다순환군

군론에서, 다순환군(多循環群, 영어: polycyclic group)은 순환군들을 통한 확대로 나타낼 수 있는 군이다.

정의

군 $G$ 에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 군을 다순환군(영어: polycyclic group)이라고 한다.

모든 $G_{i + 1} / G_{i}$ 가 순환군인, 부분정규 부분군들의 열 $1 = G_{0} ⊲ G_{1} ⊲ \dots ⊲ G_{n} = G$ 가 존재한다.
가해군이며, 뇌터 군이다.^[1]^:165
정수환 $ℤ$ 위의 일반 선형군 $GL (n; ℤ)$ 의 가해 부분군과 동형이다.
$G ≅ ⟨ s_{1}, \dots, s_{n} | s_{i}^{- 1} s_{j} s_{i} = u_{i j}, s_{i} s_{j} s_{i}^{- 1} = v_{i j}, 1 \leq i < j \leq n, s_{i}^{k_{i}} = w_{i}, i \in I ⟩$ 인 $u_{i j}, v_{i j}, w_{i} \in ⟨ s_{i + 1}, \dots, s_{n} | ⟩$ 및 $k_{i} \in ℤ^{+}$ 및 $I \subseteq {1, \dots, n}$ 이 존재한다.

거의 다순환군(영어: virtually polycyclic group, polycyclic-by-finite group)은 지표가 유한한 다순환 부분군이 존재하는 군이다. 즉, 다순환군의 유한군에 의한 확대로 나타낼 수 있는 군이다.

다음과 같은 함의 관계가 성립한다.

다순환군의 부분군은 다순환군이다. 다순환군의 몫군은 다순환군이다. 다순환군의 다순환군에 의한 확대는 다순환군이다.

다순환군 $G$ 가 주어졌을 때, 무한 인자 $G_{i + 1} / G_{i}$ 의 수는 모든 $G_{i + 1} / G_{i}$ 가 순환군인 부분정규 부분군들의 열

1 = G_{0} ⊲ G_{1} ⊲ \dots ⊲ G_{n} = G

의 선택과 무관하다. 이는 슈라이어 세분 정리를 사용하여 보일 수 있다. 이를 다순환군 $G$ 의 히르슈 길이(영어: Hirsch length) 또는 히르슈 수(영어: Hirsch number)라고 한다.

거의 다순환군이 아닌 뇌터 군은 알렉산드르 유리예비치 올샨스키(러시아어: Александр Юрьевич Ольшанский)가 1979년 논문에서 처음 구성하였다.^[2]^[3]

↑ Robinson, Derek S. (1965). “Joins of subnormal subgroups” (영어). 《Illinois Journal of Mathematics》 9: 144–168. ISSN 0019-2082. MR 0170953. Zbl 0135.04805.
↑ Ольшанский, А. Ю. (1979). “Бесконечная простая нётерова группа без кручения” (러시아어). 《Известия Академии наук СССР. Серия математическая》 43 (6): 1328–1393. doi:10.1070/IM1980v015n03ABEH001268. ISSN 0373-2436. MR 0567039. Zbl 0431.20027.
↑ Ol'šanskiĭ, A. J. (1980). “An infinite simple Noetherian group without torsion” (영어). 《Mathematics of the USSR-Izvestiya》 15 (3): 531–588. doi:10.1070/IM1980v015n03ABEH001268. ISSN 0025-5726. MR 0567039. Zbl 0431.20027.

“Polycyclic group” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
“Polycyclic group” (영어). 《Groupprops》.