랭킨-위고니오 방정식

랭킨-위고니오 방정식(Rankine–Hugoniot equation)은 유입되는 흐름의 방향과 수직인 충격파의 거동을 나타내는 방정식이다. 물리학자인 윌리엄 랭킨(영어: William John Macquorn Rankine)과 프랑스의 공학자인 피에르앙리 위고니오(프랑스어: Pierre-Henri Hugoniot)의 이름을 땄다.

유동이 1차원, 정상상태이며, 오일러 방정식을 따르고 질량, 운동량, 에너지가 보존된다 가정한다. 유동의 지배 방정식인 질량 보존과 운동량 보존, 그리고 에너지 보존 방정식에서 두 속도 $u_1$ and $u_2$를 제거하여 랭킨-위고니오 방정식을 얻는다.

유입되는 유동은 아래첨자 1이라 하고 유출되는 유동은 아래첨자 2라 한다. 여기서 $\rho$는 밀도, $u$는 속도, $p$는 압력이라 한다. $e$는 단위 질량당 내부 에너지를 나타낸다. 만약 유동을 이상기체라 가정하면, 상태 방정식은 $p=\rho (\gamma -1)e$이다.

다음 방정식은

${\rho }_1{u}_1={\rho }_2{u}_2$

$p_1+{\rho }_1{u}_1^2=p_2+{\rho }_2{u}_2^2$

$e_1+\frac{p_1}{{\rho }_1}+\frac{1}{2}{u}_1^2=e_2+\frac{p_2}{{\rho }_2}+\frac{1}{2}{u}_2^2$

각각 질량 보존, 운동량 보존, 에너지 보존을 나타낸다. 에너지 유량은 기계적 일, 내부에너지, 운동 에너지 3개의 요소를 가진다. 이 세 개의 보존 조건을 랭킨-위고니오 조건이라 부른다.

위 방정식에서 속도를 제거하면 다음과 같은 관계를 얻는다.

$2(h_2-h_1)=(p_2-p_1)\cdot (\frac{1}{{\rho }_1}+\frac{1}{{\rho }_2})$

여기서 엔탈피 $h=\frac{p}{\rho }+e$이다.

$\frac{p_1}{p_2}=\frac{(\gamma +1)-(\gamma -1)\frac{{\rho }_2}{{\rho }_1}}{(\gamma +1)\frac{{\rho }_2}{{\rho }_1}-(\gamma -1)}$

따라서, 압력은 모두 양수이고, 밀도비는 $(\gamma +1)/(\gamma -1)$ 또는 공기라면 6($\gamma =1.4$)이다. 충격파의 강도가 증가할수록, 유출되는 유동의 온도는 올라가지만, 밀도의 비는 ${\rho }_2/{\rho }_1$ 유한한 값에 수렴한다.(단원자 기체는 4($\gamma$ = 5/3)이고, 이원자분자 기체는 6($\gamma$ = 1.4)이다.

같이 보기

• 오일러 방정식