고본 삼각형

수학의 미해결 문제

k개의 직선들로 겹치지 않는 삼각형을 몇개까지 만들 수 있는가?
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고본 삼각형은 이산기하학의 미해결 난제로, 일본의 퍼즐 전문가인 고본 후지무라에 의해 제시되었다. 이 문제는 k개의 직선을 이용하여 만들 수 있는 겹치지 않는 삼각형의 개수에 관한 문제이다. 문제의 변수들은 유클리드 평면이 아닌 사영평면에 기초하며, 삼각형은 어떠한 직선에 의해서도 분단되어 있어서는 안된다.

사부로 다무라는 k(k-2)/3을 넘지 않는 최대의 정수가 k개의 직선에 의해 형성되는 고본 삼각형의 개수의 상계임을 증명하였다.^[1] 2007년도에는, 요하네스 바더와 질 클레망이 직선의 개수 k가 (mod 6)으로 0 또는 2일 경우 고본 삼각형의 개수가 알려진 상계보다 무조건 작음을 증명함으로써 더욱 훌륭한 상계를 찾아내었다.^[2] 즉, 삼각형의 최대개수는 다무라의 상계보다 1작은 수라고 할 수 있다. 현재까지 밝혀진 고본삼각형의 완벽한 해는 k=3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 13, 15, 17일 경우이며,^[3] k=10, 11 그리고 12인 경우에는 상계보다 1 작은 값이 가장 적당한 값으로 알려져 있다.

어떠한 k값에 대해 완벽한 해가 주어졌을 때, 다른 몇 몇 고본 삼각형의 해들은 $k_{n}$ 이 다음 점화식을 만족할 경우 구해질 수 있다.

k_{n + 1} = 2 k_{n} - 1

이 점화식을 만족하는 $k_{n}$ 값들에 대해서는 D.Forge와 J.L. Ramirez Alfonsin이 개발한 방법을 통해 고본 삼각형의 개수를 찾을 수 있다.^[4] 예를 들어 k=3에 대한 해를 이용하여 k=3, 5, 9, 17, 33, 65,... 에 대한 해를 찾아낼 수 있다.

k	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	OEIS
타무라의 상계 N(k)	1	2	5	8	11	16	21	26	33	40	47	56	65	74	85	96	107	120	133	A032765
클레멩 및 베이더의 상계	1	2	5	7	11	15	21	26	33	39	47	55	65	74	85	95	107	119	133	-
가장 잘 알려진 해	1	2	5	7	11	15	21	25	32	38	47	53	65	72	85	93	104	115	130	A006066

예

3개의 직선으로 찾은 고본 삼각형

3개의 직선으로 찾은 고본 삼각형
4개의 직선으로 찾은 고본 삼각형

4개의 직선으로 찾은 고본 삼각형
5개의 직선으로 찾은 고본 삼각형
6개의 직선으로 찾은 고본 삼각형

6개의 직선으로 찾은 고본 삼각형
7개의 직선으로 찾은 고본 삼각형

7개의 직선으로 찾은 고본 삼각형

참고 문헌

↑ Weisstein, Eric Wolfgang. “Kobon Triangle” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research.
↑ “G. Clément and J. Bader.” (PDF). 2017년 11월 11일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2017년 2월 15일에 확인함.
↑ Ed Pegg Jr. on Math Games
↑ "Matlab code illustrating the procedure of D. Forge and J. L. Ramirez Alfonsin", Retrieved on 9 May 2012.

[1] Weisstein, Eric Wolfgang. “Kobon Triangle” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research.

[2] “G. Clément and J. Bader.” (PDF). 2017년 11월 11일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2017년 2월 15일에 확인함.

[3] Ed Pegg Jr. on Math Games

[4] "Matlab code illustrating the procedure of D. Forge and J. L. Ramirez Alfonsin", Retrieved on 9 May 2012.

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