생성 집합

범주론에서 생성 집합(生成集合, 영어: generating set, separating set)은 그 원소들의 쌍대곱의 몫 대상으로 모든 대상을 나타낼 수 있는, 범주 속의 대상 집합이다.

정의

범주 $𝒞$ 속의 대상들의 집합 $𝔊$ 가 다음 조건을 만족시킨다면, $𝒞$ 의 생성 집합이라고 한다.^[1]^{:Definition 7.14}

임의의 두 사상 $f, g : X \to Y$ 에 대하여, 만약 $f \neq g$ 라면, $f \circ h \neq g \circ h$ 가 되는 대상 $G \in 𝔊$ 및 사상 $h : G \to X$ 가 존재한다.
$G \overset{\exists h}{\to} X \overset{f}{⇉} g Y$

만약 $𝒞$ 가 국소적으로 작은 범주라면, 이는 다음 조건과 동치이다.

다음과 같은 함자는 충실한 함자이다.
$\prod_{G \in 𝔊} {hom}_{𝒞} (G, -) : 𝒞 \to Set$

$\prod_{G \in 𝔊} {hom}_{𝒞} (G, -) : X \mapsto \prod_{G \in 𝔊} hom (G, X)$

$\prod_{G \in 𝔊} {hom}_{𝒞} (G, -) : (X \overset{f}{\to} Y) \mapsto ((h_{G} : G \to X)_{G \in 𝔊} \mapsto (f \circ h_{G} : G \to Y)_{G \in 𝔊})$

만약 $𝒞$ 가 국소적으로 작은 범주이자 모든 집합 크기의 쌍대곱을 가진다면, 이는 다음 조건과 동치이다.

모든 대상 $X \in 𝒢$ 에 대하여, 다음과 같은 사상이 전사 사상이다.
$π = \underset{G \in 𝔊, h \in {hom}_{𝒞} (G, X)}{∐} h$

$π : \underset{G \in 𝔊, h \in hom (G, X)}{∐} G \to X$

다시 말해, 모든 대상은 생성 집합에 속하는 대상들의 쌍대곱의 몫 대상과 동형이다.

만약 생성 집합 $𝔊 = {G}$ 가 한원소 집합이라면, $G$ 를 $𝒞$ 의 생성 대상(영어: generating object, generator)이라고 한다.

위 개념을 모두 쌍대화하여 쌍대 생성 집합(영어: cogenerating set, coseparating set)과 쌍대 생성 대상(영어: cogenerating object, cogenerator, coseparator)을 정의할 수 있다. 범주 $𝒞$ 속의 대상들의 집합 $𝔊$ 가 다음 조건을 만족시킨다면, $𝒞$ 의 쌍대 생성 집합이라고 한다.^[1]^{:Definition 7.16}

임의의 두 사상 $f, g : X \to Y$ 에 대하여, 만약 $f \neq g$ 라면, $h \circ f \neq h \circ g$ 가 되는 대상 $G \in 𝔊$ 및 사상 $h : Y \to G$ 가 존재한다.
$X \overset{f}{⇉} g Y \overset{\exists h}{\to} G$

만약 $𝒞$ 가 국소적으로 작은 범주라면, 이는 다음 조건과 동치이다.

다음과 같은 함자는 충실한 함자이다.
$\prod_{G \in 𝔊} {hom}_{𝒞} (-, G) : 𝒞^{op} \to Set$

$\prod_{G \in 𝔊} {hom}_{𝒞} (-, G) : X \mapsto \prod_{G \in 𝔊} {hom}_{𝒞} (X, G)$

$\prod_{G \in 𝔊} {hom}_{𝒞} (-, G) : (X \overset{f}{\to} Y) \mapsto ((h_{G} : Y \to G)_{G \in 𝔊} \mapsto (h_{G} \circ f : X \to G)_{G \in 𝔊})$

만약 $𝒞$ 가 국소적으로 작은 범주이자 모든 집합 크기의 곱을 가진다면, 이는 다음 조건과 동치이다.

모든 대상 $X \in 𝒢$ 에 대하여, 다음과 같은 사상이 단사 사상이다.
$π = \prod_{G \in 𝔊, h \in {hom}_{𝒞} (X, 𝔊)} h$

$π : X \to \prod_{G \in 𝔊, h \in hom (X, G)} G$

다시 말해, 모든 대상은 쌍대 생성 집합에 속하는 대상들의 곱의 부분 대상과 동형이다.

대수 구조의 경우

대수 구조 다양체의 범주 $𝒱$ 는 항상 완비 범주이자 쌍대 완비 범주이다. 집합의 범주로 가는 망각 함자 및 그 오른쪽 수반 함자인 자유 대상 함자

Forget : 𝒱 ⇄ Set : Free

를 생각하자. 이 경우, 한원소 집합 위의 자유 대상 $Free ({∙})$ 은 항상 $𝒱$ 의 생성 대상을 이룬다. 한원소 집합 위의 자유 대상의 쌍대곱은 더 큰 집합 위의 자유 대상이다. 즉, 모든 집합 $S$ 에 대하여 다음이 성립한다.

\underset{s \in S}{∐} Free ({s}) ≅ Free (S)

따라서, $Free ({∙})$ 이 생성 대상이라는 것은 $𝒱$ 에 속하는 모든 대수는 자유 대수의 몫대수로 나타낼 수 있음을 뜻한다.

대수 $A$ 를 이와 같이 자유 대수의 몫대수로 나타내는 것을 $A$ 의 표시(영어: presentation)라고 한다. 이는 일반적으로 다음과 같이 표기한다.

A ≅ ⟨ S | (t_{1} = t_{2})_{(t_{1}, t_{2}) \in \sim} ⟩

여기서

$S$ 는 집합이다.
$\sim$ 은 전사 사상 $Free (S) \to A$ 를 정의하는, $Free (S)$ 위의 합동 관계이다. 즉, $S$ 의 원소와 대수 구조 다양체 $𝒱$ 의 연산들로 적을 수 있는 두 항 $t_{1}, t_{2} \in Free (S)$ 에 대한 등식 $t_{1} = t_{2}$ 의 꼴로 적을 수 있다.

군의 표시는 대수 구조의 표시의 특수한 경우다.

반면, 일반적으로 대수 구조 다양체의 범주는 쌍대 생성 대상을 가지지 않을 수 있다.

예

집합

집합 $S$ 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

집합과 함수의 범주 $Set$ 의 생성 대상이다.
공집합이 아니다.

집합 $S$ 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.^[1]^{:Example 7.18(1)}

집합과 함수의 범주 $Set$ 의 쌍대 생성 대상이다.
공집합이나 한원소 집합이 아니다.

위상 공간

위상 공간과 연속 함수의 범주 $Top$ 는 국소적으로 작은 범주이며, 완비 범주이며, 쌍대 완비 범주이다. 이 범주에서 한원소 공간 ${∙}$ 은 생성 대상이다. 구체적으로, 한원소 공간들의 쌍대곱은 이산 공간이며, 임의의 위상 공간 $X$ 에 대하여 $X$ 위에 이산 위상을 부여한 공간 $Disc (Points (X))$ 을 정의한다면, 수반 함자

Points : Top ⇄ Set : Disc

의 쌍대단위원

η : Disc \circ Points \Rightarrow {Id}_{Top}

은 연속 함수

η_{X} : Disc (Points (X)) \to X

를 정의하며, 이는 (전단사 함수이므로) 전사 사상이자 단사 사상이다. 즉, 모든 위상 공간은 이산 공간의 범주론적 몫 대상으로 나타낼 수 있다.

위상 공간 $X$ 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.^[1]^{:Example 7.18(4)}

위상 공간의 범주의 쌍대 생성 대상이다.
콜모고로프 공간이 아니다.

가군

모든 환은 1을 가지며, 모든 가군은 1을 보존한다고 하자.

환 $R$ 위의 왼쪽 가군의 범주 $_{R} Mod$ 는 대수 구조 다양체의 범주이므로, 한원소 집합 위의 자유 가군 $_{R} R$ 는 그 생성 대상을 이룬다. 마찬가지로, $R_{R}$ 는 오른쪽 가군의 범주 ${Mod}_{R}$ 의 생성 대상을 이룬다.

환 $R$ 위의 왼쪽 가군의 범주 $_{R} Mod$ 는 또한 항상 쌍대 생성 대상을 갖는다. 구체적으로, 환 $R$ 의 모든 왼쪽 단순 가군(=극대 왼쪽 아이디얼 $_{R} 𝔐$ 에 대한 $_{R} R$ 의 몫가군 $R / 𝔐$ )들의 (동형류의) 단사 껍질들의 직합

⨁_{_{R} 𝔐} E (_{R} R / 𝔐)

을 $_{R} Mod$ 의 표준 쌍대 생성 가군(영어: canonical cogenerator)이라고 하며, 이는 $_{R} Mod$ 의 쌍대 생성 대상을 이룬다.^[2]^{:508, Theorem 19.10} 특히, 모든 왼쪽 단순 가군들의 집합은 쌍대 생성 집합을 이룬다.

일반적으로, 자유 가군 $_{R} R$ 는 쌍대 생성 대상이 아닐 수 있다. 환 $R$ 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.^[2]^{:514, Theorem (19.25)}

모든 충실한 $R$ -왼쪽 가군은 $_{R} Mod$ 의 쌍대 생성 대상이다.
$_{R} R$ 는 단사 가군이며 유한 쌍대 생성 가군이다.
$_{R} R$ 는 단사 가군이며, $R$ 의 모든 왼쪽 단순 가군은 왼쪽 아이디얼과 동형이다. (즉, 왼쪽 카슈 환(영어: left Kasch ring)이다.)
$_{R} R$ 는 $_{R} Mod$ 의 쌍대 생성 대상이며, $R$ 의 모든 오른쪽 단순 가군은 오른쪽 아이디얼과 동형이다. (즉, $R$ 는 오른쪽 카슈 환이다.)
$_{R} R$ 는 $_{R} Mod$ 의 쌍대 생성 대상이며, 오른쪽 단순 가군의 동형류의 수는 유한하다.

이 조건을 만족시키는 환을 왼쪽 유사 프로베니우스 환(영어: left pseudo-Frobenius ring)이라고 한다.

아벨 군

아벨 군의 개념은 정수환 $ℤ$ 위의 가군과 같다. 이 경우 단순 가군은 소수 크기의 순환군 $ℤ / p$ 이며, 그 단사 껍질은 프뤼퍼 군 $ℤ (p^{\infty})$ 이다. 따라서 표준 쌍대 생성 가군은 모든 프뤼퍼 군들의 직합인 나눗셈군

ℚ / ℤ = ⨁_{p} ℤ (p^{\infty})

이다.^[2]^{:509, Example (19.11)(1)} 즉, 모든 아벨 군 $G$ 는 직접곱

\prod_{| G |} (ℚ / ℤ)

보다 일반적으로, 임의의 데데킨트 정역 $D$ 에 대하여, 표준 쌍대 생성 가군은 분수체의 몫가군 $(Frac D) / D$ 이다.^[2]^{:509, Example (19.11)(1)}

(쌍대) 생성 집합이 없는 범주

범주 $Set \times Set$ 는 생성 대상을 갖지 않는다. 그러나

{({∙}, \emptyset), (\emptyset, {∙})}

는 $Set \times Set$ 생성 집합을 이룬다.^[1]^{:Example 7.15(3)}

다음 범주들은 쌍대 생성 집합을 갖지 않는다.^[1]^{:Example 7.18(8)}

군의 범주 $Grp$ . (단순군의 크기는 상한을 갖지 않는다.)
환의 범주 $Ring$ . (단순환, 특히 체의 크기는 상한을 갖지 않는다.)
하우스도르프 공간의 범주 $HausTop$

같이 보기

각주

↑ ^가 ^나 ^다 ^라 ^마 ^바 Adámek, Jiří; Herrlich, Horst; Strecker, George (2006). “Abstract and concrete categories: the joy of cats” (영어). 《Reprints in Theory and Applications of Categories》 17: 1–507. Zbl 1113.18001.
↑ ^가 ^나 ^다 ^라 Lam, Tsit-Yuen (1999). 《Lectures on modules and rings》 (영어). Graduate Texts in Mathematics 189. Springer. doi:10.1007/978-1-4612-0525-8. ISBN 978-0-387-98428-5. MR 1653294.

Mac Lane, Saunders (1998). 《Categories for the working mathematician》 2판 (영어). Graduate Texts in Mathematics 5. Springer. doi:10.1007/978-1-4757-4721-8. ISBN 978-1-4419-3123-8. ISSN 0072-5285. MR 1712872. Zbl 0906.18001.

외부 링크

“Generator of a category” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
“Separator” (영어). 《nLab》.
“Cogenerator” (영어). 《nLab》.
“Generators and relations” (영어). 《nLab》.
“What are examples of cogenerators in R-mod?” (영어). Math Overflow.

[AHS-1] 가 ^나 ^다 ^라 ^마 ^바 Adámek, Jiří; Herrlich, Horst; Strecker, George (2006). “Abstract and concrete categories: the joy of cats” (영어). 《Reprints in Theory and Applications of Categories》 17: 1–507. Zbl 1113.18001.

[Lam-2] 가 ^나 ^다 ^라 Lam, Tsit-Yuen (1999). 《Lectures on modules and rings》 (영어). Graduate Texts in Mathematics 189. Springer. doi:10.1007/978-1-4612-0525-8. ISBN 978-0-387-98428-5. MR 1653294.

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