그린 관계

모노이드 이론에서, 그린 관계(Green關係, 영어: Green’s relation)는 임의의 모노이드 위에 존재하는 5개의 표준적인 동치 관계 L·R·J·H·D이다.

정의

임의의 모노이드 $M$ 위에는 다음과 같이 5개의 표준적인 동치 관계가 존재하며, 이를 그린 관계라고 한다.

$mℒn⟺Mm=Mn$

$mℛn⟺mM=nM$

$m𝒥n⟺MmM=MnM$

$m\mathscr{H}n⟺(mℒn)\wedge (mℛn)$

$m𝒟n⟺\mathrm{\exists }p\in M:mℒpℛn⟺\mathrm{\exists }q\in M:mℛqℒn$

즉, 풀어 쓰면 다음과 같다.

• $ℒ$은 두 원소가 생성하는 왼쪽 아이디얼이 같은지 여부이다.
• $ℛ$는 두 원소가 생성하는 오른쪽 아이디얼이 같은지 여부이다.
• $𝒥$는 두 원소가 생성하는 양쪽 아이디얼이 같은지 여부이다.
• $\mathscr{H}$는 두 원소가 생성하는 왼쪽·오른쪽 아이디얼이 둘 다 같은지 (즉, $ℒ$과 $ℛ$가 동시에 성립하는지) 여부이다.
• $𝒟$는 첫째가 생성하는 왼쪽 아이디얼이 둘째가 생성하는 오른쪽 아이디얼과 교차하는지 여부이다.

성질

이들 사이에는 다음과 같은 함의 관계가 존재한다.

$\begin{array}{ccc}\mathscr{H}& ⟹& ℒ\\ \Downarrow & & \Downarrow \\ ℛ& ⟹& 𝒟& ⟹& 𝒥\end{array}$

$\mathscr{H}$는 $ℒ$과 $ℛ$를 함의하는 가장 섬세한 동치 관계이며, $𝒟$는 $ℒ$과 $ℛ$를 함의하는 가장 거친 동치 관계이다.

유한 모노이드에서 $𝒟$와 $𝒥$는 서로 동치이나, 이는 무한 모노이드에서 성립하지 않을 수 있다.

가환 모노이드에서는 5개 그린 관계가 모두 서로 동치이다. 군의 경우 5개 그린 관계가 모두 동치이며 항상 참이다 (즉, 그 동치류는 군 전체이다).

동치류

주어진 $𝒟$-동치류 속에 포함된 $\mathscr{H}$-동치류들의 크기는 모두 같다.

그린 정리(영어: Green’s theorem)에 따르면, 임의의 모노이드의 임의의 $\mathscr{H}$-동치류 $H$에 대하여, 다음 두 조건 가운데 정확히 하나가 성립한다.

• $H^2\cap H=\varnothing$
• $H^2=H$이며 $H$는 군을 이룬다.

쉬첸베르제 군

모노이드 $M$의 $\mathscr{H}$-동치류 $H$가 주어졌을 때,

$T(H)=\{t\in M:Ht\subseteq H\}$

를 정의하자. 그렇다면, 이는 $M$의 부분 모노이드를 이룬다. 이 위에 다음과 같은 동치 관계를 주자.

$t\sim t^{\prime }⟺\mathrm{\forall }h\in H:ht=h{t}^{\prime }$

그렇다면 $\Gamma (H)=T(H)/\sim$ 역시 모노이드를 이루며, 이는 사실 군을 이룬다. 이를 $H$의 쉬첸베르제 군(영어: Schützenberger group)이라고 한다.

일반적으로 $|H|=|\Gamma (H)|$이다. 만약 $H$가 군을 이룬다면 $\Gamma (H)=T(H)=H$이다. 같은 $𝒟$-동치류에 속하는 $\mathscr{H}$-동치류들의 쉬첸베르제 군은 서로 동형이다. 오른쪽 작용 대신 왼쪽 작용을 사용하여 쉬첸베르제 군을 정의할 수 있으며, 이들은 서로 반대군을 이루므로 서로 동형이다.

역사

그린 관계는 제임스 알렉산더 그린(영어: James Alexander Green, 1926〜2014)이 1951년에 도입하였다. 그린은 이 동치 관계들을 오늘날 사용되는 표기 따위 대신 합동 산술과 유사하게 표기하였다.

그린의 기호	오늘날의 기호
$x\equiv y(𝔩)$	$xℒy$
$x\equiv y(𝔯)$	$xℛy$
$x\equiv y(𝔯\cap 𝔩)$	$x\mathscr{H}y$
$x\equiv y(𝔡)$	$x𝒟y$
$x\equiv y(𝔣)$	$x𝒥y$

쉬첸베르제 군은 프랑스의 수학자 마르셀폴 쉬첸베르제(프랑스어: Marcel-Paul Schützenberger, 1920〜1996)가 1957년에 도입하였다.

수학자 존 매킨토시 하위(영어: John Mackintosh Howie)는 그린 관계의 중요성에 대하여 다음과 같이 평하였다.

“	새 반군을 접하게 되면, 거의 최초로 묻는 질문은 “그린 관계가 어떤가?”이다. [O]n encountering a new semigroup, almost the first question one asks is ‘What are the Green relations like?’	”
	— :7

예

유한 모노이드의 그린 관계는 보통 계란통 그림(영어: eggbox diagram)으로 표현된다. 이 경우.

• $ℛ$의 동치류는 그림의 각 행에 대응된다.
• $ℒ$의 동치류는 그림의 각 열에 대응된다.
• $\mathscr{H}$의 동치류는 그림의 각 칸에 대응된다.
• $𝒟$ 또는 $𝒥$의 동치류는 그림의 각 행렬에 대응된다.

예를 들어, 집합 $\{1,2,3\}$의 자기 함수 $\{1,2,3\}\to \{1,2,3\}$들의 모노이드를 생각하자. 함수 $(1\mapsto x,2\mapsto y,3\mapsto z)$를 $(x,y,z)$로 표기하자. 그렇다면, 이 모노이드의 계란통 그림은 다음과 같다.

(1 1 1) (2 2 2) (3 3 3)
	(1 2 2) (2 1 1) (1 3 3) (3 1 1) (2 3 3) (3 2 2) (2 1 2) (1 2 1) (3 1 3) (1 3 1) (3 2 3) (2 3 2) (2 2 1) (1 1 2) (3 3 1) (1 1 3) (3 3 2) (2 2 3)
		(1 2 3) (2 3 1) (3 1 2) (1 3 2) (3 2 1) (2 1 3)

여기서 굵은 글씨체로 표기된 원소는 멱등원이며, 이를 포함하는 칸($\mathscr{H}$-동치류)은 멱등원을 항등원으로 하는 군을 이룬다.

자연수의 덧셈 모노이드

자연수 집합 $\mathbb{N}=\{0,1,2,\dots \}$은 덧셈에 대하여 모노이드를 이룬다. 이는 가환 모노이드이므로 5개의 그린 관계가 모두 일치하며, 그 동치류는 모두 한원소 집합이다. (즉, 그린 관계는 자연수의 값이 같은 것이다.) 즉, 그 달걀통 그림은 다음과 같다.

0
	1
		2
			⋱

외부 링크

• “Green equivalence relations” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.