기하 불변량 이론 몫

대수기하학에서 기하 불변량 이론 몫(幾何不變量理論몫, 영어: geometric invariant theory [GIT] quotient)은 대수군이 작용하는 대수다양체가 주어졌을 때, 이에 대한 몫을 정의하는 방법이다. 이 경우, 일부 ‘매우 나쁜’ 점들(준안정점이 아닌 점)을 버리게 되며, 또한 일부 ‘조금 나쁜’ 점(안정점이 아닌 준안정점)의 경우 해당 상의 원상이 궤도 전체가 아닐 수 있다.

정의

아핀 스킴의 경우

다음이 주어졌다고 하자.

• 체 $k$
• $k$ 위의 아핀 스킴 $X/\mathrm{Spec}k=\mathrm{Spec}A$
• $k$ 위의 대수군 $G/\mathrm{Spec}k$
• 작용 $G{\times }_{k}X\to X$

그렇다면, $A$ 위에는 군의 작용

$G\times A\to A$

$(g.a)(x)=a(g^{-1}.x)$

이 주어진다. 그렇다면, 불변량의 대수

$A^G=\{a\in A:\mathrm{\forall }g\in G:g.a=a\}$

를 정의할 수 있다. 이 역시 $k$ 위의 가환 결합 대수이다.

그렇다면, $S$의 기하 불변량 이론 몫은 다음과 같다.

$A//G=\mathrm{Spec}(A^G)$

만약 $A$가 $k$ 위의 유한 생성 가환 결합 대수이며, $G$가 가약군이라면, $A^G$ 역시 $k$ 위의 유한 생성 가환 결합 대수이다 (나가타 정리 영어: Nagata’s theorem).

일반 스킴의 경우

다음이 주어졌다고 하자.

• 체 $k$
• $k$ 위의 유한형 스킴 $X/\mathrm{Spec}k$
• 대수적 선다발 $L\twoheadrightarrow X$
• $k$ 위의 대수군 $G/\mathrm{Spec}k$
• 작용 $G{\times }_{k}X\to X$

그렇다면, 이 데이터의 선형화는 $L$ 위의 $G$의 다음과 같은 조건을 만족시키는 작용이다.

• 임의의 $l\in L$에 대하여, $\pi (g.l)=g.\pi (y)$. 즉, 이는 각 올 $L_x$에 대하여 사상 $L_x\to L_x$를 정의한다.
• 또한, 임의의 $x\in X$에 대하여, $G{\times }_k{L}_x\to L_x$는 $k$-선형 변환이다.

이 경우, 대수적 선다발 $L$에 대하여 $X$의 기하점(대수적으로 닫힌 체 계수의 유리점)

$\mathrm{Spec}\overline{K}\to X$

에 대하여, 만약 다음 조건이 성립한다면, $x$를 준안정점이라고 한다.

• 어떤 양의 정수 $n$ 및 $G$-불변 단면 $s\in \Gamma (X,{ℒ}^{\otimes n})$에 대하여, $s(x)\ne 0$이며 $\{y\in X:s(y)\ne 0\}$이 아핀 열린 부분 스킴이다.

만약 위 정의에 추가로 $\{y\in X:s(y)\ne 0\}$에서 모든 기하점의 궤도가 자리스키 닫힌집합이라는 조건이 추가로 성립하면 $x$를 안정점이라고 한다.

준안정점들은 열린 부분 스킴

$X^{\mathrm{ss}}\subseteq X$

을 구성한다. 정의에 따라서, 충분히 큰 $N\in \mathbb{N}$ 및 $G$-불변 단면

$s_1,\dots ,s_n\in \Gamma ({ℒ}^{\otimes N})$

에 대하여

$\{x\in X:s_i(x)\ne 0\}\cong \mathrm{Spec}{R}_i$

$\bigcup _{i=1}^n\mathrm{Spec}{R}_i=X^{\mathrm{ss}}$

가 된다. 따라서 각 아핀 열린 스킴에 대하여 기하 불변량 이론 몫

$V_i=\mathrm{Spec}{R}_i^G$

를 정의할 수 있으며, 이들을 짜깁기하여 $k$ 위의 유한형 스킴

$X//G$

를 정의할 수 있다. 이를 $X$의 기하 불변량 이론 몫이라고 한다. 이 개념은 사용한 선형화에 의존한다.

성질

체 $k$ 위의 유한형 스킴 $X$ 및 그 위에 작용하는 대수군 $G$ 및 선다발 $L$ 및 선형화가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 안정점으로 구성된 열린 부분 스킴 $X^{\mathrm{s}}$ 및 준안정점으로 구성된 열린 부분 스킴 $X^{\mathrm{ss}}$이 존재한다. 이 경우 $X^{\mathrm{s}}$의 경우 몫공간인 스킴 $X^{\mathrm{s}}/G$를 정의할 수 있다. 이 경우 다음과 같은 사상들이 존재한다.

$\begin{array}{ccccc}{X}^{\mathrm{s}}& \hookrightarrow & X^{\mathrm{ss}}& \hookrightarrow & X\\ \downarrow & & \downarrow \\ X^{\mathrm{s}}/G& \hookrightarrow & X//G\end{array}$

예

오비폴드

아핀 스킴 ${𝔸}_K^2=K[x,y]$ 위의, 이산군 $\mathrm{Cyc}(2)$(2차 순환군)의 작용

$(x,y)\mapsto (-x,-y)$

을 생각하자. 또한, $\mathrm{char}K\ne 2$라고 하자. 그렇다면,

$\frac{[K[a,b,c]}{(ac-b^2)}\cong K[x,y{]}^G$

$(a,b,c)\mapsto (x^2,xy,y^2)$

가 된다. 따라서

${𝔸}_K^2//\mathrm{Cyc}(2)=\mathrm{Spec}\frac{[K[a,b,c]}{(ac-b^2)}$

는 3차원 아핀 공간 속의 이차 초곡면이다.

사영 공간

체 $k$가 주어졌다고 하자. 곱셈군 $K^{\times }$이 사영 공간 $X={\mathbb{P}}_k^n$ 위에 다음과 같이 작용한다고 하자.

$\lambda .[x_0:x_1:\cdots :x_n]=[{\lambda }^{-n}{x}_0:\lambda x_1:\cdots :\lambda x_n]$

그렇다면, 닫힌 점 $x=[x_0:\cdots :x_n]$는 힐베르트-멈퍼드 수치 조건에 의하여 다음과 같이 분류된다.

• 만약 $x_0\ne 0$이며 $(x_1,\dots ,x_n)\ne (0,\dots ,0)$이라면, $x$는 안정점이다.
• 만약 $x=[1:0:\cdots :0]$이라면, $x$는 안정점도, 준안정점도 아니다.
• 만약 $x_0=0$이라면, $x$는 안정점도, 준안정점도 아니다.

(이 경우 모든 준안정점은 안정점이다.)

즉, 이 경우 준안정점의 부분 공간은

$X^{\mathrm{ss}}\cong {𝔸}_K^n\setminus \{0\}$

이며, 그 위의 $k^{\times }$의 작용은

$\lambda .(x_1,\dots ,x_n)=(\lambda x_1,\dots ,\lambda x_n)$

이다. 따라서 그 기하 불변량 이론 몫은

$X//k^{\times }={\mathbb{P}}_k^{n-1}$

이다.

외부 링크

• “Geometric invariant theory” (영어). 《nLab》. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Geometric invariant theory” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research. 
• “Why is Mumford’s GIT quotient so effective?” (영어). 《Math Overflow》.