삼진환

사영기하학에서 삼진환(三進環, 영어: ternary ring)은 사영 평면의 점의 일종의 좌표계를 구성할 수 있는 대수 구조이며, 하나의 3항 연산을 갖는다.

정의

삼진환 $(R,\mathrm{\top },0,1)$은 다음과 같은 데이터로 주어진다.

• $\mathrm{\top }:R\times R\times R\to R$는 3항 연산이다.
• $0\in R$ 및 $1\in R$는 상수(0항 연산)이다.

이는 다음 공리들을 만족시켜야 한다.

• $0\ne 1$
• 임의의 $x,y\in R$에 대하여, $\mathrm{\top }(x,0,y)=\mathrm{\top }(0,x,y)=\mathrm{\top }(1,y,0)=\mathrm{\top }(y,1,0)=y$
• 임의의 $x,y,x^{\prime },y^{\prime }\in X$에 대하여, 만약 $x\ne x^{\prime }$라면, $\mathrm{\top }(z,x,y)=\mathrm{\top }(z,x^{\prime },y^{\prime })$인 $z\in X$가 유일하게 존재한다.
• 임의의 $x,y,z\in X$에 대하여, $\mathrm{\top }(x,y,w)=z$인 $w\in X$가 유일하게 존재한다.
• 임의의 $x,y,x^{\prime },y^{\prime }$에 대하여, 만약 $x\ne x^{\prime }$라면, 다음 연립 방정식은 유일한 해 $z,w\in X$를 갖는다.

  $\mathrm{\top }(x,z,w)=y$

  $\mathrm{\top }(x^{\prime },z,w)=y^{\prime }$

성질

특별한 이항 연산

삼진환 $(R,\mathrm{\top })$이 주어졌을 때, 다음과 같은 두 연산을 정의하자.

$x\oplus y=\mathrm{\top }(x,1,y)$

$x\otimes y=\mathrm{\top }(x,y,0)$

그렇다면, $(R,\oplus ,0)$ 및 $(R,\otimes ,1)$은 각각 항등원을 갖는 유사군을 이룬다.

삼진환에 대응하는 사영 평면

삼진환 $(R,\mathrm{\top })$이 주어졌을 때, 이에 대응하는 다음과 같은 사영 평면 $(X,L,⊲)$을 구성할 수 있다. 우선, 점과 직선의 집합은 각각 다음과 같다.

$X=L=R^2\bigsqcup R\bigsqcup R^0=\{()\}$

이 사이의 인접 관계

$⊲\subseteq X\times L$

는 다음과 같다.

$(a,b)⊲(c,d)⟺\mathrm{\top }(a,c,d)=b$

$(a,b)⊲(c)⟺(a)⊲(c,d)⟺a=c$

$(a,b)⋪()$

$()⋪(c,d)$

$(a)⋪(c)$

$(a)⊲()$

$()⊲(c)$

$()⊲()$

또한,

$(0,0),(1,1),(),(0)\in X$

은 그 속의 사각형을 이룬다.

사각형이 주어진 모든 사영 평면은 항상 위와 같은 꼴로 구성될 수 있다.

서로 다른 두 삼진환이 동형의 사영 평면을 정의할 대수적 필요 충분 조건이 알려져 있다.

예

$(K,+,0,\cdot ,1)$가 나눗셈환이라고 하자. 그렇다면,

$\mathrm{\top }(x,y,z)=xy+z$

를 정의한다면, 이는 삼진환을 이룬다.

역사

1941년에 마셜 홀(영어: Marshall Hall)이 사영 평면을 연구하기 위하여 삼진환의 개념 및 “삼진환”(영어: ternary ring)이라는 용어를 도입하였다. 이름과 달리, 삼진환은 환이 아니다.

일부 문헌에서 이 개념은 “삼진체”(三進體, 영어: ternary field) 또는 “평면 삼진환”(平面三進環, 영어: planar ternary ring) 등으로 불린다.

외부 링크

• “Ternary field” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Busch, Arthur (2001년 12월 5일). “Planar ternary rings” (영어). 2019년 7월 1일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2017년 6월 18일에 확인함. 
• “When does a planar ternary ring uniquely coordinitise a projective plane?” (영어). 《Math Overflow》. 2016년 4월 9일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2017년 6월 18일에 확인함.