거듭제곱

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위에서 아래로: x^1/8, x^1/4, x^1/2, x¹, x², x⁴, x⁸.

수학에서 거듭제곱(영어: exponentiation) 또는 승멱(乘冪) 또는 멱(冪)은 같은 수를 주어진 횟수만큼 여러 번 곱하는 이항 연산이다. 여러 번 곱하는 수를 밑(영어: base)이라고 하고, 곱하는 횟수를 지수(指數, 문화어: 어깨수, 영어: exponent, power)라고 한다. 밑이 $a$, 지수가 $n$인 거듭제곱을 $a$의 $n$제곱이라고 하고, 그 기호는 $a^n$이다. 때로는 거듭제곱의 밑을 기저로 부르기도 한다.

정의

정수 제곱

실수 $a$ 및 자연수 $n$에 대하여, $a$의 $n$제곱은 다음과 같다.

$a^n=\underset{n}{\underbrace{a\times a\times a\times \cdots a}}$

즉, $a$를 $n$번 반복하여 곱한 결과이다. 이는 다음의 재귀적 정의와 동치이다.

$a^1=a$

$a^{k+1}=a^k\times a(k\in \mathbb{N})$

0이 아닌 실수 $a$에 대하여, $a$의 0제곱은 다음과 같다.

$a^0=1$

즉, 0이 아닌 실수의 0제곱은 항상 1이다. 0의 0제곱 0⁰은 정의하지 않는다.

0이 아닌 실수 $a$ 및 음의 정수 $-n$(즉, $n$은 양의 정수)에 대하여, $a$의 $-n$제곱은 다음과 같다.

$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$

즉, 0이 아닌 실수의 음의 정수 제곱은, 우선 그 음의 정수의 절댓값인 양의 정수를 지수로 하여 거듭제곱을 구한 뒤, 다시 역수를 취한 결과이다. 0의 음의 정수 제곱은 정의하지 않는다.

유리수 제곱

지수가 유리수인 거듭제곱을 거듭제곱근을 사용하여 정의할 수 있다. 우선, 실수 $a$ 및 양의 정수 $n$에 대하여 $\sqrt[n]{a}$를 정의하자. 이를 위해 방정식 $x^n=a$의 근을 생각하자. 자명하게, $a$가 0일 경우 복소수 범위에서의 근이 $x=0$뿐이며, 그 중복도는 $n$이다. $a$가 0이 아닌 실수일 경우 서로 다른 복소근이 $n$개 존재한다. $n$이 홀수일 경우나, $n$이 짝수이며 $a$가 음이 아닌 실수일 경우, 서로 반수인 실근이 한 쌍 존재하며, 여기서 양의 실수인 근을 $\sqrt[n]{a}$라 정의한다. $n$이 짝수이며 $a$가 음의 실수일 경우, 실근이 존재하지 않으므로, $\sqrt[n]{a}$를 정의하지 않는다.

이제 지수가 유리수인 거듭제곱을 정의하자. 유리수는 분모가 양의 정수인 기약 분수의 꼴로 유일하게 나타낼 수 있으므로, 우선 유리수 지수를

$\frac{m}{n}(m,n\in \mathbb{Z};n>0;\gcd \{m,n\}=1)$

라 하자. 그렇다면 이 거듭제곱은 다음과 같이 정의된다.

$a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}$

즉, 양의 유리수 제곱은 기약 분수 꼴의 분자를 지수로 하여 거듭제곱을 취한 뒤, 분모만큼 거듭제곱근을 취한 결과이다. 분모 $n$이 홀수일 경우 이 거듭제곱은 임의의 실수 밑 $a$에 대하여 정의된다. 짝수일 경우, 이 거듭제곱은 임의의 음이 아닌 실수 밑 $a$에 대하여 정의되며, 음의 실수 밑의 경우 정의되지 않는다. 물론 모든 정수는 유리수이므로 정수 제곱의 앞선 두 정의가 일치하는지 검증하여야 하며, 이는 쉽게 검증된다.

다만, 이는 실숫값 이항 연산으로서의 정의이다. 즉, $a^{\frac{m}{n}}$은 단지 방정식 $x^n=a^m$의 여러 개의 복소근 가운데 양의 실수인 하나이다. 만약 방정식 $x^n=a^m$의 모든 복소근을 찾는 다가 함수로서 정의한다면, 이 거듭제곱은 모든 실수를 비롯한 모든 복소수 밑 $a$에 대하여 정의되며, 중근을 포함하여 $n$개의 (실수 또는 복소수 값의) '함숫값'을 갖는다.

실수 제곱

거듭제곱의 지수를 무리수의 범위까지 확장하는 방법은 다음과 같은 두 가지가 있다. 어느 정의를 사용하든 지수가 유리수일 경우에 유리수 제곱으로서의 정의와 실수 제곱으로서의 정의가 일치하는지 살펴야 하며, 이는 쉽게 검증된다.

유리수 제곱 근사를 통한 정의

양의 실수 $a$와 $x$에 대하여, $a$의 $x$제곱을 다음과 같이 유리수 제곱의 근사를 통해 정의할 수 있다.

$a^x=\underset{\mathbb{Q}\ni q\to x}{\lim }{a}^q$

즉, 양의 실수의 실수 제곱은 유리수 지수가 실수 지수에 다다를 때 거듭제곱이 갖는 극한이다. 이는 다음 정의와 동치이다.

$a^x=\underset{q\in \mathbb{Q}:q<x}{\sup }{a}^q$

즉, 이는 실수 지수보다 작은 유리수를 지수로 하여 만든 거듭제곱들의 집합의 상한이다.

로그를 통한 정의

양의 실수의 실수 제곱을 지수 함수와 로그 함수를 사용하여 정의할 수 있다. 먼저 실수 지수 함수

$ℝ\to (0,+\mathrm{\infty })$

$x\mapsto e^x$

는 다음과 같이 두 가지로 정의할 수 있으며, 이는 서로 동치이다.

(수열의 극한) $e^x=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{(1+\frac{x}{n})}^n$

(거듭제곱 급수) $e^x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{n!}$

또한 실수 로그 함수는 지수 함수의 역함수이다.

$\ln ={\exp }^{-1}$

이제 양의 실수의 실수 제곱을 정의하자. 양의 실수 $a$와 실수 $x$에 대하여, $a$의 $x$제곱은 다음과 같다.

$a^x=e^{x\ln a}$

복소수 제곱

거듭제곱 연산은 복소수에 대하여 확장할 수 있다. 확장한 뒤의 연산은 실수의 경우와 달리 연산 결과가 여러 값이며, 밑이 음의 실수인 경우에도 정의 가능하다. 실수와 마찬가지로, 0이 아닌 복소수의 복소수 제곱은 지수와 로그를 사용하여 정의할 수 있다. 먼저 복소수 지수 함수

$ℂ\to ℂ\setminus \{0\}$

$z\mapsto e^z$

는 다음과 같이 두 가지로 정의할 수 있으며, 이는 서로 동치이다.

(수열의 극한) $e^z=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{(1+\frac{z}{n})}^n$

(거듭제곱 급수) $e^z=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{z^n}{n!}$

실수의 경우 이는 실수 지수 함수와 일치한다. 오일러의 공식

$e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta (\theta \in ℝ)$

과 지수 함수 법칙에 따라 구체적으로 다음과 같이 나타낼 수 있다.

$e^z=e^{\mathrm{Re}z}(\cos \mathrm{Im}z+i\sin \mathrm{Im}z)(z\in ℂ)$

또한 복소수 로그 함수는 복소수 지수 함수의 '역함수'이다.

$\mathrm{Ln}={\exp }^{-1}$

그러나 이는 복소수 지수 함수가 가역 함수가 아니므로 다가 함수이다. 이를 복소수에 복소수 집합을 대응시키는 함수라 여기자. 그러면 이는 구체적으로 다음과 같이 나타낼 수 있다.

$\mathrm{Ln}z=\ln |z|+i\mathrm{Arg}z(z\in ℂ\setminus \{0\})$

이제 0이 아닌 복소수의 복소수 제곱을 정의하자. 0이 아닌 복소수 $z$와 복소수 $w$에 대하여, $z$의 $w$제곱은 다음과 같다.

$z^w=e^{w\mathrm{Ln}z}$

복소수 로그 함수가 다가 함수이므로, 이 거듭제곱 역시 다가 함수이다. (자세히...)

성질

연산 법칙

자연수 $n$에 대해, 거듭제곱 $a^n$(a는 실수)은 다음과 같이 정의된다.

$\genfrac{}{}{0ex}{}{a^n=}{}\genfrac{}{}{0ex}{}{\underbrace{a\times \cdots \times a}}{n}$

이것은 곱셈 연산이 덧셈을 반복하는 것과 유사하다. 또한 정의에 따라, 다음의 식이 성립한다.

• $a^1=a$
• $a^b{a}^c=a^{b+c}$
• $(a^n{)}^m=a^{nm}$
• $(a^b{)}^c=(a^c{)}^b$
• $a^c{b}^c=(ab{)}^c$
• $a^m÷a^n=a^{m-n}$

$a^5=a\times a\times a\times a\times a=(a\times a\times a)\times (a\times a)=a^3\times a^2=a^{3+2}=a^5=(a\times a)\times (a\times a\times a)=a^{2+3}=a^5$

$\frac{a^5}{a^5}=\frac{a\times a\times a\times a\times a}{a\times a\times a\times a\times a}=\frac{\cancel{a}\times \cancel{a}\times \cancel{a}\times \cancel{a}\times \cancel{a}}{\cancel{a}\times \cancel{a}\times \cancel{a}\times \cancel{a}\times \cancel{a}}=\frac{1}{1}=1$

$\frac{a^5}{a^5}=a^{5-5}=a^0=1$

• $(-a{)}^1=-a$
• $(-a{)}^2=-a\cdot -a=+a^2$
• $(-a{)}^3=-a\cdot -a\cdot -a=-a^3$
• $(-a{)}^0=\frac{-a}{-a}=+1$

다음과 같은 귀납적 정의도 가능하다.

• $a^1=a$

• $a^{n+1}=a\times a^n,n=1,2,3,\cdots$

응용

기수법

거듭제곱의 성질은 기수법과 진수의 체계를 이룬다.

$a^n=x$일때,

$a^n$의 밑은 $a$이고, 지수는 $n$, 진수는 $x$이다.

같이 보기

• 커누스 윗화살표 표기법
• 지수함수
• 로그
• 진수

외부 링크

• Weisstein, Eric Wolfgang. “Exponentiation” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Complex exponentiation” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research. 
• “Exponentiation” (영어). 《PlanetMath》. 
• “Exponential” (영어). 《PlanetMath》. 
• “Fraction power” (영어). 《PlanetMath》. 
• “General power” (영어). 《PlanetMath》.