단조함수

단조 증가. 강한 단조 증가는 아니다.

수학에서 단조 함수(單調函數, 영어: monotonic function)는 주어진 순서를 보존하는 함수이다. 기하학적으로, 실수 단조 함수의 그래프는 왼쪽에서 오른쪽으로 줄곧 상승하거나 줄곧 하강한다. 대수학적으로, 단조 함수는 두 순서 집합 사이의 준동형이다.

정의

실수 구간 $I$ 를 정의역, 실수 집합 $ℝ$ 을 공역으로 하는 함수 $f : I \to ℝ$ 이 다음 두 조건 중 하나를 만족시키면, 단조 함수라고 한다.

임의의 $x, y \in I$ 에 대하여, $x \leq y$ 이면 $f (x) \leq f (y)$ . 이 경우, $f$ 를 증가 함수(增加函數, 영어: increasing function)라고 하고, $f$ 가 단조 증가(영어: monotonically increasing)한다고 한다.
임의의 $x, y \in I$ 에 대하여, $x \leq y$ 이면 $f (x) \geq f (y)$ . 이 경우, $f$ 를 감소 함수(減少函數, 영어: decreasing function)라고 하고, $f$ 가 단조 감소(영어: monotonically decreasing)한다고 한다.

만약 다음 두 조건 중 하나를 만족시키면, 강한 단조 함수(영어: strictly monotonic function)라고 한다.

임의의 $x, y \in I$ 에 대하여, $x < y$ 이면 $f (x) < f (y)$ . 이 경우, $f$ 를 강한 증가 함수(영어: strictly increasing function)라고 한다.
임의의 $x, y \in I$ 에 대하여, $x < y$ 이면 $f (x) > f (y)$ . 이 경우, $f$ 를 강한 감소 함수(영어: strictly decreasing function)라고 한다.

즉, 단조 함수는 순서 관계 $\leq$ 를 보존하거나 반전시키는 함수이며, 강한 단조 함수는 절대 순서 관계 $<$ 를 보존하거나 반전시키는 함수이다. 강한 단조 함수는 단조 함수보다 강한 개념이다. 예를 들어, 단조 함수는 어떤 부분 구간에서 줄곧 상수일 수 있으나, 강한 단조 함수는 그럴 수 없다.

실수 부분 집합 $D \subset ℝ$ 에서 실수 집합 $ℝ$ 로 가는 함수 $f : D \to ℝ$ 의, 부분 구간 $I \subset D$ 에서의 단조성은, $f$ 의 $I$ 로의 제한 $f |_{I}$ 의 단조성을 뜻한다.

보다 일반적으로, 두 부분 순서 집합 $(X, \leq)$ , $(Y, ⪯)$ 사이의 순서 보존 사상(順序保存寫像, 영어: order-preserving map)은 임의의 $x, y \in X$ 에 대하여 $x \leq y$ 이면 $f (x) ⪯ f (y)$ 인 함수 $f : X \to Y$ 이다. 즉, 두 부분 순서 집합 사이의 준동형이다. 두 부분 순서 집합 사이의 순서 반전 사상(영어: order-reversing map)은 임의의 $x, y \in X$ 에 대하여 $x \leq y$ 이면 $f (x) ⪰ f (y)$ 인 함수 $f : X \to Y$ 이다. 즉, 첫번째 부분 순서 집합과 두번째 부분 순서 집합 사이의 역순서 준동형이다.

미분과 단조성

미분은 함수의 단조성을 판별하는 좋은 도구이다.

미분 가능한 실수 함수 $f : D \to ℝ$ 와 부분 구간 $I \subset D$ 에 대하여, 다음 성질들이 성립한다.

$f$ 가 $I$ 에서 단조 증가할 필요 충분 조건은, 임의의 $x \in I$ 에 대하여, $f^{'} (x) \geq 0$ 인 것이다.^[1]
$f$ 가 $I$ 에서 단조 감소할 필요 충분 조건은, 임의의 $x \in I$ 에 대하여, $f^{'} (x) \leq 0$ 인 것이다.^[1]

같은 $f$ 및 $I$ 에 대하여, 강한 단조 함수에 대한 다음 성질들도 성립한다.

$f$ 가 $I$ 에서 강한 증가 함수일 필요 충분 조건은, 임의의 $x \in I$ 에 대하여, $f^{'} (x) \geq 0$ 이며, 임의의 $x \in J$ 에 대하여 $f^{'} (x) = 0$ 인 부분 구간 $J \subset I$ 가 존재하지 않는 것이다.
$f$ 가 $I$ 에서 강한 감소 함수일 필요 충분 조건은, 임의의 $x \in I$ 에 대하여, $f^{'} (x) \leq 0$ 이며, 임의의 $x \in J$ 에 대하여 $f^{'} (x) = 0$ 인 부분 구간 $J \subset I$ 가 존재하지 않는 것이다.

특히, 만약 $I$ 에서 항상 $f^{'} (x) > 0$ 이거나, 항상 $f^{'} (x) < 0$ 이면, $f$ 는 $I$ 에서 강한 단조 함수이다.^[1] 그러나 역은 성립하지 않는다. 예를 들어, 함수 $f (x) = x^{3}$ 은 실수 전체에서 강한 증가 함수이지만, $f^{'} (0) = 0$ 이다.

구간 $I$ 에 정의된 실수 단조 함수 $f : I \to ℝ$ 에 대하여, 다음 성질들이 성립한다.

$f$ 의 불연속점은 모두 단순 불연속점이다.
$f$ 의 불연속점은 많아야 가산 개이다.^[2]^:96
(르베그 미분가능성 정리) $f$ 의 미분 불가능점은 많아야 영측도이다.

이에 따라, 연속 함수가 아니거나 미분 불가능한 단조 함수의 성질은 상당히 제한된다.

같이 보기

스피어먼 상관 계수

각주

↑ ^가 ^나 ^다 Robert G. Bartle; Donald R. Sherbert (2006). 강수철 역 (편집). 《실해석학개론》. 범한서적. 220~221쪽. ISBN 897129177X.
↑ Rudin, Walter (1976). 《Principles of mathematical analysis》 3판 (영어). International Series in Pure and Applied Mathematics. McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-054235-8. MR 0385023. Zbl 0346.26002. 2014년 10월 6일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2014년 10월 6일에 확인함. CS1 관리 - 추가 문구 (링크)

[실해석학개론-1] 가 ^나 ^다 Robert G. Bartle; Donald R. Sherbert (2006). 강수철 역 (편집). 《실해석학개론》. 범한서적. 220~221쪽. ISBN 897129177X.

[Rudin-2] Rudin, Walter (1976). 《Principles of mathematical analysis》 3판 (영어). International Series in Pure and Applied Mathematics. McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-054235-8. MR 0385023. Zbl 0346.26002. 2014년 10월 6일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2014년 10월 6일에 확인함. CS1 관리 - 추가 문구 (링크)

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