극분해

선형대수학과 함수해석학에서 극분해(極分解, 영어: polar decomposition)는 복소수 정사각 행렬 또는 두 복소수 힐베르트 공간 사이의 유계 작용소를, “절댓값”과 “편각”으로 분해하는 과정이다. 여기서, “절댓값” 성분은 항상 음이 아닌 고윳값을 가지는 자기 수반 작용소이며, “편각” 성분은 그 핵의 직교 여공간과 치역 사이의 유니터리 변환을 정의한다.

정의

복소수 힐베르트 공간 $H$ 위의 유계 작용소

A : H \to H

가 주어졌다고 하자. 그렇다면, $A$ 의 극분해는 다음과 같은 조건들을 만족시키는 순서쌍 $(U, P)$ 이다.

$U, P : H \to H$ 는 유계 작용소이다.
$A = U \circ P$ 이다.
$U : H \to H$ 의 경우, $H / \ker U \to H$ 는 등거리 변환이다. (그러나 단사 함수일 필요도, 전사 함수일 필요도 없다.)
$P$ 는 유계 자기 수반 작용소이며, 임의의 $v \in H$ 에 대하여 $⟨ v | H | v ⟩ \in [0, \infty) \subseteq ℂ$ 이다.
$(\ker U)^{⊥} = cl (P H)$ 이다. (여기서 $cl (-)$ 은 폐포이다.)

사실, 항상

P = \sqrt{A^{*} A} = | A |

임을 보일 수 있다.

성질

복소수 힐베르트 공간 $H$ 위의 유계 작용소 $A : H \to H$ 의 극분해 $(U, P)$ 는 항상 존재하며, 항상 유일하다.

폰 노이만 대수의 경우

$P$ 는 ${A}$ 로 생성되는 C* 대수의 원소이다. $U$ 는 ${A}$ 로 생성되는 폰 노이만 대수의 원소이다. 만약 $A$ 가 $B (H, H)$ 의 가역원이라면 (즉, 전단사 함수이며 유계 역함수를 갖는다면), $U$ 는 ${A}$ 로 생성되는 C* 대수의 원소이다.

이에 따라, 임의의 폰 노이만 대수의 원소의 극분해를 마찬가지로 정의할 수 있다. 또한, C* 대수의 가역원의 경우 마찬가지로 극분해를 정의할 수 있다.

유한 차원의 경우

만약 $H$ 가 유한 차원이며 $A$ 가 가역 행렬이라면, $A$ 의 극분해 $(U, P)$ 에서 $U$ 는 유니터리 작용소가 된다. 그러나 만약 $H$ 가 무한 차원이라면 그럴 필요는 없다.

또한, $H$ 가 유한 차원일 때,

\det A = \det U \det P

이므로

\det P = | \det A | \in [0, \infty)

\det U \in {z \in ℂ : | z | = 1}

이다.

예

유한 차원

임의의 복소수 $z \in ℂ$ 를 유계 작용소 $z \cdot : ℂ \to ℂ$ 로 간주할 때, 그 극분해는 절댓값과 편각으로의 분해와 같다.

z = \exp (i θ) \cdot r (r \in [0, \infty))

보다 일반적으로, $ℂ^{n}$ 위의 대각 행렬

diag (r_{1} \exp (i θ_{1}), \dots, r_{n} \exp (i θ_{n})) : ℂ^{n} \to ℂ^{n} (θ_{1}, \dots, θ_{n} \in ℝ, r_{1}, \dots, r_{n} \in ℝ_{\geq 0})

의 극분해는 다음과 같다.

diag (r_{1} \exp (i θ_{1}), \dots, r_{n} \exp (i θ_{n})) = diag (\exp (i θ_{1}), \dots, \exp (i θ_{n})) diag (r_{1}, \dots, r_{n})

무한 차원

르베그 공간

H = ℓ^{2} (ℕ; ℂ)

을 생각하자. 그 위의 시프트 연산자

A : (z_{0}, z_{1}, \dots) \mapsto (0, z_{0}, z_{1}, \dots)

를 생각하자. 이 경우,

A^{*} A = 1

이므로 극분해 $(P, U)$ 는

P = 1

U = A

이다. 특히, $U$ 는 유니터리 작용소가 되지 못한다.

같이 보기

외부 링크

“Polar decomposition” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
Moslehian, Mohammad Sal. “Polar decomposition” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research.
“Polar decomposition” (영어). 《nLab》.