그레고리 급수

해석학에서, 그레고리 급수(Gregory 級數, 영어: Gregory series)란 아크탄젠트의 매클로린 급수이며 전개식은 다음과 같다.

$\arctan x=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+\cdots =\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k{x}^{2k+1}}{2k+1}$ (단 $\left|x\right|\le 1$일 때만 수렴)

증명

아크탄젠트의 정의에 의해 $\arctan x=\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{1}{1+t^2}dt$이다.

$\frac{1}{1+t^2}=\frac{1}{1-(-t^2)}$이므로 기하급수에 의해 $\frac{1}{1+t^2}=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(-t^2{)}^k$이다. 따라서,

$\begin{array}{cc}\arctan x& =\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{1}{1+t^2}dt\\ & =\underset{0}{\overset{x}{\int }}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(-t^2{)}^{k}dt\\ & =\underset{0}{\overset{x}{\int }}(1-t^2+t^4-t^6+\cdots )dt\\ & =x-\frac{1}{3}{x}^3+\frac{1}{5}{x}^5-\frac{1}{7}{x}^7+\cdots \\ & =\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k{x}^{2k+1}}{2k+1}\end{array}$

이다.

역사

그레고리 급수가 문헌상 기인할 수 있는 최초의 주요한 사람 중 한 명은 인도의 수학자인 산가마그라마 마다바(Sangamagrama Madhava c. 1340 – c. 1425)이며 그의 원래의 참고 문헌은 직접적인 산가마그라마 마다바의 많은 작업과 마찬가지로 손실되었지만 이러한 그의 작업은 케랄라 천문학 및 수학 학교(Kerala school of astronomy and mathematics)에서 그의 후계자 몇 명에 의해 기술된 저서에서 발견돼 알려졌다. 이러한 아크탄젠트 급수에 대한 구체적인 인용에는 닐라칸타 소마야지의 탄트라삼그라하(Tantrasamgraha,c.1500), 제하데바(Jyeṣṭhadeva)의 유키브하(Yuktibhāṣā, c. 1530), 및 샨카라 바리야르의 유키디피카(Yukti-dipika) 주석이 포함된다.

원주율

제임스 그레고리(James Gregory)는 1668년에 '기기학의 보편적인 부분'(Geometriae pars universalis ,(영)The Universal Part of Geometry), '기하학적 운동'(Exercitationes geometrica ,(영)Geometrical Exercises)이라는 두 출판물에서 이 아크탄젠트 급수를 인용했다고 알려져 있다. 이러한 저술에서 고트프리트 빌헬름 라이프니츠(Gottfried Leibniz)가 원주율 π를 재발견하고 이에 대한 라이프니츠 공식을 얻는 것과 관련이 있다고 알려져 있다.

같이 보기

• 역삼각함수