아벨 극한 정리

해석학에서 아벨 극한 정리(-極限定理, 영어: Abel's limit theorem)는 수렴 영역의 어떤 경계점에서 수렴하는 멱급수의 성질에 대한 정리이다.^{:41-42, §2.5}

정의

중심이 0인 실수 멱급수

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{x}^n(a_0,a_1,a_2,\dots \in ℝ)$

의 수렴 반지름이 $0<r<\mathrm{\infty }$이라고 하자. 아벨 극한 정리에 따르면, 만약

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{r}^n$

이 수렴한다면, 다음이 성립한다.^{:177, §20, Theorem 100}

$\underset{x\to r^{-}}{\lim }\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{x}^n=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{r}^n$

또한, 만약

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n(-r{)}^n$

이 수렴한다면, 다음이 성립한다.^{:178, §20}

$\underset{x\to (-r{)}^{+}}{\lim }\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{x}^n=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n(-r{)}^n$

증명

편의상 $r=1$이고^{:220, §11.2}

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$

이 수렴한다고 가정하자. 이 경우 멱급수가 $[0,1]$에서 균등 수렴함을 보이는 것으로 족하다. 두 함수열 $(f_n,g_n:[0,1]\to ℝ{)}_{n=0}^{\mathrm{\infty }}$를 다음과 같이 정의하자.

$f_n(x)=a_n(x\in [0,1],n\ge 0)$

$g_n(x)=x^n(x\in [0,1],n\ge 0)$

그렇다면,

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{f}_n(x)$

는 $[0,1]$에서 균등 수렴하고, 임의의 $x\in [0,1]$에 대하여, $(g_n(x){)}_{n=0}^{\mathrm{\infty }}$는 감소 수열이다. 또한, 임의의 $x\in [0,1]$ 및 $n\ge 0$에 대하여,

$|g_n(x)|\le 1$

이다. 아벨 판정법에 의하여,

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{x}^n$

은 $[0,1]$에서 균등 수렴한다.

따름정리

아벨 극한 정리에 따라, 만약 실수 멱급수가 수렴 구간의 오른쪽 끝점에서 수렴한다면 이 끝점에서 좌연속 함수이고, 왼쪽 끝점에서 수렴한다면 이 끝점에서 우연속 함수이다. 즉, 실수 멱급수는 전체 수렴 구간에서 연속 함수이다.^{:221, §11.2, 따름정리2} 그러나, 복소수 멱급수는 수렴 영역의 경계점에서 수렴하더라도, 이 경계점에서 연속 함수가 아닐 수 있다.

예

아벨 극한 정리는 급수를 적분으로 변환시켜 구할 때 종종 이용된다. 이는 아벨의 합 공식이 이상 적분을 변수를 포함하는 이상 적분의 극한으로 변환시켜 구하는 것과 비슷하다. 예를 들어, 급수

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{3n+1}=1-\frac{1}{4}+\frac{1}{7}-\cdots$

를 계산해 보자. (이 급수는 교대급수 판정법에 의하여 수렴한다.) 다음과 같은 함수 $f:[0,1]\to ℝ$를 정의하자.

$f(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\frac{x^{3n+1}}{3n+1}(x\in [0,1])$

그렇다면, 아벨 극한 정리에 의하여 $f$는 연속 함수이다. 임의의 $x\in [0,1)$에 대하여

$f^{\prime }(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n{x}^{3n}=\frac{1}{1+x^3}$

이므로, 임의의 $x\in [0,1)$에 대하여

$f(x)=f(0)+\underset{0}{\overset{x}{\int }}{f}^{\prime }(x)\mathrm{d}x=\frac{1}{6}\ln \frac{(x+1{)}^2}{x^2-x+1}+\frac{1}{\sqrt{3}}\arctan \frac{2x-1}{\sqrt{3}}+\frac{\pi }{6\sqrt{3}}$

이다. 따라서,

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{3n+1}=f(1)=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f(x)=\frac{1}{3}\ln 2+\frac{\pi }{3\sqrt{3}}$

이다.

일반화

경계점에서 무한대로 발산하는 경우

중심이 0이고 모든 계수가 음이 아닌 실수인 멱급수

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{x}^n(a_0,a_1,a_2,\dots \ge 0)$

의 수렴 반지름이 $0<r<\mathrm{\infty }$이고,

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{r}^n=\mathrm{\infty }$

라고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.^{:178, §20}

$\underset{x\to r^{-}}{\lim }\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{x}^n=\mathrm{\infty }$

경계점에서 수렴하지 않는 경우

중심이 0인 실수 멱급수

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{x}^n(a_0,a_1,a_2,\dots \in ℝ)$

의 수렴 반지름이 $0<r<\mathrm{\infty }$라고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.^{:189, Exercise 70}

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}\sum _{k=0}^n{a}_k{r}^k\le \underset{x\to r^{-}}{\mathrm{lim\; sup}}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{x}^n\le \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}\sum _{k=0}^n{a}_k{r}^k$

복소수의 경우

중심이 0인 복소수 멱급수

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{z}^n(a_0,a_1,a_2,\dots \in ℂ)$

의 수렴 반지름이 $0<r<\mathrm{\infty }$이고, $|\zeta |=r$인 어떤 $\zeta \in ℂ$에 대하여

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{\zeta }^n$

이 수렴한다고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.

$\underset{t\to 1^{-}}{\lim }\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n(t\zeta {)}^n=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{\zeta }^n$

보다 일반적으로, 곡선 $\gamma :[0,1]\to {\mathrm{ball}}_{ℂ}(0,r)\cup \{\zeta \}$가 다음을 만족시킨다고 하자. (여기서 $\mathrm{ball}$은 열린 공이다.)

• $\gamma (1)=\zeta$
• $\underset{t\in [0,1)}{\sup }\frac{|\zeta -\gamma (t)|}{|\zeta |-|\gamma (t)|}<\mathrm{\infty }$

그렇다면, 다음이 성립한다.^{:41, §2.5, Theorem 3}

$\underset{t\to 1^{-}}{\lim }\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n\gamma (t{)}^n=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{\zeta }^n$

역사

독일의 수학자 카를 프리드리히 가우스가 처음 제시하였다. 그러나 가우스가 제시한 증명은 증명되지 않은 결론을 사용하는 오류를 포함한다. 노르웨이의 수학자 닐스 헨리크 아벨의 이름을 땄다.

참고 문헌

• 김락중; 박종안; 이춘호; 최규흥 (2007). 《해석학 입문》 3판. 경문사. ISBN 978-8-96-105054-8. 

외부 링크

• “Abel theorem” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Abel's convergence theorem” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research.