람다 환

가환대수학과 대수적 위상수학에서 람다 환(λ環, 영어: λ-ring)은 벡터 공간의 외대수 연산과 유사한 공리들을 만족시키는 일련의 연산들이 부여된 가환환이다.

정의

다항식 P_n, P_m,n

e_{i} \in ℤ [x_{1}, \dots, x_{n}] \forall i \in {0, 1, \dots, n}

e_{i} (x_{1}, \dots, x_{n}) = \sum_{1 \leq j_{1} < j_{2} < \dots < j_{i} \leq n} x_{i_{1}} x_{i_{2}} \dots x_{i_{j}}

을 정의하자.

다항식

P_{n} \in ℤ [x_{1}, \dots, x_{n}, y_{1}, \dots, y_{n}] \forall n \in ℕ

P_{m, n} \in ℤ [x_{1}, \dots, x_{m n}] \forall m, n \in ℕ

은 다음 성질에 의하여 유일하게 정의되는 정수 계수 다항식이다.^[1]^{:8, §2.1}

\sum_{n} P_{n} (e_{1} (\vec{x}), \dots, e_{n} (\vec{x}), e_{1} (\vec{y}), \dots, e_{n} (\vec{y})) t^{n} = \prod_{i, j = 1}^{n} (1 + x_{i} y_{j} t) \in ℤ [t, \vec{x}, \vec{y}]

\sum_{m} P_{m, n} (x_{1}, \dots, x_{m n}) t^{m} = \prod_{1 \leq i_{1} < i_{2} < \dots < i_{n} \leq m n} (1 + x_{i_{1}} x_{i_{2}} \dots x_{i_{n}} t) \in ℤ [t, x_{1}, \dots, x_{m n}]

여기서 다음과 같은 약자를 사용하였다.

\vec{x} = (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})

\vec{y} = (y_{1}, y_{2}, \dots, y_{n})

람다 환

람다 환은 다음과 같은 데이터로 구성된다.^[1]^{:7, Definition 2.1}^[2]^:§16.4^[3]^{:7, Definition 1.10}

가환환 $R$
각 자연수(음이 아닌 정수) $n \in ℕ$ 에 대하여, 함수 $λ^{n} : R \to R$ . 이들을 $n$ 차 람다 연산(영어: $n$ th λ-operation)이라고 한다.

이 함수 $λ^{n}$ 들은 다음과 같은 공리들을 만족시켜야 한다.

λ^{0} (r) = 1 \forall r \in R

λ^{1} (r) = r \forall r \in R

λ^{n} (1) = 0 \forall n \geq 2

(합의 람다 연산)

λ^{n} (r + s) = \sum_{i + j = n} λ^{i} (r) λ^{j} (s) \forall r, s \in R, n \in ℕ

(곱의 람다 연산)

λ^{n} (r s) = P_{n} (λ^{1} (r), \dots, λ^{n} (r), λ^{1} (s), \dots, λ^{n} (s)) \forall r, s \in R, n \in ℕ

(람다 연산의 합성)

λ^{m} (λ^{n} (r)) = P_{m, n} (λ^{1} (r), \dots, λ^{m n} (r)) \forall r \in R n \in ℕ

람다 환의 모임은 대수 구조 다양체를 이룬다. 두 람다 환 $R$ , $R^{'}$ 사이의 준동형은 대수 구조로서의 준동형이다. 즉, 환 준동형 $f : R \to R^{'}$ 가운데 다음 조건을 만족시키는 것이다.^[2]^:§16.4^[3]^{:10, Definition 1.25}

f (λ^{n} (r)) = λ^{n} (f (r)) \forall r \in R, n \in ℕ

람다 환과 람다 환 준동형은 범주 $λ -Ring$ 를 이룬다.

애덤스 연산

코호몰로지 연산의 일종인 애덤스 연산을 위상 K군으로부터 임의의 람다 환에 대하여 일반화할 수 있다.^[1]^:§2.2

람다 환 $R$ 에 대하여, 람다 연산의 생성 함수를 정의하자.^[2]^:(16.10)^[3]^{:7, (1.7)}

λ_{t} (r) = \sum_{i = 0}^{\infty} λ^{i} (r) t^{i} \in R [[t]]

그렇다면, $R$ 위의 애덤스 연산

Ψ^{n} : R \to R \forall n \in ℤ^{+}

Ψ_{t} (r) = \sum_{i = 1}^{\infty} Ψ^{i} (r) t^{i} \in R [[t]]

은 다음과 같다.^[2]^:§16.20

Ψ_{t} (r) = - t \frac{d}{d t} \ln (λ_{- t} (r)) \forall r \in R

즉, 애덤스 연산을 람다 연산으로부터 정의할 수 있으며 반대로 람다 연산을 애덤스 연산으로부터 정의할 수도 있다.

성질

람다 환 $R$ 에 대하여, 다음 성질들이 성립한다.

$λ_{t} : (R, +) \to R [[t]]^{\times}$ 는 아벨 군의 준동형을 이룬다. 즉, 다음이 성립한다.^[3]^{:7, Proposition 1.13}
$λ_{t} (r + s) = λ_{t} (r) λ_{t} (s) \forall r, s \in R$

$λ_{t} (0) = 1$

$λ_{t} (- r) = λ_{t} (r)^{- 1} \forall r \in R$
정수 $n \in ℤ$ 에 대하여, $λ_{t} (n) = (1 + t)^{n}$ 이다.

범주론적 성질

람다 환의 범주에서 가환환의 범주 $CRing$ 로 가는 망각 함자

F : λ -Ring \to CRing

는 왼쪽 수반 함자와 오른쪽 수반 함자를 동시에 갖는다.^[2]^:§16.1

S ⊣ F ⊣ Λ

여기서

함자 $S : : CRing \to λ -Ring$ 는 자유 람다 환(영어: free λ-ring) 함자이다. 이는 람다 환이 대수 구조 다양체를 이루므로 항상 존재한다.
함자 $Λ : CRing \to λ -Ring$ 는 가환환 $R$ 를 $1 + x R [[x]]$ 위의 람다 환 구조로 대응시킨다.

예

이항환

다음 두 조건을 만족시키는 가환환 $R$ 를 이항환(二項環, 영어: binomial ring)이라고 한다.

덧셈군 $(R, +)$ 의 꼬임 부분군이 자명군이다. 즉, 표준적 준동형 $ι : R \to R \otimes_{ℤ} ℚ$ 는 단사 함수이다.
모든 이항 계수 $(\binom{r}{n}) (r \in R)$ 를 원소로 포함한다. 즉, 임의의 $r \in R$ 및 $n \in ℕ$ 에 대하여, $ι (s) = (\binom{r}{n}) = r (r - 1) \dots (r - n + 1) / n! \in R \otimes_{ℤ} ℚ$ 가 되는 $s \in R$ 가 (유일하게) 존재한다.

이항환 $R$ 위에 $λ^{n} (k) = (\binom{k}{n})$ 을 정의한다면, 이는 람다 환을 이룬다.^[3]^{:Theorem 5.3} 예를 들어, (한원소 공간 위의 위상 K군인^[3]^{:9, Example 1.16}) 정수환 $ℤ ≅ K^{0} ({∙})$ 는 이항환이며 따라서 람다 환을 이룬다.^[3]^{:6, §1.2.1}

이항환의 개념은 모든 애덤스 연산이 항등 함수인 람다 환의 개념과 동치이다.^[4]

비트 벡터

가환환 $R$ 위의 형식적 멱급수환 $R [[x]]$ 속의, $x^{0}$ 항의 계수가 1인 형식적 멱급수들로 구성된 부분 집합

Λ (R) = 1 + x R [[x]] \subseteq R [[x]]

을 생각하자. 이는 $R [[x]]$ -곱셈에 대하여 가환 모노이드를 이룬다.

$Λ (R)$ 위에 다음과 같은 가환환 및 람다 환 구조를 부여할 수 있다.^[1]^{:7, §2}^[2]^:§9.1

$Λ (R)$ 의 덧셈은 $R [[x]]$ 의 곱셈이다.
$Λ (R)$ 의 곱셈은 다음과 같다.^[2]^:§9.15
$(1 + r_{1} x + r_{2} x^{2} + \dots) \cdot (1 + s_{1} x + s_{2} x^{2} + \dots) = 1 + \sum_{n = 1}^{\infty} P_{n} (r_{1}, \dots, r_{n}, s_{1}, \dots, s_{n}) x^{n}$
$Λ (R)$ 의 람다 연산은 다음과 같다.^[2]^:(16.8)
$λ^{n} (1 + r_{1} x + r_{2} x^{2} + \dots) = 1 + \sum_{m = 1}^{\infty} P_{m, n} (r_{1}, \dots, r_{m n}) t^{m}$

이 환은 $R$ 계수의 (큰) 비트 벡터 환 $WittVector (R)$ 과 동형이다. 비트 벡터는 통상적으로 $R^{ℤ^{+}}$ 위에 비트 다항식들을 통해 주어지는 특별한 가환환 구조로 정의된다. 이 경우

WittVector (R) \to Λ (R)

(x_{1}, x_{2}, \dots) \mapsto \frac{1}{(1 - x_{1} t) (1 - x_{2} t^{2}) \dots} \in ℝ [[t]]

는 환의 동형을 정의한다.^[2]^:(9.22)^[3]^{:Theorem 4.16} 이를 아르틴-하세 지수 함수(영어: Artin–Hasse exponential map)라고 한다.

이는 함자

Λ : CRing \to λ -Ring

를 정의하며, 이는 망각 함자

F : λ -Ring \to CRing

의 오른쪽 수반 함자이다.

F ⊣ Λ

대칭 다항식 환

가산 무한 개의 변수 $\vec{x} = (x_{1}, x_{2}, \dots)$ 의 형식적 멱급수환 $Z [[\vec{x}]]$ 을 생각하자. $Z [[\vec{x}]]$ 의 원소는 유한 또는 무한 개의 항들의 합이며, 각 항은 유한 개의 변수 $x_{i}$ 들의 곱이다.

가산 무한 개의 변수 $\vec{x} = (x_{1}, x_{2}, \dots)$ 의 대칭 다항식 $p \in Z [[\vec{x}]]$ 은 다음 두 조건을 만족시키는 형식적 멱급수이다.^[1]^:§2.2^[2]^{:(9.38), (9.39)}

임의의 순열 $σ \in Sym (ℤ^{+})$ 에 대하여 $p (x_{σ (1)}, x_{σ (2)}, \dots) = p (x_{1}, x_{2}, \dots)$ 이다. (여기서 $Sym (ℤ^{+})$ 는 양의 정수의 집합 위의 대칭군이다.)
$p$ 에 속하는 항들의 계수의 집합은 유계 집합이다 (즉, 상계를 갖는다).

대칭 다항식들의 집합은 $ℤ [[\vec{x}]]$ 의 부분환을 이루며, 그 모든 원소는 기본 대칭 다항식

e_{i} (\vec{x}) = \sum_{1 \leq j_{1} < j_{2} < \dots < j_{i}} x_{j_{1}} x_{j_{2}} \dots x_{j_{i}} \in ℤ [[\vec{x}]]

들의 유한 곱들의 유한 합으로 나타낼 수 있다. 즉, 이 환을 $ℤ [e_{0} (\vec{x}), e_{1} (\vec{x}), \dots,]$ 로 표기할 수 있다.

그 위에 다음과 같은 람다 환 구조를 정의할 수 있다.^[2]^:§16.65

λ^{m} : e_{n} (\vec{x}) \mapsto P_{m, n} (e_{1} (\vec{x}), \dots, e_{m n} (\vec{x}))

그렇다면, $ℤ [e_{1} (\vec{x}), \dots, e_{n} (\vec{x})]$ 는 1변수 정수 계수 다항식환 $ℤ [e]$ 위의 자유 람다 환이다.^[1]^{:Theorem 2.1}^[2]^{:Theorem 16.74} 즉, 자유 람다 환 함자 $S : CRing \to λ -Ring$ 함자 아래 $ℤ [e]$ 의 상이다. 또한, $S$ 아래 임의의 환 준동형

f : ℤ [e] \to R

f : e \mapsto f (e) \in R

의 상은 다음과 같은 람다 환 준동형이다.

S f : ℤ [e_{1} (\vec{x}), \dots, e_{n} (\vec{x})] \to R

S f : e_{n} \mapsto λ^{n} (f (e))

위상 K이론

파라콤팩트 하우스도르프 공간 $X$ 위의 위상 K군 $K_{K}^{0} (X)$ 는 람다 환을 이룬다.^[3]^{:9, Example 1.16} 이 경우 $λ^{n}$ 은 벡터 다발 위의 외대수 $λ^{n} [E] = [Λ^{n} (E; K)]$ 이다.

표현환

유한군 $G$ 위의 체 $K$ 계수 표현환 $Repr (G; K)$ (군의 유한 차원 $K$ -벡터 공간 표현들의 반환의 그로텐디크 구성)은 람다 환을 이룬다.^[3]^{:9, Example 1.17} 이 경우, $λ^{n}$ 은 군의 표현의 외대수이다.

λ [r - r^{'}] = λ (r^{\land n} - r'^{\land n}) (r : G \to V, r^{'} : G \to V^{'}, r^{\land n} : G \to Λ^{n} V, r'^{\land n} : G \to Λ^{n} V

역사

알렉산더 그로텐디크가 1958년에 그로텐디크-리만-로흐 정리를 연구하기 위하여 도입하였다.^[5]^[2]^:§16.1

역사적으로, $P_{n}$ 및 $P_{m, n}$ 으로 정의된 항등식들을 따르는 가환환들은 "특수 람다 환"(영어: special λ-ring)으로 불렸으며, "람다 환"이라는 용어는 이 조건들이 생략된, 더 일반적인 개념을 일컬었다. 그러나 오늘날에는 후자의 개념은 더 이상 널리 사용되지 않으며, "람다 환"이라는 용어는 특수 람다 환을 일컫는다.^[2]^:§16.1

같이 보기

각주

↑ ^가 ^나 ^다 ^라 ^마 ^바 Hopkinson, John Robert (2006). 《Universal polynomials in lambda rings and the K-theory of the infinite loop space tmf》 (영어). 박사 학위 논문 (지도 교수 Michael J. Hopkins). 매사추세츠 공과대학교 수학과.
↑ ^가 ^나 ^다 ^라 ^마 ^바 ^사 ^아 ^자 ^차 ^카 ^타 ^파 ^하 Hazewinkel, Michiel (2009). 〈Witt vectors. Part 1〉 (영어). Hazewinkel, Michiel (편집). 《Handbook of algebra. Volume 6》. Elsevier. 319–472쪽. arXiv:0804.3888. Bibcode:2008arXiv0804.3888H. doi:10.1016/S1570-7954(08)00207-6. ISBN 978-0-444-53257-2. MR 2553661.
↑ ^가 ^나 ^다 ^라 ^마 ^바 ^사 ^아 ^자 ^차 Yau, Donald (2010). 《Lambda-rings》 (영어). World Scientific. doi:10.1142/7664. ISBN 978-981-4299-09-1. MR 2649360.
↑ Elliott, Jesse (2006). “Binomial rings, integer-valued polynomials, and λ-rings” (영어). 《Journal of Pure and Applied Algebra》 207 (1): 165–185. doi:10.1016/j.jpaa.2005.09.003. ISSN 0022-4049. MR 2244389.
↑ Grothendieck, Alexander (1958). “La théorie des classes de Chern” (프랑스어). 《Bulletin de la Société Mathématique de France》 86: 137–154. ISSN 0037-9484. MR 0116023.

외부 링크

“Lambda-ring” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
“Lambda-ring” (영어). 《nLab》.
“Special lambda-ring” (영어). 《nLab》.
Sam, Steven (2009년 7월 23일). “Lambda-rings” (영어). 《Concrete Nonsense》.

[Hopkinson-1] 가 ^나 ^다 ^라 ^마 ^바 Hopkinson, John Robert (2006). 《Universal polynomials in lambda rings and the K-theory of the infinite loop space tmf》 (영어). 박사 학위 논문 (지도 교수 Michael J. Hopkins). 매사추세츠 공과대학교 수학과.

[Hazewinkel-2] 가 ^나 ^다 ^라 ^마 ^바 ^사 ^아 ^자 ^차 ^카 ^타 ^파 ^하 Hazewinkel, Michiel (2009). 〈Witt vectors. Part 1〉 (영어). Hazewinkel, Michiel (편집). 《Handbook of algebra. Volume 6》. Elsevier. 319–472쪽. arXiv:0804.3888. Bibcode:2008arXiv0804.3888H. doi:10.1016/S1570-7954(08)00207-6. ISBN 978-0-444-53257-2. MR 2553661.

[Yau-3] 가 ^나 ^다 ^라 ^마 ^바 ^사 ^아 ^자 ^차 Yau, Donald (2010). 《Lambda-rings》 (영어). World Scientific. doi:10.1142/7664. ISBN 978-981-4299-09-1. MR 2649360.

[4] Elliott, Jesse (2006). “Binomial rings, integer-valued polynomials, and λ-rings” (영어). 《Journal of Pure and Applied Algebra》 207 (1): 165–185. doi:10.1016/j.jpaa.2005.09.003. ISSN 0022-4049. MR 2244389.

[5] Grothendieck, Alexander (1958). “La théorie des classes de Chern” (프랑스어). 《Bulletin de la Société Mathématique de France》 86: 137–154. ISSN 0037-9484. MR 0116023.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

정의

다항식 Pn, Pm,n

람다 환

애덤스 연산

성질

범주론적 성질

예

이항환

비트 벡터

대칭 다항식 환

위상 K이론

표현환

역사

같이 보기

각주

외부 링크

다항식 P_n, P_m,n