내부 (위상수학)

위상수학에서 내부(內部, 영어: interior)는 원래의 집합에서 경계를 제외하여 얻는 집합이다. $A$의 내부의 기호는 $\mathrm{int}A$ 또는 $A^{\circ }$이다.

정의

위상 공간 $X$의 부분 집합 $A\subseteq X$의 내부 $\mathrm{int}A\subseteq X$는 $A$를 근방으로 하는 점들로 구성된 집합이다. 즉, 다음 조건을 만족시키는 점 $x\in X$들의 집합이다.

• $x\in U\subseteq A$인 열린집합 $U\subseteq X$가 존재한다.

내부의 원소를 내부점(內部點, 영어: interior point)이라고 한다.

성질

열린집합과의 관계

위상 공간 $X$의 부분 집합 $A\subseteq X$에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.

• $A$는 열린집합이다.
• $A=\mathrm{int}A$
• $A\subseteq \mathrm{int}A$

반대로 $\mathrm{int}A$는 $A$의 모든 열린부분집합의 합집합이며, 또한 $A$의 최대 열린부분집합이다.^:92-101

폐포와의 관계

내부와 폐포의 포함 관계는 다음과 같다.

$\mathrm{int}A\subseteq A\subseteq \mathrm{cl}A$

내부와 폐포는 쌍대 개념이다. 즉, 다음이 성립한다.

$\mathrm{int}A=X\setminus \mathrm{cl}(X\setminus A)$

위상 공간은 그 어떤 부분 집합의 내부와 경계와 외부로 분할할 수 있다.

$X=\mathrm{int}A\bigsqcup \partial A\bigsqcup \mathrm{ext}A$

집합 연산과의 관계

내부는 유한 교집합을 보존한다.

$\mathrm{int}(A\cap B)=\mathrm{int}A\cap \mathrm{int}B$

그러나 무한 교집합 · 유한 합집합 · 무한 합집합은 보존하지 않으며, 이러한 연산과의 관계식은 다음과 같다.

$\mathrm{int}\bigcap _{i\in I}{A}_i\subseteq \bigcap _{i\in I}\mathrm{int}{A}_i$

$\mathrm{int}\bigcup _{i\in I}{A}_i\supseteq \bigcup _{i\in I}\mathrm{int}{A}_i$

기저와의 관계

위상 공간 $(X,𝒯)$의 기저 $ℬ\subseteq 𝒯$가 주어졌을 때, 부분 집합 $A\subseteq X$ 및 점 $x\in X$에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.

• $x\in \mathrm{int}A$
• $x\in B\subseteq A$인 $B\in ℬ$가 존재한다.

즉, $\mathrm{int}A$는 $A$에 포함되는 기저 원소들의 합집합이다.

예

실수선 $ℝ$의 표준적인 위상은 순서 위상이며, 이는 모든 열린구간을 기저로 한다. 이 경우 내부를 취하는 연산이 무한 교집합을 보존하지 않는 예를 다음과 같이 들 수 있다.

$\mathrm{int}\bigcap _{n=1}^{\mathrm{\infty }}[-\frac{1}{n},\frac{1}{n}]=\varnothing ⊊\{0\}=\bigcap _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\mathrm{int}[-\frac{1}{n},\frac{1}{n}]$

또한 내부를 취하는 연산이 합집합을 보존하지 않는 한 가지 예는 다음과 같다.

$\mathrm{int}([0,1]\cup [1,2])=(0,2)⊋(0,1)\cup (1,2)=\mathrm{int}[0,1]\cup \mathrm{int}[1,2]$

스콧 위상

연속 dcpo $(P,\le )$ 위에 스콧 위상을 부여하였을 때, 임의의 $a\in P$의 상폐포의 내부는 다음과 같다.^{:136, Proposition II-1.6}

$\mathrm{int}\uparrow a=\Uparrow a=\{b\in P:b\gg a\}$

증명:

$\Uparrow a$은 스콧 열린집합: $D\subseteq L$가 상향 집합이며, $a\ll \bigvee D$라고 하자. $P$가 연속 dcpo이므로, $a\ll d$인 $d\in D$가 존재한다. 즉, $\Uparrow a\cap D\ne \varnothing$이다.

$\mathrm{int}\uparrow a\subseteq \Uparrow a$: 임의의 $b\in \mathrm{int}\uparrow a$ 및 상향 집합 $D\subseteq L$가 주어졌으며, 또한 $b\le \bigvee D$라고 하자. $a\le d$인 $d\in D$를 찾으면 족하다. $\mathrm{int}\uparrow a$는 스콧 열린집합이므로, 상집합이다. 따라서, $\bigvee D\in \mathrm{int}\uparrow a$이다. 따라서, $D\cap \mathrm{int}\uparrow a$는 공집합이 아니다.

같이 보기

• 외부 (위상수학)
• 경계 (위상수학)
• 근방

외부 링크

• “Interior of a set” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Interior” (영어). 《nLab》. 
• “Interior” (영어). 《Topospaces》.