_{σ ([n] ∖ I)}^{- 1} σ μ_{[n] ∖ I} \in S_{k}

τ_{2} = μ_{J}^{- 1} σ μ_{I} \in S_{n - k}

를 정의하자. 그렇다면, $σ$ 는 다음과 같이 ${id}_{n}$ 으로 환원된다.

$σ (I)$ 의 원소를 순서대로 돌려 놓는다. 치환의 부호는 $sgn τ_{1}$ 과 같다.
$σ ([n] ∖ I)$ 의 원소를 순서대로 돌려 놓는다. 치환의 부호는 $sgn τ_{2}$ 와 같다.
$i \in I$ 에 대하여, $σ (i)$ 를 $i$ 번째로 돌려 놓는다. 치환의 부호는 $(- 1)^{\sum I + \sum J}$ 와 같다.

그러므로,

sgn σ = (- 1)^{\sum I + \sum J} sgn τ_{1} sgn τ_{2}

이며, 따라서

\begin{matrix} | A | & = \sum_{σ \in S_{n}} sgn σ a_{1 σ_{1}} \dots a_{n σ_{n}} \\ = \sum_{| J | = k} \sum_{σ (I) = J} sgn σ a_{1 σ_{1}} \dots a_{n σ_{n}} \\ = \sum_{| J | = k} \sum_{σ (I) = J} (- 1)^{\sum I + \sum J} sgn τ_{1} sgn τ_{2} a_{1 σ_{1}} \dots a_{n σ_{n}} \\ = \sum_{| J | = k} (- 1)^{\sum I + \sum J} (\sum_{σ (I) = J} sgn τ_{1} \prod_{i \in I} a_{i σ_{i}}) (\sum_{σ (I) = J} sgn τ_{2} \prod_{i \in [n] ∖ I} a_{i σ_{i}}) \\ = \sum_{| J | = k} (- 1)^{\sum I + \sum J} (\sum_{τ_{1} \in S_{k}} sgn τ_{1} \prod_{i \in I} a_{i σ_{i}}) (\sum_{τ_{2} \in S_{n - k}} sgn τ_{2} \prod_{i \in [n] ∖ I} a_{i σ_{i}}) \\ = \sum_{| J | = k} (- 1)^{\sum I + \sum J} A_{I, J} M_{I, J} \end{matrix}

역사

알렉상드르테오필 방데르몽드는 행렬식의 두 행에 대한 전개를 제시하였다.^[1]^{:606, §25.3} 피에르시몽 라플라스는 1772년 논문 《Recherches sur Ie calcul integral et sur Ie systeme du monde,》에서 행렬식 전개를 임의 개수 행에 대한 전개로 일반화하였다.^[1]^{:607, §25.3} 오귀스탱 루이 코시는 라플라스의 전개 정리를 더 현대적인 용어로 서술·증명하였다.^[1]^{:796, §33.2}

같이 보기

각주

↑ ^가 ^나 ^다 Kline, Morris (1972). 《Mathematical Thoughts from Ancient to Modern Times. Volume 2》 (영어). New York, New York: Oxford University Press. ISBN 0-19-506136-5.

참고 문헌

Hoffman, Kenneth; Kunze, Ray (1971). 《Linear algebra》 2판 (영어). Englewood Cliffs, N. J.: Prentice-Hall. ISBN 0-13-536797-2. MR 0276251. Zbl 0212.36601. Internet Archive LinearAlge(…).

[Kline-1] 가 ^나 ^다 Kline, Morris (1972). 《Mathematical Thoughts from Ancient to Modern Times. Volume 2》 (영어). New York, New York: Oxford University Press. ISBN 0-19-506136-5.

[1]