내부자기동형사상

군론에서 내부자기동형사상(內部自己準同型寫像, 영어: inner automorphism)은 군의 원소를 고정 원소에 대한 켤레 원소에 대응시키는 군 자기동형사상이다.

정의

군의 원소 $g\in G$에 대한 내부자기동형사상은 다음과 같다.

$G\to G$

$x\mapsto gx{g}^{-1}$

군 $G$의 내부자기동형군 $\mathrm{Inn}(G)$는 $G$ 위 내부자기동형사상이 이루는 군이다. 이는 자기동형군 $\mathrm{Aut}(G)$의 정규 부분군이다.

켤레류

군의 서로 켤레 원소 $x,y\in G$는 $gx{g}^{-1}=y$인 $g\in G$가 존재하는 두 원소이다. 서로 켤레는 군 위의 동치 관계이다.

군의 원소 $x\in G$의 켤레류(-類, 영어: conjugacy class) 또는 공액류(共軛類)는 다음과 같은 집합이다.

$\mathrm{Cl}(x)=\{gx{g}^{-1}:g\in G\}$

이는 $G$ 위의 켤레 관계에 대한 동치류이다. 즉, 군을 분할한다. 또한, 켤레류는 내부자기동형사상이 유도하는 군의 작용의 궤도이다.

성질

내부자기동형군은 자기동형군의 정규 부분군이다.

$\mathrm{Inn}(G)⊴\mathrm{Aut}(G)$

이에 대한 몫군

$\mathrm{Out}(G)=\mathrm{Aut}(G)/\mathrm{Inn}(G)$

를 외부자기동형군이라고 한다.

군의 원소를 그에 대한 내부자기동형사상에 대응시키는 군 준동형

$G\to \mathrm{Aut}(G)$

$g\mapsto g-g^{-1}$

의 상은 내부자기동형군이며, 핵은 군의 중심이다. 따라서 다음 동형이 성립한다.

$\mathrm{Inn}(G)\cong G/Z(G)$

켤레류 방정식

이 군 준동형은 군의 작용으로 볼 때, 그 궤도는 켤레류이며, 안정자군은 중심화 부분군이다. 따라서 다음과 같은 항등식이 성립하며, 이를 켤레류 방정식(영어: class equation)이라고 한다.

$|G|=|Z(G)|+\sum _{i=1}^n|\mathrm{Cl}(x_i)|$

즉

$|G|=|Z(G)|+\sum _{i=1}^n|G:C_G(x_i)|$

여기서

• $\mathrm{Cl}(x_i)$는 크기 1 이상의 켤레류들이다.
• $C_G(x_i)$는 중심화 진부분군들이다.
• $Z(G)$는 중심이다. 중심의 원소일 조건은 켤레류가 한원소 집합일 조건 및 중심화 부분군이 $G$일 조건과 동치이다.

참고 문헌

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• Weisstein, Eric Wolfgang. “Inner Automorphism” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research.