교대급수

미적분학에서 교대급수(交代級數, 영어: alternating series)는 양과 음의 항이 번갈아 가며 나타나는 실수 항 급수다. 교대급수 판정법(交代級數判定法, 영어: alternating series test)에 따르면, 만약 교대급수의 항의 절댓값이 0으로 수렴하는 단조수열이라면, 이 급수는 수렴한다. 교대급수 판정법은 디리클레 판정법의 특수한 경우다.

정의

교대급수

음이 아닌 실수의 수열 $(a_n{)}_{n=0}^{\mathrm{\infty }}$ ($a_n\ge 0\mathrm{\forall }n\ge 0$)에 대한 교대급수는 다음 두 급수 가운데 하나를 뜻한다.

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n{a}_n=a_0-a_1+a_2-a_3+\cdots$

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{n+1}{a}_n=-a_0+a_1-a_2+a_3-\cdots$

교대급수 판정법

음이 아닌 실수의 수열 $(a_n{)}_{n=0}^{\mathrm{\infty }}$ ($a_n\ge 0\mathrm{\forall }n\ge 0$)에 대하여, 다음 두 조건이 성립한다고 하자.

• 감소수열이다. 즉, $a_0\ge a_1\ge a_2\ge \cdots$
• $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n=0$

그렇다면, 교대급수

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n{a}_n=a_0-a_1+a_2-\cdots$

는 수렴한다. 또한, 다음 부등식이 성립한다.^:183

$|\sum _{i=n}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^i{a}_i|\le a_n$

이를 교대급수 판정법이라고 한다.

디리클레 판정법을 통한 증명:

교대급수 판정법은 디리클레 판정법의 특수한 경우다. 디리클레 판정법에 따르면, 유계 부분합을 갖는 급수의 항과 0으로 수렴하는 단조수열을 곱한 급수는 수렴한다. 급수

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n=1-1+1-\cdots$

는 발산하지만, 이 급수의 부분합은 유계 수열이다. 따라서 디리클레 판정법을 적용할 수 있다.

직접적인 증명:

교대급수의 부분합

$S_n=\sum _{i=0}^n(-1{)}^i{a}_i$

을 생각하자.

$\begin{array}{cc}{S}_{n+2}& =S_n+(-1{)}^{n+1}{a}_{n+1}+(-1{)}^{n+2}{a}_{n+2}\\ & =S_n+(-1{)}^{n+1}(a_{n+1}-a_{n+2})\end{array}$

이므로, $n$이 홀수일 때 $S_{n+2}\ge S_n$이며, $n$이 짝수일 때 $S_{n+2}\le S_n$이다. 즉, $(S_{2k+1}{)}_{k=0}^{\mathrm{\infty }}$는 증가수열이며, $(S_{2k}{)}_{k=0}^{\mathrm{\infty }}$은 감소수열이다. 또한,

$S_{2k+1}=S_{2k}+(-1{)}^{2k+1}{a}_{2k+1}=S_{2k}-a_{2k+1}\le S_{2k}$

이므로,

$S_1\le S_3\le S_5\le \cdots \le S_4\le S_2\le S_0$

이다. 특히, $S_1$과 $S_0$은 수열 $(S_n{)}_{n=0}^{\mathrm{\infty }}$의 하계와 상계이다. 따라서 $(S_{2k+1}{)}_{k=0}^{\mathrm{\infty }}$과 $(S_{2k}{)}_{k=0}^{\mathrm{\infty }}$은 모두 유계 수열이다. 모든 단조 유계 수열은 수렴하므로, 두 수열은 수렴한다.

$S=\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }{S}_{2k+1}\in ℝ$

$S^{\prime }=\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }{S}_{2k}\in ℝ$

라고 하자. 그렇다면,

$0=\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_{2k+1}=\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }(S_{2k}-S_{2k+1})=S-S^{\prime }$

이다. 즉, 두 수열의 극한은 같다. 따라서, 교대급수의 부분합 $(S_n{)}_{n=0}^{\mathrm{\infty }}$은 ($S=S^{\prime }$으로) 수렴한다. 항상

$0\le a_0-a_1=S_1\le S_n\le S_0=a_0$

이므로,

$|\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^i{a}_i|\le a_0$

이다. 수열 $(a_0,a_1,a_2,\dots )$을 수열 $(a_n,a_{n+1},a_{n+2},\dots )$로 대체하면 부등식

$|\sum _{i=n}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^i{a}_i|\le a_n$

을 얻는다.

예

모든 수렴하는 양의 실수 항 급수에 대하여, 이에 대응하는 교대급수는 절대 수렴하며, 특히 수렴한다.

교대급수

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n-1}}{n}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\cdots$

를 생각하자. 수열 $(1/n{)}_{n=0}^{\mathrm{\infty }}$은 감소수열이며, 0으로 수렴한다. 교대급수 판정법에 의하여, 이 급수는 수렴한다. 이 교대급수에 대응하는 양의 실수 항 급수는 조화급수이며, 이는 발산한다. 즉, 이 교대급수는 오직 조건 수렴한다. 사실, 이 급수의 합은

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n-1}}{n}=\ln 2$

이다. 이는 아벨 극한 정리를 통하여 보일 수 있다.

보다 일반적으로, 교대급수

$\sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{n^p{\ln }^{q}n}(p,q\in ℝ)$

를 생각하자.

• 만약 $p>1$이거나 $p=1$, $q>1$이라면, 이 급수는 절대 수렴한다. 이는 적분 판정법을 통하여 보일 수 있다.
• 만약 $p=1$, $q\le 1$이거나 $0<p<1$이거나 $p=0$, $q>0$이라면, 적분 판정법에 따라 이 급수는 절대 수렴하지 않는다. 그러나, 충분히 큰 $x\gg 1$에 대하여 $(x^{-p}{\ln }^{-q}x{)}^{\prime }=x^{-p-1}{\ln }^{-q-1}x(-p\ln x-q)<0$이므로, $1/(n^p{\ln }^{q}n)$은 최종적으로 감소 수열이다. 또한 $1/(n^p{\ln }^{q}n)$은 0으로 수렴한다. 교대급수 판정법에 의하여, 이 급수는 조건 수렴한다.
• 만약 $p=0$, $q\le 0$이거나 $p<0$이라면, $(-1{)}^n/(n^p{\ln }^{q}n)$은 0으로 수렴하지 않는다. 따라서 이 급수는 발산한다.

외부 링크

• “Alternating series” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Alternating series” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Alternating series test” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research. 
• “Alternating series” (영어). 《PlanetMath》. 
• “Alternating series test” (영어). 《PlanetMath》. 
• “Proof of alternating series test” (영어). 《PlanetMath》. 

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