기본 표현

리 군의 표현론에서 기본 표현(基本表現, fundamental representation)은 그 우세 무게가 다른 모든 우세 무게들의 집합의 기저를 이루는 표현이다. 주어진 군의 임의의 표현은 기본 표현들의 조합으로 유일하게 나타낼 수 있다.

성질

모든 표현은 일련의 무게들로 나타낼 수 있다. 계수(rank, 카르탕 부분 대수의 차원)가 $k$인 반단순 리 대수의 표현은 $k$개의 무게를 가진다. 즉, 무게들은 $k$차원 실수 벡터 공간의 원소다. 여기에 임의로 정분면(orthant)을 골라, 순서를 매길 수 있다. 그 가운데, 선택한 양근에 의하여 결정되는 단순 쌍대근의 쌍대 기저를 기본 무게(基本-, fundamental weight)고 한다. 기본 무게를 우세 무게로 가지는 표현을 기본 표현이라고 한다. 이에 따라 임의의 표현은 기본 표현들의 텐서곱의 최고 무게 성분으로 나타낼 수 있다. 기본 표현은 무게 공간의 기저를 이루므로, 기본 표현의 개수는 리 군의 계수와 같다.

단순 리 군의 기본 표현

• A_n = SU(n+1) (또는 그 복소화인 $SL(n+1,ℂ)$)의 경우, 기본 표현은 $k$차 완전 반대칭 텐서 ${\bigwedge }^k{ℂ}^{n+1}$ ($k=1,\dots ,n$)이다. 이 경우, 기본 무게는 $(1,0,0,\dots ,0)$, $(1,1,0,\dots ,0)$ …, $(1,1,1,\dots ,1)$의 꼴이다.
• B_n = Spin(2n+1)의 경우, 기본 표현은 $2^n$차원 디랙 스피너와 ${\bigwedge }^k{ℂ}^{2n+1}$ ($k=1,\dots ,n-1$)이다. 이 경우, 기본 무게는 $(1/2,1/2,\dots ,1/2)$ (스피너)와 $(1,0,\dots ,0,0)$, …, $(1,1,\dots ,1,0)$이다. (물론 $(1,1,\dots ,1)=2(1/2,1/2,\dots ,1/2)$이므로 기본 표현이 아니다.)
• C_n = USp(2n)의 경우, 기본 표현은 ${\bigwedge }^k{ℂ}^{2n}$ ($k=1,\dots ,n$)의 최고 무게 기약 성분이다. 이는 $(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{k})-(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{k-2})$ ($k\ge 2$)차원이다. 물론 $k=1$인 경우는 그냥 $2n$차원이다.
• D_n = Spin(2n)의 경우, 기본 표현은 $2^{n-1}$차원 바일 스피너 두 개와 ${\bigwedge }^k{ℂ}^{2n}$ ($k=1,\dots ,n-2$)이다. 이 경우, 기본 무게는 $(1/2,1/2,\dots ,1/2,\pm 1/2)$와 $(1,0,\dots ,0,0.0)$, …, $(1,1,\dots ,1,0,0)$이다.
• F₄의 경우, 기본 표현은 26, 52, 273, 1274차원 표현이다. 여기서 52차원 표현은 딸림표현이다.
• G₂의 경우, 기본 표현은 7차원 표현과 14차원 표현이다. 여기서 14차원 표현은 딸림표현이다.
• E₆의 경우, 기본 표현은 27, 27′, 78, 351, 351′, 2925차원 표현이다. 여기서 78차원 표현은 딸림표현이다.
• E₇의 경우, 기본 표현은 56, 133, 912, 1539, 8645, 27664, 365750차원 표현이다. 여기서 133차원 표현은 딸림표현이다.
• E₈의 경우, 기본 표현은 각각 248, 3875, 30380, 147250, 2450240, 6696000, 146325270, 6899079264차원 표현이다. 여기서 248차원 표현은 딸림표현이다.

같이 보기

• 무게 (표현론)