구면 삼각형

파일:Spherical trigonometry Intersecting circles001.svg

구면 삼각형 $ABC$

수학에서 구면 삼각형(球面三角形, 영어: spherical triangle)은 구 위의 세 대원호에 둘러싸인 구면 위 도형이다. 유클리드 기하학의 평면 삼각형의 구면 기하학 버전이다. 구면 삼각형을 연구하는 수학 분야를 구면 삼각법(球面三角法, 영어: spherical trigonometry)이라고 한다.

정의

원점을 중심으로 하며, 1을 반지름으로 하는 (2차원) 구 ${𝕊}^2\subseteq {ℝ}^3$의 볼록 구면 다각형(-球面多角形, 영어: convex spherical polygon)은 다음을 만족시키는 부분 집합 $P\subseteq {𝕊}^2$이다.

• $P$는 ${𝕊}^2$의 반구 $H_1,\dots ,H_n\subseteq {𝕊}^2$의 유한 교집합 $P={\bigcap }_{k=1}^n{H}_k$으로 나타낼 수 있다.
• $\mathrm{int}P\ne \varnothing$. 즉, $P$는 내부점을 가진다.
• $P\cap (-P)=\varnothing$. 즉, $P$는 대척점쌍을 포함하지 않는다.

각 반구 $H_k$에 대응하는 ${ℝ}^3$의 반공간 $\widehat{H_k}$들의 교집합 $\hat{P}={\bigcap }_{k=1}^n\widehat{H_k}$은 볼록추를 이루는데, 이 $\hat{P}$의 모서리와 ${𝕊}^2$의 교점을 $P$의 꼭짓점(-點, 영어: vertex)이라고 하며, $\hat{P}$의 면과 ${𝕊}^2$의 교선을 $P$의 변(邊, 영어: edge)이라고 한다. 꼭짓점의 수가 3일 경우 $P$를 (볼록) 구면 삼각형((-)球面三角形, 영어: (convex) spherical triangle)이라고 한다.

성질

구 ${𝕊}^2$ 위의 세 점 $A,B,C\in {𝕊}^2$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치다.

• $A,B,C\in {𝕊}^2$는 구면 삼각형을 이룬다.
• $\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}\in {ℝ}^3$은 $ℝ$-선형 독립이다.

변의 길이와 각의 크기

구면 삼각형 $ABC$의 변의 길이 $a,b,c$는 두 꼭짓점 사이에 놓인 대원호의 길이로 정의되며, 이는 그 두 꼭짓점을 지나는 반지름 사이의 각도와 같다.

$a=BC=\arccos (\overrightarrow{OB}\cdot \overrightarrow{OC})$

$b=AC=\arccos (\overrightarrow{OC}\cdot \overrightarrow{OA})$

$c=AB=\arccos (\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB})$

구면 삼각형 $ABC$의 각의 크기 $A,B,C$는 한 꼭짓점에서 남은 두 꼭짓점을 향하는 두 접선 사이의 각도로 정의되며, 이는 그 한 꼭짓점을 지나는 두 변과 원점이 결정하는 두 평면 사이의 이면각과 같다.

$A=\arccos \frac{(\overrightarrow{OB}-(\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB})\overrightarrow{OA})\cdot (\overrightarrow{OC}-(\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OC})\overrightarrow{OA})}{|\overrightarrow{OB}-(\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB})\overrightarrow{OA}|\cdot |\overrightarrow{OC}-(\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OC})\overrightarrow{OA}|}=\arccos \frac{{𝐧}_{OAB}\cdot {𝐧}_{OAC}}{|{𝐧}_{OAB}||{𝐧}_{OAC}|}$

$B=\arccos \frac{(\overrightarrow{OC}-(\overrightarrow{OB}\cdot \overrightarrow{OC})\overrightarrow{OB})\cdot (\overrightarrow{OA}-(\overrightarrow{OB}\cdot \overrightarrow{OA})\overrightarrow{OB})}{|\overrightarrow{OC}-(\overrightarrow{OB}\cdot \overrightarrow{OC})\overrightarrow{OB}|\cdot |\overrightarrow{OA}-(\overrightarrow{OB}\cdot \overrightarrow{OA})\overrightarrow{OB}|}=\arccos \frac{{𝐧}_{OBC}\cdot {𝐧}_{OBA}}{|{𝐧}_{OBC}|\cdot |{𝐧}_{OBA}|}$

$C=\arccos \frac{(\overrightarrow{OA}-(\overrightarrow{OC}\cdot \overrightarrow{OA})\overrightarrow{OC})\cdot (\overrightarrow{OB}-(\overrightarrow{OC}\cdot \overrightarrow{OB})\overrightarrow{OC})}{|\overrightarrow{OA}-(\overrightarrow{OC}\cdot \overrightarrow{OA})\overrightarrow{OC}|\cdot |\overrightarrow{OB}-(\overrightarrow{OC}\cdot \overrightarrow{OB})\overrightarrow{OC}|}=\arccos \frac{{𝐧}_{OCA}\cdot {𝐧}_{OCB}}{|{𝐧}_{OCA}|\cdot |{𝐧}_{OCB}|}$

극삼각형

구 위의 (대원이 아닐 수 있는) 원의 극(極, 영어: pole)은 그 원이 놓인 평면과 수직인 지름의 두 끝점이다.

구면 삼각형 $ABC$가 주어졌다고 하자. $A^{\prime }$는 $BC$의 대원의 두 극 가운데 $A$와 같은 쪽에 있는 하나이며, $B^{\prime }$는 $CA$의 대원의 두 극 가운데 $B$와 같은 쪽에 놓인 하나이며, $C^{\prime }$는 $AB$의 대원의 두 극 가운데 $C$와 같은 쪽에 있는 하나라고 하자. 그렇다면 $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$는 구면 삼각형을 이루며, 이를 $ABC$의 극삼각형(極三角形, 영어: polar triangle)이라고 한다. 즉, 이는 다음을 만족시키는 삼각형이다.

$0=\overrightarrow{O{A}^{\prime }}\cdot \overrightarrow{OB}=\overrightarrow{O{A}^{\prime }}\cdot \overrightarrow{OC}=\overrightarrow{O{B}^{\prime }}\cdot \overrightarrow{OA}=\overrightarrow{O{B}^{\prime }}\cdot \overrightarrow{OC}=\overrightarrow{O{C}^{\prime }}\cdot \overrightarrow{OA}=\overrightarrow{O{C}^{\prime }}\cdot \overrightarrow{OB}$

$\overrightarrow{O{A}^{\prime }}\cdot \overrightarrow{OA}>0$

$\overrightarrow{O{B}^{\prime }}\cdot \overrightarrow{OB}>0$

$\overrightarrow{O{C}^{\prime }}\cdot \overrightarrow{OC}>0$

극삼각형의 극삼각형은 자기 자신이다. 이는 다음과 같이 증명할 수 있다. 구면 삼각형 $ABC$의 극삼각형이 $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$라고 하자. 그렇다면, $B^{\prime },C^{\prime }$가 각각 변 $AC,AB$의 극이므로, $A{B}^{\prime },A{C}^{\prime }$는 모두 4분원호다. 따라서, $A$는 변 $B^{\prime }{C}^{\prime }$의 극이다. 또한, $A,A^{\prime }$가 $BC$의 같은 쪽에 있으므로, $A{A}^{\prime }$는 4분원호보다 작으며, 따라서 $A,A^{\prime }$는 $B^{\prime }{C}^{\prime }$의 같은 쪽에 있다. 이로써 원하는 명제를 얻는다.

구면 삼각형 $ABC$의 극삼각형 $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$의 변 $a^{\prime },b^{\prime },c^{\prime }$ 및 각 $A^{\prime },B^{\prime },C^{\prime }$은 원래의 삼각형과 다음과 같은 관계를 갖는다.

$a+A^{\prime }=b+B^{\prime }=c+C^{\prime }=a^{\prime }+A=b^{\prime }+B=c^{\prime }+C=\pi$

이는 다음과 같이 증명할 수 있다. $B^{\prime }{C}^{\prime }$와 $AB$의 교점을 $D$, $B^{\prime }{C}^{\prime }$와 $AC$의 교점을 $E$라고 하자. 그렇다면, 각 $A$는 대원호 $DE$와 같다. 또한, $B^{\prime }E,C^{\prime }D$는 모두 4분원호이므로, $B^{\prime }{C}^{\prime }+A$는 반원호와 같다. 이로써 원하는 명제를 얻는다.

사인 법칙과 코사인 법칙

파일:Icons8 flat search.svg 이 부분의 본문은 구면 사인 법칙 및 구면 코사인 법칙입니다.

구면 삼각형에 대한 사인 법칙은 다음과 같다.

$\frac{\sin a}{\sin A}=\frac{\sin b}{\sin B}=\frac{\sin c}{\sin C}$

구면 삼각형 $ABC$에 대한 제1 코사인 법칙은 다음과 같다.

$\cos a=\cos b\cos c+\sin b\sin c\cos A$

$\cos b=\cos c\cos a+\sin c\sin a\cos B$

$\cos c=\cos a\cos b+\sin a\sin b\cos C$

구면 삼각형 $ABC$에 대한 제2 코사인 법칙은 극삼각형에 제1 법칙을 적용한 결과이며, 이는 다음과 같다.

$\cos A=-\cos B\cos C+\sin B\sin C\cos a$

$\cos B=-\cos C\cos A+\sin C\sin A\cos b$

$\cos C=-\cos A\cos B+\sin A\sin B\cos c$

다음과 같은 항등식은 코사인 법칙 및 사인 법칙을 사용하여 증명할 수 있다.

$\cot a\sin b=\cot A\sin C+\cos b\cos C$

$\cot b\sin a=\cot B\sin C+\cos a\cos C$

$\cot b\sin c=\cot B\sin A+\cos c\cos A$

$\cot c\sin b=\cot C\sin A+\cos b\cos A$

$\cot c\sin a=\cot C\sin B+\cos a\cos B$

$\cot a\sin c=\cot A\sin B+\cos c\cos B$

기타 항등식

반각과 반변

구면 삼각형의 반각 및 반변의 삼각 함수들은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

$\sin \frac{A}{2}=\sqrt{\frac{\sin (s-b)\sin (s-c)}{\sin b\sin c}}$

$\cos \frac{A}{2}=\sqrt{\frac{\sin s\sin (s-a)}{\sin b\sin c}}$

$\tan \frac{A}{2}=\sqrt{\frac{\sin (s-b)\sin (s-c)}{\sin s\sin (s-a)}}$

$\sin \frac{a}{2}=\sqrt{-\frac{\cos S\cos (S-A)}{\sin B\sin C}}$

$\cos \frac{a}{2}=\sqrt{\frac{\cos (S-B)\cos (S-C)}{\sin B\sin C}}$

$\tan \frac{a}{2}=\sqrt{-\frac{\cos S\cos (S-A)}{\cos (S-B)\cos (S-C)}}$

여기서 $2S=A+B+C$이다.

이에 따라 구면 삼각형의 각과 변의 삼각 함수를 다음과 같이 나타낼 수 있다.

$\sin A=\frac{2\sqrt{\sin s\sin (s-a)\sin (s-b)\sin (s-c)}}{\sin b\sin c}=\frac{\sqrt{1-{\cos }^{2}a-{\cos }^{2}b-{\cos }^{2}c+2\cos a\cos b\cos c}}{\sin b\sin c}$

$\sin a=\frac{2\sqrt{-\cos S\cos (S-A)\cos (S-B)\cos (S-C)}}{\sin B\sin C}=\frac{\sqrt{1-{\cos }^{2}A-{\cos }^{2}B-{\cos }^{2}C-2\cos A\cos B\cos C}}{\sin B\sin C}$

네이피어 동류식

다음과 같은 4개의 항등식을 네이피어 동류식(-同類式, 영어: Napier's analogies)이라고 한다.

$\tan \frac{A+B}{2}=\frac{\cos \frac{a-b}{2}}{\cos \frac{a+b}{2}}\cot \frac{C}{2}$

$\tan \frac{A-B}{2}=\frac{\sin \frac{a-b}{2}}{\sin \frac{a+b}{2}}\cot \frac{C}{2}$

$\tan \frac{a+b}{2}=\frac{\cos \frac{a-b}{2}}{\cos \frac{a+b}{2}}\tan \frac{c}{2}$

$\tan \frac{a-b}{2}=\frac{\sin \frac{a-b}{2}}{\sin \frac{a+b}{2}}\tan \frac{c}{2}$

들랑브르 동류식

다음과 같은 4개의 항등식을 들랑브르 동류식(-同類式, 영어: Delambre's analogies) 또는 가우스 정리(-定理, 영어: Gauss's theorems)이라고 한다.

$\cos \frac{A+B}{2}\cos \frac{c}{2}=\cos \frac{a+b}{2}\sin \frac{C}{2}$

$\cos \frac{A-B}{2}\sin \frac{c}{2}=\sin \frac{a+b}{2}\sin \frac{C}{2}$

$\sin \frac{A+B}{2}\cos \frac{c}{2}=\cos \frac{a-b}{2}\cos \frac{C}{2}$

$\sin \frac{A-B}{2}\sin \frac{c}{2}=\sin \frac{a-b}{2}\cos \frac{C}{2}$

넓이와 구과량

구면 다각형 $A_1{A}_2\cdots A_n$의 구과량(球過量, 영어: spherical excess) 또는 구면 과잉(球面過剩)은 다음과 같다.

$E=\sum _{k=1}^n{A}_k-(n-2)\pi$

특히, 구면 삼각형 $ABC$의 구과량은 다음과 같다.

$E=A+B+C-\pi$

구면 다각형 $A_1\cdots A_n$의 넓이는 그 구과량과 같다.

$\mathrm{area}(P)=E=\sum _{k=1}^n{A}_k-(n-2)\pi$

특히, 구면 삼각형 $ABC$의 넓이는 다음과 같으며, 이에 따라 구면 삼각형의 내각합은 항상 180도보다 크다.

$\mathrm{area}(T)=E=A+B+C-\pi$

이는 다음과 같이 증명할 수 있다. 구면 다각형은 여러 개의 구면 삼각형으로 쪼갤 수 있으므로, 구면 삼각형에 대하여 증명하는 것을 족하다. $a$변이 놓인 대원호를 경계로 하며 $A$를 한 점으로 포함하는 반구를 생각하자. 이는 네 가지 구역으로 나뉘는데, 첫째는 구면 삼각형 $ABC$, 둘째는 각 $B$만큼 벌어진 구면 이각형에서 구면 삼각형 $ABC$를 제외한 부분, 셋째는 각 $C$만큼 벌어진 구면 이각형에서 구면 삼각형 $ABC$를 제외한 부분, 마지막 넷째는 각 $A$만큼 벌어진 구면 이각형에서 $A,B,C$의 대척점 $-A,-B,-C$이 이루는 구면 삼각형을 제외한 부분이다. 구의 넓이가 $4\pi$이며, 구면 이각형의 넓이는 벌어진 각에 비례하며, 구면 삼각형 $-A,-B,-C$의 넓이가 $ABC$와 같다는 사실에 주의하면, 반구의 넓이를 다음과 같은 두 가지 방법으로 나타낼 수 있으며, 이를 정리하면 증명하려던 공식을 얻는다.

$\begin{array}{cc}2\pi & =\mathrm{area}(T)+(2A-\mathrm{area}(-T))+(2B-\mathrm{area}(T))+(2C-\mathrm{area}(T))\\ & =2A+2B+2C-2\mathrm{area}(T)\end{array}$

다음 항등식은 시몽 륄리에가 제시하였다.

$\tan \frac{E}{4}=\sqrt{\tan \frac{s}{2}\tan \frac{s-a}{2}\tan \frac{s-b}{2}\tan \frac{s-c}{2}}$

여기서 $2s=a+b+c$이다.

응용

구면 삼각법은 천문학, 측지학 및 항법에서 계산에 매우 중요하다.

역사

그리스 수학에서 구면 삼각법의 기원과 이슬람 수학의 주요 발전은 중세 이슬람의 삼각법과 수학의 역사에서 논의된바있다. 이 주제는 존 네이피어(John Napier) , 장 밥티스트 조제프 델람브레(Delambre) 및 다른 사람들의 중요한 발전으로 초기 근대에 실현되었으며 19세기 말 토드헌터(Todhunter)가 저술한 전문서적인 대학 및 학생을 위한 구면 삼각법의 출판으로 본질적으로 완전한 형태를 갖추었다. 이 책은 현재 웹에서 쉽게 퍼블릭 도메인인 구텐베르크 프로젝트로부터 사용할 수 있다. 그 이후로 중요한 발달로는 정리의 도출과 복잡한 계산을 수행하기위한 컴퓨터의 사용을 위한 벡터 방법의 적용이 있어왔다.

같이 보기

• 르장드르의 구면삼각형 정리
• 가우스-보네 정리

외부 링크

• Weisstein, Eric Wolfgang. “Spherical triangle” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research.