삼진환

사영기하학에서 삼진환(三進環, 영어: ternary ring)은 사영 평면의 점의 일종의 좌표계를 구성할 수 있는 대수 구조이며, 하나의 3항 연산을 갖는다.

정의

삼진환 $(R, ⊤, 0, 1)$ 은 다음과 같은 데이터로 주어진다.

이는 다음 공리들을 만족시켜야 한다.

$0 \neq 1$
임의의 $x, y \in R$ 에 대하여, $⊤ (x, 0, y) = ⊤ (0, x, y) = ⊤ (1, y, 0) = ⊤ (y, 1, 0) = y$
임의의 $x, y, x^{'}, y^{'} \in X$ 에 대하여, 만약 $x \neq x^{'}$ 라면, $⊤ (z, x, y) = ⊤ (z, x^{'}, y^{'})$ 인 $z \in X$ 가 유일하게 존재한다.
임의의 $x, y, z \in X$ 에 대하여, $⊤ (x, y, w) = z$ 인 $w \in X$ 가 유일하게 존재한다.
임의의 $x, y, x^{'}, y^{'}$ 에 대하여, 만약 $x \neq x^{'}$ 라면, 다음 연립 방정식은 유일한 해 $z, w \in X$ 를 갖는다.
$⊤ (x, z, w) = y$

$⊤ (x^{'}, z, w) = y^{'}$

삼진환 $(R, ⊤)$ 이 주어졌을 때, 다음과 같은 두 연산을 정의하자.

x \oplus y = ⊤ (x, 1, y)

x \otimes y = ⊤ (x, y, 0)

그렇다면, $(R, \oplus, 0)$ 및 $(R, \otimes, 1)$ 은 각각 항등원을 갖는 유사군을 이룬다.

삼진환 $(R, ⊤)$ 이 주어졌을 때, 이에 대응하는 다음과 같은 사영 평면 $(X, L, ⊲)$ 을 구성할 수 있다. 우선, 점과 직선의 집합은 각각 다음과 같다.

X = L = R^{2} ⊔ R ⊔ R^{0} = {()}

이 사이의 인접 관계

⊲ \subseteq X \times L

는 다음과 같다.

(a, b) ⊲ (c, d) ⟺ ⊤ (a, c, d) = b

(a, b) ⊲ (c) ⟺ (a) ⊲ (c, d) ⟺ a = c

(a, b) ⋪ ()

() ⋪ (c, d)

(a) ⋪ (c)

(a) ⊲ ()

() ⊲ (c)

() ⊲ ()

또한,

(0, 0), (1, 1), (), (0) \in X

은 그 속의 사각형을 이룬다.

사각형이 주어진 모든 사영 평면은 항상 위와 같은 꼴로 구성될 수 있다.

서로 다른 두 삼진환이 동형의 사영 평면을 정의할 대수적 필요 충분 조건이 알려져 있다.^[1]

$(K, +, 0, \cdot, 1)$ 가 나눗셈환이라고 하자. 그렇다면,

⊤ (x, y, z) = x y + z

를 정의한다면, 이는 삼진환을 이룬다.

1941년에 마셜 홀(영어: Marshall Hall)이 사영 평면을 연구하기 위하여 삼진환의 개념 및 “삼진환”(영어: ternary ring)이라는 용어를 도입하였다.^[2] 이름과 달리, 삼진환은 환이 아니다.

일부 문헌에서 이 개념은 “삼진체”(三進體, 영어: ternary field) 또는 “평면 삼진환”(平面三進環, 영어: planar ternary ring) 등으로 불린다.

↑ Grari, A. (2004년 9월). “A necessary and sufficient condition so that two planar ternary rings induce isomorphic projective planes” (영어). 《Archiv der Mathematik》 83 (2): 183–192. doi:10.1007/s00013-003-4580-9. Zbl 1067.51002.
↑ Hall, Marshall (1943). “Projective planes” (영어). 《Transactions of the American Mathematical Society》 54: 229–277. doi:10.1090/S0002-9947-1943-0008892-4. ISSN 0002-9947. JSTOR 1990331. MR 8892. Zbl 0060.32209.

“Ternary field” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
Busch, Arthur (2001년 12월 5일). “Planar ternary rings” (영어). 2019년 7월 1일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2017년 6월 18일에 확인함.
“When does a planar ternary ring uniquely coordinitise a projective plane?” (영어). 《Math Overflow》. 2016년 4월 9일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2017년 6월 18일에 확인함.