대수적 벡터 다발

대수기하학에서 대수적 벡터 다발(代數的vector다발, 영어: algebraic vector bundle)이란 전이 함수가 다항함수인 벡터 다발의 개념이다. 이는 다양체 위의 벡터 다발의 개념과 달리 임의의 체를 계수로 하여 정의될 수 있다.

정의

대수적 벡터 다발의 개념은 기하학적으로 어떤 특정한 스킴 사상으로 정의될 수 있으며, 어떤 특별한 가군층으로 정의될 수도 있다. 이 두 정의는 서로 동치이다.

1차원 대수적 벡터 다발은 대수적 선다발(영어: algebraic line bundle)이라고 한다.

스킴을 통한 정의

다음이 주어졌다고 하자.

스킴 $X$
자연수 $n$

만약 다음 조건들이 성립한다면, $π$ 를 $n$ 차원 대수적 벡터 다발이라고 한다.

스킴 $E$
전사 함수인 스킴 사상 $π : E \to X$
$X$ 의 어떤 열린 덮개 $𝒰 = {U_{i}}_{i \in I}$
각 $i \in I$ 에 대하여, 스킴 동형 사상 $π^{- 1} (U_{i}) \to 𝔸_{U_{i}}^{n} = 𝔸_{ℤ}^{n} \times U_{i}$

이 조건은 다음을 만족시켜야 한다.

임의의 $i, j \in I$ 및 아핀 열린 부분 스킴 $Spec R ↪ U_{i} \cap U_{j}$ 에 대하여, 이로 유도되는 가환환 준동형 $R [x_{1}, \dots, x_{n}] \to R [y_{1}, \dots, y_{n}]$ 은 어떤 정사각 행렬 $M \in Mat (n, n; R)$ 에 대하여 $r \mapsto r \forall r \in R$ , $x_{i} \mapsto \sum_{i = 1}^{n} x_{i} M_{i j}$ 로 주어진다. 또한, 이는 환의 동형 사상이어야 한다. 즉, $M$ 은 가역 행렬이다.

같은 스킴 $X$ 위의 두 대수적 벡터 다발 $(E, π, 𝒰)$ , $(E^{'}, π^{'}, 𝒰^{'})$ 사이의 동형 사상은 다음과 같은 데이터로 주어진다.

$X$ -스킴의 동형 사상 $ι : E / X \to E^{'} / X$

이 데이터는 다음 조건을 만족시켜야 한다.

$(E, π, 𝒰 \cap 𝒰^{'})$ 은 대수적 벡터 다발을 이룬다.

층 이론을 통한 정의

환 달린 공간 $(X, 𝒪_{X})$ 위의 국소 자유 가군층은 $𝒪_{X}$ -가군층 $ℰ$ 가운데 다음 조건을 만족시키는 것이다.

임의의 $x \in X$ 에 대하여, $ℰ ↾ U_{i} ≅ (𝒪_{X} ↾ U)^{\oplus n}$ 인 자연수 $n \in ℕ$ 과 열린 근방 $U ∋ x$ dㅣ 존재한다.

환 달린 공간 $(X, 𝒪_{X})$ 위의 $n$ 차원 대수적 벡터 다발(또는 유한 계수 국소 자유층)은 $𝒪_{X}$ -가군층 $ℰ$ 가운데 다음 조건을 만족시키는 것이다.

어떤 열린 덮개 $(U_{i})_{i \in I}$ 에 대하여, 다음이 성립한다.
$\forall i \in I : ℰ ↾ U_{i} ≅ (\underset{n}{\underset{⏟}{𝒪_{X} \oplus \dots \oplus 𝒪_{X}}}) ↾ U_{i}$

즉, 이는 국소 자유 가군층 가운데 계수가 일정하며 유한한 것이다.

두 정의 사이의 관계

층 이론을 통한 정의는 임의의 환 달린 공간에 대하여 정의되며, 반대로 스킴을 통한 정의는 스킴에 대해서만 정의된다. 스킴은 환 달린 공간의 특수한 경우이며, 스킴의 경우 이 두 정의는 서로 동치이다.^[1]^{:128–129, Exercise Ⅱ.5.18} 구체적으로, 스킴을 통한 정의에서, 대수적 벡터 다발 $π : E \to X$ 의 단면들은 가군층을 이루며, 이 가군층은 층을 통한 정의에 부합한다.

성질

가가 정리에 따라서, 복소수 사영 대수다양체에 대응되는 콤팩트 복소다양체 위의 모든 해석적 벡터 다발은 대수적 벡터 다발로 주어진다.

각주

↑ Hartshorne, Robin (1977). 《Algebraic geometry》 (영어). Graduate Texts in Mathematics 52. Springer. doi:10.1007/978-1-4757-3849-0. ISBN 978-0-387-90244-9. ISSN 0072-5285. MR 0463157. Zbl 0367.14001.

외부 링크

“Vector bundle, algebraic” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
“Algebraic vector bundle” (영어). 《nLab》.

[Hartshorne-1] Hartshorne, Robin (1977). 《Algebraic geometry》 (영어). Graduate Texts in Mathematics 52. Springer. doi:10.1007/978-1-4757-3849-0. ISBN 978-0-387-90244-9. ISSN 0072-5285. MR 0463157. Zbl 0367.14001.

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