구면좌표계

구면좌표계(球面座標係, spherical coordinate system)는 3차원 공간 상의 점들을 나타내는 좌표계의 하나로, 보통 $(r,\theta ,\varphi )$로 나타낸다. 원점에서의 거리 $r$은 0부터 $\mathrm{\infty }$까지, 양의 방향의 z축과 이루는 각도 $\theta$는 0부터 $\pi$까지, z축을 축으로 양의 방향의 x축과 이루는 각 $\varphi$는 0부터 $2\pi$ 까지의 값을 갖는다. $\theta$는 위도로, $\varphi$는 경도로 표현되는 경우도 있기도 한다.

이 세 수치를 보고, 다음과 같은 방법으로 공간의 점을 찾을 수 있다.: 원점 $(0,0,0)$에서 $r$만큼 z축을 따라 간다. 그 지점에서 x z 평면 안에 있으면서 z축에서부터 $\theta$만큼 회전한다. 이 xz 평면 전체를 z축을 축으로 $\varphi$만큼 반 시계방향(+x축에서 +y축 방향으로)으로 돌린다.

구면좌표계라는 이름은 이 좌표계에서 '$r=1$'이 단위구(單位球)를 표현하기 때문에 붙여졌다. 또한 이 좌표계가 구대칭을 기치로 하기 때문이기도 하다.

구면좌표계와 원통좌표계는 평면 극좌표계를 공간으로 확장한 것이며, 구면좌표계는 구대칭이 나타나는 문제에서 유용하게 쓰인다. 예를 들어, 수소원자와 같이 구대칭이 있는 경우에 슈뢰딩거 방정식을 풀 때 구면좌표계를 사용한다.

아래 변환식을 통해 직교좌표계와 변환할 수 있지만, 변환식에서 사용하는 역삼각함수는 일의적이지 않기 때문에, 공간상의 각 점마다 하나의 좌표만 대응하는 직교좌표계와는 달리, 구면좌표계는 한 점을 나타내는 표현이 여러 가지일 수 있다. 예를 들어, (1, 0°, 0°), (1, 0°, 45°), 과 (-1, 180°, 270°)는 모두 같은 점을 나타낼 수 있다.

표시 문자

세 좌표의 표시를 위한 여러 가지 다른 약속이 존재한다. 국제 표준 기구의 지침(ISO 31-11)에 따라 물리학에서는 (r, θ, φ)의 문자를 사용하여 원점에서의 거리, 천정과 이루는 각도(천정거리), 방위각 등을 표시하고, (미국의) 수학에서는 고도와 방위각이 바뀌어 'φ'와 'θ'로 표시된다.

정의

파일:Spherical coordinate.gif

좌표 $(r,\theta ,\varphi )$는 다음과 같이 정의 된다. 주어진 점을 P라 하자.

• $r$ : 원점으로부터 P까지의 거리.
• $\theta$ : z축의 양의 방향으로부터 원점과 P가 이루는 직선까지의 각
• $\varphi$ : x축의 양의 방향으로부터 원점과 P가 이루는 직선을 xy평면에 투영시킨 직선까지의 각.

구면좌표계의 경우는 좌표값에 따라 한 점을 여러 좌표가 가리키는 경우가 있으므로, 각 변수의 범위를 보통 아래와 같이 제한한다.

$r\ge 0$

$0\le \theta \le \pi$

$0\le \varphi <2\pi$

좌표 변환

다른 3차원 좌표계로 변환하는 공식은 다음과 같다.

직교좌표계

• 직교좌표계에서 구면좌표계로 변환시:

$\begin{array}{cc}r& =\sqrt{x^2+y^2+z^2}\\ \theta & =\arccos \frac{z}{r}\\ \varphi & =\arctan \frac{y}{x}\end{array}$

• 구면좌표계에서 직교좌표계로 변환시:

$\begin{array}{cc}x& =r\sin \theta \cos \varphi \\ y& =r\sin \theta \sin \varphi \\ z& =r\cos \theta \end{array}$

지리좌표계

$\delta =90^{\circ }-\theta$, or

$\theta =90^{\circ }-\delta$,

원통좌표계

• 원통좌표계에서 구면좌표계로 변환시:

$r=\sqrt{{\rho }^2+z^2}$

$\theta =\arctan \frac{\rho }{z}$

$\phi =\phi$

• 구면좌표계에서 원통좌표계로 변환시:

$\rho =r\sin \theta$

$\phi =\phi$

$z=r\cos \theta$

단위벡터

각 단위벡터의 직교좌표에서의 표현은 다음과 같다.

$\widehat{𝐫}=\frac{\frac{d𝐫}{dr}}{\left|\frac{d𝐫}{dr}\right|}=\left[\begin{array}{c}\sin \theta \cos \varphi \\ \sin \theta \sin \varphi \\ \cos \theta \end{array}\right]$

$\widehat{𝜽}=\frac{\frac{d𝐫}{d\theta }}{\left|\frac{d𝐫}{d\theta }\right|}=\left[\begin{array}{c}\cos \theta \cos \varphi \\ \cos \theta \sin \varphi \\ -\sin \theta \end{array}\right]$

$\widehat{𝝓}=\frac{\frac{d𝐫}{d\varphi }}{\left|\frac{d𝐫}{d\varphi }\right|}=\left[\begin{array}{c}-\sin \varphi \\ \cos \varphi \\ 0\end{array}\right]$

단위벡터의 미분

$\frac{\partial \hat{r}}{\partial r}=0$

$\frac{\partial \hat{\theta }}{\partial r}=0$

$\frac{\partial \hat{\varphi }}{\partial r}=0$

$\frac{\partial \hat{r}}{\partial \theta }=\hat{\theta }$

$\frac{\partial \hat{\theta }}{\partial \theta }=-\hat{r}$

$\frac{\partial \hat{\varphi }}{\partial \theta }=0$

$\frac{\partial \hat{r}}{\partial \varphi }=\sin \theta \hat{\varphi }$

$\frac{\partial \hat{\theta }}{\partial \varphi }=\cos \theta \hat{\varphi }$

$\frac{\partial \hat{\varphi }}{\partial \varphi }=-\cos \theta \hat{\theta }-\sin \theta \hat{r}$

유용한 공식들

면적 요소

$d𝐚=r^2\sin \theta d\theta d\varphi$

부피 요소

$dV=r^2\sin \theta drd\theta d\varphi$

기울기

$\mathrm{\nabla }=\hat{r}\frac{\partial }{\partial r}+\hat{\theta }\frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial \theta }+\hat{\varphi }\frac{1}{r\sin \theta }\frac{\partial }{\partial \varphi }$

발산

$\mathrm{\nabla }\cdot 𝐅=\frac{1}{r^2}\frac{\partial }{\partial r}{r}^2{F}_r+\frac{1}{r\sin \theta }\frac{\partial }{\partial \theta }\sin \theta F_{\theta }+\frac{1}{r\sin \theta }\frac{\partial }{\partial \varphi }{F}_{\varphi }$

회전

$\mathrm{\nabla }\times F=\frac{1}{r^2\sin \theta }\left|\begin{array}{ccc}\hat{r}& r\hat{\theta }& r\sin \theta \hat{\varphi }\\ \\ \frac{\partial }{\partial r}& \frac{\partial }{\partial \theta }& \frac{\partial }{\partial \varphi }\\ \\ F_r& r{F}_{\theta }& r\sin \theta F_{\varphi }\end{array}\right|$

라플라시안

${\mathrm{\nabla }}^2=\frac{1}{r^2}\frac{\partial }{\partial r}{r}^2\frac{\partial }{\partial r}+\frac{1}{r^2\sin \theta }\frac{\partial }{\partial \theta }\sin \theta \frac{\partial }{\partial \theta }+\frac{1}{r^2{\sin }^2\theta }\frac{{\partial }^2}{\partial {\varphi }^2}$

같이 보기

• 직교 좌표계
• 원통 좌표계
• 적도 좌표계
• 초구면 좌표계
• 극좌표계
• 구면 조화 함수