크로네커 델타

크로네커 델타(영어: Kronecker delta)는 선형대수학에서 정수 값을 가지는 두 개의 변수에 대해서 정의된 함수 혹은 텐서이다. 이 텐서의 이름은 수학자 레오폴트 크로네커의 이름에서 따왔다.

정의

크로네커 델타 δ_ij는 다음과 같이 정의된다.

δ_{i j} \in {0, 1}

δ_{i j} = {\begin{matrix} 1 & i = j \\ 0 & i \neq j \end{matrix}

다시말하면, 이 함수는 두 개의 변수가 같은 값을 가지면 1이 되고, 그렇지 않으면 0이 된다. 예를 들어, δ₁₂ = 0, δ₃₃ = 1이다.

특별한 경우에 변수가 하나인 경우에는 흔히 다음과 같이 크로네커 델타 δ_i를 정의한다.

δ_{i} = δ_{i 0} = {\begin{matrix} 1 & i = 0 \\ 0 & i \neq 0 \end{matrix}

좀 더 많은 성분을 가진 텐서에 대해서도 비슷한 성질을 갖는 아래의 텐서를 생각할 수 있다.

δ_{i_{1} i_{2} \dots i_{n}}^{j_{1} j_{2} \dots j_{n}} \in {+ 1, - 1, 0}

이 텐서는 다음과 같이 정의된다.

만약 $(i_{1}, i_{2}, \dots, i_{n})$ 이 $(j_{1}, j_{2}, \dots, j_{n})$ 의 순열이 아니라면, 일반화 크로네커 델타의 값은 0이다.
만약 $(i_{1}, i_{2}, \dots, i_{n}) = (j_{σ (1)}, j_{σ (2)}, \dots, j_{σ (n)})$ 이라면, $δ_{i_{1} \dots i_{n}}^{j_{1} \dots j_{n}} = (-)^{σ} \in {\pm 1}$ 이다.

물론, 만약 $n = 1$ 일 경우 이는 원래 크로네커 델타의 정의와 일치한다.

크로네커 델타의 가장 중요한 성질은 다음과 같이 임의로 합을 하면, 특정한 지표 i ∈ ℤ (정수)를 골라낼 수 있다는 성질이다.

\sum_{j = - \infty}^{\infty} δ_{i j} a_{j} = a_{i}

이 성질은 디랙 델타 함수와 매우 비슷한 성질이기 때문에 흔히 크로네커 델타를 이산적인 경우의 델타 함수라고 하기도 한다.

또한, 데카르트 좌표계에서의 성분끼리의 미분도 크로네커 델타로 표현된다.

\frac{\partial x_{i}}{\partial x_{j}} = δ_{i j}

크로네커 델타를 텐서로 생각할 땐 텐서의 축약으로 특정 지표를 골라내는 성질을 간단하게 나타낼 수 있으므로 공변지표(covariant index) i와 반변지표(contravariant index) j를 사용해 $δ_{j}^{i}$ 로 나타낸다.

이 (1,1) 텐서를 이용해 나타낼 수 있는 것들에는 다음과 같은 것들이 있다. (여기 아래에선 아인슈타인 표기법을 사용)

v^{i} = δ_{j}^{i} v^{j}

t r (A) = δ_{j}^{i} A_{i}^{j}

\vec{a} \cdot \vec{b} = δ_{j}^{i} a_{i} b^{j}

다음의 잉여 계산을 통해

\oint \frac{1}{z^{n}} d z = {\begin{matrix} 2 π i & n = 1 \\ 0 & otherwise \end{matrix}

크로네커 델타의 적분표현을 얻을 수 있다.

δ_{m n} = \frac{1}{2 π i} \oint z^{m - n - 1} d z,

여기서 적분경로는 0 주변을 반시계방향으로 도는 임의의 고리이다. 또한 이 적분은 복소평면 상에서 한바퀴 돌며 적분하는 것과 같으므로 아래와 같이 나타낼 수도 있다.

δ_{m n} = \frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} e^{i (m - n) φ} d φ,

디지털 신호 처리 분야에서는, 위와 같은 개념을 ℤ에서 정의된 함수로 나타낸다.

δ (n) = {\begin{matrix} 1, & n = 0 \\ 0, & n \neq 0 \end{matrix}

이 함수를 '임펄스', 혹은 '단위 임펄스'라고 부른다. 어떤 신호 처리 장치에 임펄스가 입력으로 주어졌을때, 출력으로 나오는 것을 임펄스 응답이라고 한다.