덮개 (대수학)

호몰로지 대수학에서 덮개(영어: cover)는 주어진 대상의, 특정 조건을 만족시키는 "가장 가까운" 근사이며, 이는 동형 사상 아래 유일하다. 특히, 주어진 대상을 사영 대상으로 근사하는 사영 덮개(영어: projective cover)의 개념이 자주 사용된다. 그 쌍대 개념은 껍질(영어: envelope, hull)이며, 특히 주어진 대상을 단사 대상으로 근사하는 단사 껍질(영어: injective envelope, injective hull)의 개념이 자주 사용된다.

정의

범주 $𝒞$ 속의 대상들의 모임 $𝔛$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 대상 $X\in 𝒞$의 $𝔛$-덮개는 다음 세 조건들을 만족시키는 사상 $f:\tilde{X}\to X$이다.

• $\tilde{X}\in 𝔛$
• 임의의 대상 $Y\in 𝔛$ 및 사상 $g:Y\to X$에 대하여, 항상 $f\circ \tilde{g}=g$가 되는 사상 $\tilde{g}:Y\to \tilde{X}$가 존재한다. (그러나 이는 유일할 필요가 없다.) 즉, $𝔛$의 모든 원소는 $\{f\}$-사영 대상이다.

  $\begin{array}{cc}& Y\\ \mathrm{\exists }& \downarrow & \searrow \\ & \tilde{X}& \to & X\end{array}$

• 임의의 자기 사상 $g:\tilde{X}\to \tilde{X}$에 대하여, 만약 $f\circ g=f$라면 $g$는 자기 동형 사상이다.

만약 마지만 조건을 생략할 경우, 준덮개(準-, 영어: precover)의 개념을 얻는다.

그 쌍대 개념은 $𝔛$-껍질(영어: $𝔛$-envelope, $𝔛$-hull)이라고 한다.

특히, 다음과 같은 경우가 흔히 쓰인다.

• 만약 $𝔛$가 사영 대상들의 모임일 경우, $𝔛$-덮개를 사영 덮개(영어: projective cover)라고 한다.
• 만약 $𝔛$가 단사 대상들의 모임일 경우, $𝔛$-껍질을 단사 껍질(영어: injective envelope)이라고 한다.
• 만약 $𝒞$가 어떤 가군 범주이며, $𝔛$가 평탄 가군들의 모임일 경우, $𝔛$-덮개를 평탄 덮개(영어: flat cover)라고 한다.
• 만약 $𝒞$가 어떤 가군 범주이며, $𝔛$가 꼬임 없는 가군들의 모임일 경우, $𝔛$-덮개를 꼬임 없는 덮개(영어: torsion-free cover)라고 한다.

성질

$𝔛$-덮개는 항상 동형 사상 아래 유일하다. (그러나 이 동형 사상은 유일하지 않을 수 있다.)

증명:

대상 $A$의 두 $𝔛$-준덮개 $f:\tilde{A}\to A$, $f^{\prime }:{\tilde{A}}^{\prime }\to A$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, $𝔛$-준덮개의 성질에 의하여 $f\circ i=f^{\prime }$이자 $f^{\prime }\circ i^{\prime }=f$가 되는 $i:{\tilde{A}}^{\prime }\to \tilde{A}$ 및 $i^{\prime }:\tilde{A}\to \tilde{A}$가 존재한다.

만약 $f$, $f^{\prime }$이 추가로 $𝔛$-덮개라면, $f\circ f^{\prime }$ 및 $f^{\prime }\circ f$는 자기 동형 사상이며, 따라서 $f$와 $f^{\prime }$ 역시 동형 사상이다.

사영 대상을 충분히 가지는 범주 $𝒞$의 사영 대상 $P\in 𝒞$ 및 사상 $f:P\to A$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.^{:15, Theorem 1.2.12}

• $f$는 사영 대상에 대한 덮개이다.
• $f$는 잉여적 전사 사상이다.

증명:

덮개 → 잉여적 전사: 다음 두 조건을 증명하면 족하다.

• (a): $f$는 전사 사상이다.
• (b): 임의의 사상 $g:B\to P$에 대하여, $f\circ g:B\to A$가 전사 사상이라면 $g$ 역시 전사 사상이다.

(a): 사영 대상을 충분히 가지는 범주이므로, 사영 대상 $P^{\prime }$ 및 전사 사상 $f^{\prime }:P^{\prime }\to A$를 찾을 수 있다. 그렇다면, 준덮개의 정의에 의하여 다음과 같은 가환 그림을 만족시키는 사상 $g:P^{\prime }\to P$를 찾을 수 있다.

$\begin{array}{ccc}{P}^{\prime }& \stackrel{f^{\prime }}{\to }& A\\ g\downarrow & & \Vert \\ P& \to f& A\end{array}$

$f^{\prime }=f\circ g$가 전사 사상이므로, 전사 사상의 성질에 의하여 $f$ 역시 전사 사상이다.
(b): $f\circ g$가 전사 사상이라고 하자. 사영 대상의 정의에 의하여, 다음과 같은 가환 그림을 만족시키는 $h:P\to B$가 존재한다.

$\begin{array}{ccc}B& \stackrel{h}{\leftarrow }& P\\ g\downarrow & & \downarrow f\\ P& \to f& A\end{array}$

덮개의 정의에 의하여, $g\circ h:P\to P$는 자기 동형 사상이며, 따라서 $g$는 전사 사상이다.

잉여적 전사 → 덮개: 사영 대상 $P$ 및 잉여적 전사 사상 $f:P\to A$가 주어졌다고 하자. 다음 두 조건을 증명하면 족하다.

• (a) 준덮개이다.
• (b) 덮개이다.

(a): $f$는 전사 사상이므로, 사영 대상의 정의에 의하여 자명하게 참이다.
(b): 다음과 같은 가환 그림을 만족시키는 자기 사상 $g:P\to P$가 주어졌다고 하자.

$\begin{array}{ccc}P& \stackrel{f}{\to }& A\\ g\downarrow & & \Vert \\ P& \to f& A\end{array}$

그렇다면, $f\circ g=f$가 전사 사상이므로 잉여적 전사 사상의 정의에 의하여 $g$ 역시 전사 사상이다. 공역이 사영 대상인 전사 사상은 항상 분할 전사 사상이므로, $g$는 오른쪽 역사상 $h:P\to P$, $g\circ h={\mathrm{id}}_P$를 가지며, $h$는 단사 사상이다.

$\begin{array}{ccc}P& \stackrel{h}{\to }& P\\ \mathrm{id}\downarrow & & \downarrow g\\ P& \to \mathrm{id}& P\end{array}$

그렇다면, $f\circ h=f\circ g\circ h=f$이므로, 잉여적 전사 사상의 정의에 의하여 $h$ 역시 전사 사상이다. $h$는 단사 사상이자 분할 전사 사상이므로 동형 사상이며, 따라서 $g$ 역시 동형 사상이다.

마찬가지로, 단사 대상을 충분히 가지는 범주 $𝒞$의 단사 대상 $Q\in 𝒞$ 및 사상 $f:A\to Q$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.^{:14, Theorem 1.2.11}

• $f$는 단사 대상에 대한 덮개이다.
• $f$는 본질적 단사 사상이다.

특히, 환 $R$에 대하여, $R$-왼쪽 가군의 범주 ${}_R\mathrm{Mod}$ 또는 $R$-오른쪽 가군의 범주 ${\mathrm{Mod}}_R$는 둘 다 사영 대상을 충분히 가지는 범주이자 단사 대상을 충분히 가지는 범주이므로, 위 두 정리가 성립한다.

존재

단사 대상을 충분히 가지는 쌍대 완비 AB5 아벨 범주 $𝒜$의 모든 대상은 항상 단사 껍질을 갖는다. 마찬가지로, 사영 대상을 충분히 가지는 완비 AB5* 아벨 범주 ${𝒜}^{\mathrm{op}}$의 모든 대상은 항상 사영 덮개를 갖는다.

환 $R$가 주어졌다고 하자. $R$-왼쪽 가군의 범주 ${}_R\mathrm{Mod}$의 임의의 대상 ${}_{R}M\in {}_R\mathrm{Mod}$에 대하여, 다음이 성립한다.

• $M$은 항상 단사 껍질을 갖는다.
• $M$은 항상 평탄 덮개를 갖는다.
• 만약 $R$가 왼쪽 완전환이라면, $M$은 항상 사영 껍질을 갖는다. (그러나 임의의 환 위의 가군에 대하여, 사영 껍질은 일반적으로 존재하지 않을 수 있다.)
• $M$은 항상 꼬임 없는 덮개를 갖는다.^{:511, Example XVI.2.11:17, Theorem 1.3.2} 여기서 꼬임 없는 왼쪽 가군 ${}_{R}M$은 임의의 $r\in R$에 대하여 ${\mathrm{Tor}}_1^R(R/rR,M)=0$을 만족시키는 왼쪽 가군이다.

부자연성

범주 $𝒞$가 다음 조건들을 만족시킨다고 하자.

• 사영 대상을 충분히 가지는 범주이며, 모든 대상이 사영 덮개를 가진다.
• 생성 대상을 갖는다.
• 사영 대상이 아닌 대상이 존재한다.

그렇다면, 다음과 같은 조건들을 만족시키는 자기 함자 $F:𝒞\to 𝒞$ 및 자연 변환 $\eta :F\Rightarrow {\mathrm{Id}}_{𝒞}$가 존재할 수 없다.

• 임의의 대상 $X\in 𝒞$의 $F$에 대한 상 $F(X)$는 사영 대상이다.
• $\eta$의 모든 성분 ${\eta }_X:F(X)\to X$는 사영 덮개를 이룬다.

특히, 임의의 환 $R$에 대하여, 왼쪽 가군 범주 ${}_R\mathrm{Mod}$는 항상 쌍대 생성 대상을 가지므로 위 정리가 적용된다. 즉, 모든 왼쪽 가군이 단사 가군이거나, 아니면 단사 껍질은 자연 변환의 성분이 될 수 없다. 마찬가지로, 왼쪽 가군 범주 ${}_R\mathrm{Mod}$에서 ${}_{R}R$는 생성 대상을 이룬다. 만약 추가로 $R$가 왼쪽 완전환이라고 하면, 항상 사영 덮개가 존재하지만, 만약 사영 왼쪽 가군이 아닌 왼쪽 가군이 존재한다면, 위 정리에 따라서 사영 덮개는 자연 변환의 성분이 될 수 없다.

예

자명한 경우로, 만약 범주 $𝒞$에서 대상 모임 $𝔛$가 주어졌을 때, 대상 $X\in 𝔛$의 $𝔛$-덮개의 개념은 $X$를 공역으로 하는 동형 사상의 개념과 같으며, $𝔛$-껍질의 개념은 $X$를 정의역으로 하는 동형 사상의 개념과 같다.

역사

단사 껍질의 개념은 1953년에 베노 에크만(독일어: Beno Eckmann)과 안드레아스 쇼프(독일어: Andreas Schopf)가 도입하였고, 같은 논문에서 이들은 모든 가군이 유일한 단사 껍질을 가짐을 증명하였다. "단사 껍질"(영어: injective hull)이라는 용어는 1958년에 최초로 사용되었다. 그 쌍대 개념인 사영 덮개의 개념은 1960년에 하이먼 배스가 도입하였다.^:§5 꼬임 없는 덮개의 개념은 1963년에 에드거 얼 이넉스(영어: Edgar Earle Enochs)가 도입하였다.

일반적인 범주에서의 덮개의 개념은 이넉스가 1981년 논문에서 도입하였다. 이 논문에서 이넉스는 모든 가군이 평탄 덮개를 가진다고 추측하였고,^:191 이 추측은 2001년에 증명되었다.

외부 링크

• “Flat cover” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Projective cover” (영어). 《nLab》. 
• “Injective hull” (영어). 《nLab》.