뇌터 정리

파일:Noether theorem 1st page.png

뇌터 정리 출판한 첫 페이지

수리물리학에서 뇌터의 정리(-定理, 영어: Noether's theorem)란 어떤 미분가능한 한 물리계의 작용의 대칭성이 하나의 보존법칙에 대응된다는 것이다. 독일의 수학자 에미 뇌터가 1915년에 증명하고, 1918년 출판하였다. 여기서 한 물리계의 작용이란 최소 작용의 원리에 의해 결정되는 계의 행동으로부터 유도되는 한 라그랑지안 함수의 시간적분(또는 라그랑지안 밀도 함수의 공간적분)이다. 뇌터 정리는 그동안 실험적 근거만을 가지던 여러 보존 법칙들을 더욱 간단한 물리학 이론의 대칭성들로부터 이끌어 내었다는 근본적인 의미를 갖는다. 이 정리는 현대 이론물리학의 기본적인 도구이며, 현대 이론물리학의 연구 방식에 지대한 영향을 끼쳤다. 이 정리는 라그랑주 역학, 양자장론 등 라그랑지안으로 다룰 수 있는 모든 계에 적용된다. 다만, 순수 라그랑주 역학으로 다룰 수 없는 계들도 존재한다. 예를 들어, 마찰이나 점성이 있는 계의 경우 레일리 발산 함수(Rayleigh dissipation function)를 사용하여야 한다. 이 경우, 연속적인 대칭이 존재하지만 이에 대응되는 보존 법칙이 존재하지 않을 수도 있다.

장론에서의 뇌터 정리

어떤 대칭에 의하여 장과 시공 좌표가 무한소의 대칭 변환에 대하여 다음과 같이 변환한다고 하자.

$x{\text{'}}^{\mu }=x^{\mu }+{\delta }_{ϵ}{x}^{\mu }$

${\varphi }^{\prime }(x^{\prime })=\varphi (x)+{\delta }_{ϵ}\varphi (x)=\varphi (x^{\prime })+{\delta }_{ϵ}\varphi (x^{\prime })-{\partial }_{\mu }\varphi (x^{\prime }){\delta }_{ϵ}{x}^{\mu }(x^{\prime })$

만약 작용이 라그랑지언에 대하여 불변이라면, 라그랑지언의 변환은 어떤 벡터장의 발산이어야만 한다.

$ℒ({\varphi }^{\prime }(x),{\varphi }^{\prime }(x),x)-ℒ(\varphi (x),\varphi (x),x)={\partial }_{\mu }(ϵJ^{\mu }(x)-{\delta }_{ϵ}{x}^{\mu }ℒ(x))$

(만약 라그랑지언이 정확히 불변이라면 $J=0$이 된다.) 이제

$ℒ({\varphi }^{\prime }(x),{\varphi }^{\prime }(x),x)-ℒ(\varphi (x),\varphi (x),x)=(\frac{\partial L}{\partial \varphi }+\frac{\partial L}{\partial ({\partial }_{\mu }\varphi )}{\partial }_{\mu }+\frac{\partial L}{\partial ({\partial }_{\mu }{\partial }_{\nu }\varphi )}{\partial }_{\mu }{\partial }_{\nu }+\frac{\partial L}{\partial ({\partial }_{\mu }{\partial }_{\nu }{\partial }_{\rho }\varphi )}{\partial }_{\mu }{\partial }_{\nu }{\partial }_{\rho }+\cdots )({\varphi }^{\prime }(x)-\varphi (x))$

$=\frac{\delta ℒ}{\delta \varphi }({\varphi }^{\prime }(x)-\varphi (x))+{\partial }_{\mu }\left(\frac{\partial L}{\partial ({\partial }_{\mu }\varphi )}({\varphi }^{\prime }(x)-\varphi (x))\right)+{\partial }_{\mu }\left({\partial }_{\nu }({\varphi }^{\prime }(x)-\varphi (x))\frac{\partial ℒ}{\partial ({\partial }_{\mu }{\partial }_{\nu }\varphi )}\right)-{\partial }_{\mu }\left(({\varphi }^{\prime }(x)-\varphi (x)){\partial }_{\nu }\frac{\partial ℒ}{\partial ({\partial }_{\mu }{\partial }_{\nu }\varphi )}\right)+\cdots$

이다. 여기서

$\frac{\delta ℒ}{\delta \varphi }=\frac{\partial ℒ}{\partial \varphi }-{\partial }_{\mu }\frac{\partial ℒ}{\partial ({\partial }_{\mu }\varphi )}+{\partial }_{\mu }{\partial }_{\nu }\frac{\partial ℒ}{\partial ({\partial }_{\mu }{\partial }_{\nu }\varphi )}-{\partial }_{\mu }{\partial }_{\nu }{\partial }_{\rho }\frac{\partial ℒ}{\partial ({\partial }_{\mu }{\partial }_{\nu }{\partial }_{\rho }\varphi )}+\cdots$

는 변분이다. 따라서,

$ϵj^{\mu }=J^{\mu }-{\delta }_{ϵ}{x}^{\mu }ℒ-\frac{\partial L}{\partial ({\partial }_{\mu }\varphi )}({\varphi }^{\prime }(x)-\varphi (x))-{\partial }_{\nu }({\varphi }^{\prime }(x)-\varphi (x))\frac{\partial ℒ}{\partial ({\partial }_{\mu }{\partial }_{\nu }\varphi )}+({\varphi }^{\prime }(x)-\varphi (x)){\partial }_{\nu }\frac{\partial ℒ}{\partial ({\partial }_{\mu }{\partial }_{\nu }\varphi )}+\cdots$

$=J^{\mu }-{\delta }_{ϵ}{x}^{\mu }ℒ-\frac{\partial L}{\partial ({\partial }_{\mu }\varphi )}({\delta }_{ϵ}\varphi -{\delta }_{ϵ}{x}^{\mu }{\partial }_{\mu }\varphi )-{\partial }_{\nu }({\delta }_{ϵ}\varphi -{\delta }_{ϵ}{x}^{\mu }{\partial }_{\mu }\varphi )\frac{\partial ℒ}{\partial ({\partial }_{\mu }{\partial }_{\nu }\varphi )}+({\delta }_{ϵ}\varphi -{\delta }_{ϵ}{x}^{\mu }{\partial }_{\mu }\varphi ){\partial }_{\nu }\frac{\partial ℒ}{\partial ({\partial }_{\mu }{\partial }_{\nu }\varphi )}+\cdots$

로 정의한다면

$ϵ\partial \cdot j=-\frac{\delta ℒ}{\delta \varphi }({\varphi }^{\prime }(x)-\varphi (x))$

이 된다. 오일러-라그랑주 방정식을 따르는 경로의 경우 $\delta ℒ/\delta \varphi =0$이므로, 이러한 경로에서는 $j^{\mu }$가 보존류를 이루며, 다음과 같은 보존량이 존재한다.

$Q=\int j^0(x)d^{3}x$

역학에서의 뇌터 정리

고전역학은 1차원 시공간 (=시간) 위의 고전장론으로 여길 수 있다. 이에 따라 역학에서의 뇌터 정리는 장론에서의 뇌터 정리의 특수한 경우이며,

${\partial }_{\mu }\mapsto \frac{d}{dt}$

$x^{\mu }\to t$

로 치환하여 얻을 수 있다. 즉, 변환

$q^{\prime }(t^{\prime })=q(t)+{\delta }_{ϵ}q(t)$

$t^{\prime }=t+{\delta }_{ϵ}t$

에 대하여, 라그랑지언 $L(q,\dot{q},\ddot{q},\dots ,t)$가

$L[q^{\prime }(t),t]-L[q,t]=-\dot{L}\delta t+ϵ\dot{J}$

를 만족시킨다고 하자. 그렇다면 보존량

$Q=J-{\delta }_{ϵ}tℒ-\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}({\delta }_{ϵ}\varphi -{\delta }_{ϵ}t\dot{q})-\frac{d}{dt}({\delta }_{ϵ}q-{\delta }_{ϵ}t\dot{q})\frac{\partial ℒ}{\partial \ddot{q}}+({\delta }_{ϵ}q-{\delta }_{ϵ}t\dot{q})\frac{d}{dt}\frac{\partial ℒ}{\partial \ddot{q}}+\cdots$

은

$\dot{Q}=-\frac{\delta L}{\delta q}({\delta }_{ϵ}\varphi -{\delta }_{ϵ}t\dot{q})$

이므로, 운동 방정식을 따르는 경로 $q(t)$에 대하여 보존된다.

뇌터 보존량의 예

흔히 쓰이는 대칭과 이에 대응하는 보존량은 다음과 같다.

대칭	보존류	보존량
시공간 병진 대칭 $\delta x^{\mu }={\delta }_{\nu }^{\mu }$	에너지-운동량 텐서 $T^{\mu }{}_{\nu }$	4차원 운동량 (에너지, 운동량)
회전 대칭 $\delta x^{\mu }={\delta }_{\nu }^{\mu }{x}_{\rho }-{\delta }_{\rho }^{\mu }{x}_{\nu }$	4차원 각운동량 밀도 $T^{\mu }{}_{\nu }{x}_{\rho }-T^{\mu }{}_{\rho }{x}_{\nu }$	4차원 각운동량 (3차원 각운동량 $𝐋$, 총 에너지와 질량 중심의 초기 위치의 곱 $t𝐩-{𝐱}_{\text{com}}E$)
확대 변환 $\delta x^{\mu }=x^{\mu }$	확대류 $T^{\mu }{}_{\nu }{x}^{\nu }$	$tE-\iiint dV𝐱\cdot \frac{d𝐩}{dV}$ (즉, $E=\frac{d}{dt}\iiint dV𝐱\cdot d𝐩/dV$)
특수 등각 변환 $\delta x^{\mu }=x^2{\delta }_{\nu }^{\mu }-2x^{\mu }{x}_{\nu }$	$T^{\mu }{}_{\rho }(x^2{\delta }_{\nu }^{\rho }-2x^{\rho }{x}_{\nu })$
전자기 U(1) 회전 (대전 스칼라장: ${\delta }_{ϵ}\varphi =i\varphi$)	4차원 전류 밀도 $j_{\mu }={\varphi }^{*}{\partial }_{\mu }\varphi$	전하
복소 페르미온 회전 ${\delta }_{ϵ}\psi =i\psi$	페르미온 수 보존류 $\overline{\psi }i{\gamma }^{\mu }\psi$	페르미온 수
파동 함수 회전 ${\delta }_{ϵ}\Psi =i\Psi$	확률류 $(|\Psi {|}^2,\frac{\hslash }{2mi}({\Psi }^{*}\mathrm{\nabla }\Psi -\Psi \mathrm{\nabla }{\Psi }^{*}))$	1 (=가능한 확률의 합)

참고 문헌

• Forger, Michael; Hartmann Römer (2004년 2월). “Currents and the energy-momentum tensor in classical field theory: a fresh look at an old problem” (영어). 《Annals of Physics》 309 (2): 306–389. arXiv:hep-th/0307199. doi:10.1016/j.aop.2003.08.011. 
• Kosmann-Schwarzbach, Yvette (2010). 《The Noether theorems: invariance and conservation laws in the twentieth century》 (영어). Sources and Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences. Springer. ISBN 978-0-387-87867-6. 
• Lanczos, C. (1970). 《The variational principles of mechanics》 4판 (영어). New York: Dover Publications. ISBN 0-486-65067-7.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크)
• Olver, Peter (1993). 《Applications of Lie groups to differential equations》 2판 (영어). Graduate Texts in Mathematics 107. Springer. doi:10.1007/978-1-4684-0274-2. ISBN 0-387-95000-1. Zbl 0785.58003.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크)
• Byer, Nina (1999). 〈E. Noether's Discovery of the Deep Connection Between Symmetries and Conservation Laws〉 (영어). 《The Heritage of Emmy Noether》. Israel Mathematical Conference Proceedings 12. American Mathematical Society. 
• Ne'eman, Yuval (1999). 〈The impact of Emmy Noether's theorems on XXIst century physics〉 (영어). 《The Heritage of Emmy Noether》. Israel Mathematical Conference Proceedings 12. American Mathematical Society. 

같이 보기

• 라그랑주 역학
• 워드-다카하시 항등식
• 해밀턴-야코비 방정식

외부 링크

• “Noether theorem” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Noether's Symmetry Theorem” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research. 
• 박성찬 (2009년 3월 23일). “가장 위대한 여성 수학자: 뇌터”. 《Physics and Fun》. 2014년 7월 14일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2014년 7월 5일에 확인함.