구 (기하학)

구
파일:Sphere wireframe 10deg 6r.svg
종류	매끄러운 곡면 대수곡면
χ	2
대칭군	O(3)
표면적	4πr2
부피	⁠4/3⁠πr3

기하학에서, 구(球, 영어: sphere)는 곡선인 원과 유사한 2차원 곡면으로, 3차원 공간에서 주어진 한 점으로부터 같은 거리 $r$만큼 떨어진 점들로 이루어진 집합이다. 여기서 주어진 한 점을 구의 중심이라 하고, 거리 $r$를 구의 반지름이라 한다. 수학에서 구는 속, 즉 내부가 없는 도형이며, 내부를 포함하는 도형은 공이라 한다.

데카르트 좌표계에서는 중심이 (a, b, c)이고 반지름이 r인 구를 다음의 방정식으로 나타낼 수 있다.

$(x-a{)}^2+(y-b{)}^2+(z-c{)}^2=r^2$

방정식이 2차 다항식으로 표현되기 때문에 구는 대수 곡면의 일종인 이차 곡면이다.

구면 좌표계에서는 두 개의 매개변수 θ ∈ [0, 2π], φ ∈ [0, π]를 이용하여 다음처럼 나타낼 수 있다.

$x=a+r\cos \theta \cos \phi$

$y=b+r\sin \theta \cos \phi$

$z=c+r\sin \phi$

구의 부피

단면적의 적분을 이용한 증명

원의 방정식 $x^2+y^2=r^2,(y\ge 0)$을 이용하여 구의 부피를 구해보자.

원의 방정식을 $y\ge 0$로 한정하면 함수 $y=\sqrt{r^2-x^2}$를 만들 수 있다.

반구의 부피 V는 다음과 같이 반구의 단면적을 적분한 값이다.

$V=\underset{0}{\overset{r}{\int }}A(x)dx$

단면적 함수 A(x)는 함수 $y=\sqrt{r^2-x^2}$의 함숫값을 반지름으로 하여 제곱하고 $\pi$를 곱한 값이므로

$A(x)=\pi (r^2-x^2)$이다.

따라서 $V=\underset{0}{\overset{r}{\int }}A(x)dx=\underset{0}{\overset{r}{\int }}\pi (r^2-x^2)dx$

$=[\pi r^{2}x{]}_0^r-[\pi \frac{1}{3}{x}^3{]}_0^r=\pi r^3-\frac{1}{3}\pi r^3=\frac{2}{3}\pi r^3$이다.

구의 부피는 $2V$이므로 반지름이 $r$인 구의 부피는 $\frac{4}{3}\pi r^3$이다.

원통셸 방법을 이용한 증명

1사분면 위의 원 $y=\sqrt{r^2-x^2}(x\ge 0)$을 y축에 대해 회전하여 생긴 회전체인 반구의 부피 V는

$V=\underset{0}{\overset{r}{\int }}2\pi x\sqrt{r^2-x^2}dx$

$=-\frac{2}{3}\pi [(r^2-x^2{)}^{\frac{3}{2}}{]}_0^r=-\frac{2}{3}\pi (0-r^3)=\frac{2}{3}\pi r^3$

따라서 구의 부피는 $2V=\frac{4}{3}\pi r^3$이다.

질량 중심 및 파푸스-굴딘 정리를 이용한 증명

원의 방정식 $x^2+y^2=r^2(y\ge 0)$의 그래프는 함수 $y=\sqrt{r^2-x^2}$의 그래프이므로, $y=f(x)=\sqrt{r^2-x^2}$라 하자. 이때 이 그래프를 x축에 대해 회전했을 때의 회전체인 구의 부피를 구해보자.

먼저, 질량 중심 좌표 $(\overline{x},\overline{y})$를 구한다.

함수 $f(x)$는 y축을 기준으로 좌우대칭이기 때문에, $\overline{x}$의 좌표는 0이다.

$\overline{y}=\frac{\frac{1}{2}(\underset{-r}{\overset{r}{\int }}{r}^2-x^{2}dx)}{\frac{1}{2}\pi r^2}=\frac{(\underset{-r}{\overset{r}{\int }}{r}^2-x^{2}dx)}{\pi r^2}$

$=\frac{\frac{4r^3}{3}}{\pi r^2}=\frac{4r}{3\pi }$이므로

질량 중심 좌표 $(\overline{x},\overline{y})=(0,\frac{4r}{3\pi })$이다.

파푸스-굴딘 정리에 의하여 x축에 대해 한바퀴 회전할 때 회전체의 부피 V는

$V=2\pi \overline{y}\mathrm{A}$ (A는 영역의 넓이) 이므로

$V=2\pi \cdot \frac{4r}{3\pi }\cdot \frac{1}{2}\pi r^2=\frac{4}{3}\pi r^3$이다.

따라서 구의 부피는 $\frac{4}{3}\pi r^3$이다.

부피비

밑면의 반지름이 $r$인 구의 부피는 $\frac{4}{3}\pi r^3$이고,

밑면의 반지름이 $r$이고, 높이가 $h$인 원뿔과 원기둥의 부피는 각각 $\frac{1}{3}\pi r^{2}h$, $\pi r^{2}h$이다.

$h=2r$이면 원뿔과 원기둥의 부피는 각각 $\frac{2}{3}\pi r^3$, $2\pi r^3$이 된다.

따라서, 한 변의 길이가 $2r$인 정육면체에 내접하는 원뿔, 구, 원기둥의 부피의 비는

$\frac{2}{3}\pi r^3:\frac{4}{3}\pi r^3:2\pi r^3=1:2:3$

구의 표면적

밑면의 넓이가 아주 작고 밑면의 반지름과 높이가 같은 원뿔이 있다고 하자.

그러면 그 원뿔이 한 점을 중심으로 모여 구를 이루었다고 할 수 있으므로 (밑면의 넓이가 작은 원뿔의 부피) : (구의 부피) = (밑면의 넓이가 작은 원뿔의 밑면의 넓이) : (구의 겉넓이)가 된다.

$\frac{1}{3}\pi r^3:\frac{4}{3}\pi r^3=\pi r^2:S$

따라서 겉넓이 $S=4\pi r^2$이 된다.

일반화

구의 정의를 확장하여 $n$차원의 구를 생각할 수 있다. 예를 들어 3차원에서의 구에 해당하는 도형은 2차원에서는 원, 1차원에서는 중점을 기준으로 같은 거리만큼 떨어져 있는 두 점이라고 할 수 있다.

수학적으로는 이러한 일반적인 구를 $S^n$으로 표시하고, 정의는 $(n+1)$차원 유클리드 공간에서 중심점과의 거리가 같은 점들의 집합이다. 이 정의에 따라 $S^1$은 원, $S^2$는 구가 된다.

같이 보기

• 원