극성화와 반환

가환대수학에서 극성화(極性化, 영어: polarization)는 동차 다항식에 변수를 추가하여 다중 선형 다항식으로 변환시키는 연산이다. 반환(返還, 영어: restitution)은 극성화의 반대 연산이며, 다중 선형 다항식을 동차 다항식으로 변환시킨다.

정의

$p$가 $n$개의 변수에 대한 $d$차 동차 다항식이고, $R$는 계승 $n!$이 가역원인 가환환이라고 하자. 그렇다면 $p$를 $R[x_1,\dots ,x_n]$의 원소로 여길 수 있다. $p$의 극성화

$𝒫p\in R[x_{1,1},x_{1,2},\dots ,x_{i,j},x_{i,j+1},\dots ,x_{n,d}]$

는 다음과 같다.

$𝒫p(\dots ,x_{i,j},\dots )=\frac{1}{d!}\frac{\partial }{\partial t_1}\cdots \frac{\partial }{\partial t_d}f(\dots ,\sum _{j=1}^d{t}_j{x}_{i,j},\dots )$

극성화의 반대 연산은 반환이다. $nd$개의 변수를 갖는 다항식

$P\in R[x_{1,1},x_{1,2},\dots ,x_{i,j},\dots ,x_{n,d}$

의 반환 $ℛP$는 다음과 같다.

$ℛP\in R[x_1,\dots ,x_n]$

$ℛP(x_1,\dots ,x_n)=P(\stackrel{d}{\overbrace{x_1,\dots ,x_1}},\cdots ,\stackrel{d}{\overbrace{x_i,\dots ,x_i}},\cdots ,\stackrel{d}{\overbrace{x_n,\dots ,x_n}})$

성질

$(x_{1,j},\dots ,x_{n,j})={𝐱}_j$라고 쓰자. 그렇다면, 각 $j$에 대하여 $𝒫p$는 ${𝐱}_j$에 대한 선형 함수이다. 또한, $𝒫p$는 대칭군 $\mathrm{Sym}(d)$의 작용 (${𝐱}_1,\dots ,{𝐱}_d$의 순열)에 대하여 불변이다.

$K$가 표수가 0인 체라고 하고, $V$가 $n$차원 $K$-벡터 공간이라고 하자. 그렇다면 다항식환 $K[V]$은 차수에 따라 등급환이 된다.

$K[V]=\underset{i=0}{\overset{\mathrm{\infty }}{⨁}}K[V{]}_i$

이 경우, 극성화는 표준적 동형사상

$𝒫:K[V{]}_i\to {\mathrm{Sym}}^n(V^{*})$

을 정의한다. 또한, 극성화는 $R[V]$의 $K$-대수 구조와 호환되므로, $K$-등급대수로서 다음과 같은 동형사상이 존재한다.

$𝒫:K[V]\to \mathrm{Sym}(V^{*})$

예

1변수 단항식 $a{x}^d$에 대하여, 극성화는 항등 함수이다. 마찬가지로, 선형 함수 ($d=1$)에 대하여, 극성화는 항등 함수이다.

2변수 이차 형식

$p(x,y)=a{x}^2+2bxy+c{y}^2$

의 극성화는 다음과 같다.

$𝒫p(x_1,y_1,x_2,y_2)=a{x}_1{x}_2+b(x_1{y}_2+y_1{x}_2)+c{y}_1{y}_2$

2변수 3차 동차 다항식

$p(x,y)=a{x}^3+3b{x}^{2}y+3cx{y}^2+d{y}^3$

의 극성화는 다음과 같다.

$𝒫p(x_1,x_2,x_3,y_1,y_2,y_3)=a{x}_1{x}_2{x}_3+b(y_1{x}_2{x}_3+x_1{y}_2{x}_3+x_1{x}_2{y}_3)+c(x_1{y}_2{y}_3+y_1{x}_2{y}_3+y_1{y}_2{x}_3)+d{y}_1{y}_2{y}_3$

응용

극성화와 반환은 대수기하학, 특히 불변량 이론에서 쓰인다.

참고 문헌

• Dolgachev, Igor V. (2003). 《Lectures on invariant theory》 (영어). London Mathematical Society Lecture Note Series 296. Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9780511615436. ISBN 978-052152548-0. Zbl 1023.13006.