레비치비타 기호

레비치비타 기호(Levi-Civita symbol) 또는 치환 텐서(permutation tensor)는 선형대수학과 미분기하학에서 정의된 기호로 수의 치환과 관련해 값을 주는 기호이다. 이 기호는 이탈리아 수학자 툴리오 레비치비타를 따라 이름지어졌다.

정의

레비치비타 기호의 모습

레비치비타 기호 $ε_{i j k}$ 는 다음과 같이 정의된다.

ε_{i j k} = {\begin{matrix} + 1 & if (i, j, k) is (1, 2, 3), (2, 3, 1) or (3, 1, 2) \\ - 1 & if (i, j, k) is (3, 2, 1), (1, 3, 2) or (2, 1, 3) \\ 0 & otherwise: i = j or j = k or k = i \end{matrix}

정의에서 보다시피 레비치비타 기호는 완전 반대칭이다.

레비치비타 기호는 크로네커 델타와 많은 관계가 있다. 3차원에서는 다음과 같은 관계들이 있다.

\begin{matrix} ε_{i j k} ε_{l m n} & = \det | \begin{matrix} δ_{i l} & δ_{i m} & δ_{i n} \\ δ_{j l} & δ_{j m} & δ_{j n} \\ δ_{k l} & δ_{k m} & δ_{k n} \end{matrix} | \\ = δ_{i l} (δ_{j m} δ_{k n} - δ_{j n} δ_{k m}) - δ_{i m} (δ_{j l} δ_{k n} - δ_{j n} δ_{k l}) + δ_{i n} (δ_{j l} δ_{k m} - δ_{j m} δ_{k l}) \end{matrix}

\sum_{i = 1}^{3} ε_{i j k} ε_{i m n} = δ_{j m} δ_{k n} - δ_{j n} δ_{k m}

("축약된 입실론 성질")

ε_{i j k} ε_{i m n} = δ_{j m} δ_{k n} - δ_{j n} δ_{k m}

)

\sum_{i, j = 1}^{3} ε_{i j k} ε_{i j n} = 2 δ_{k n}

레비치비타 기호는 수학과 물리학의 다양한 분야에서 사용된다. 예를 들어, 선형대수학에서 두 3차원 벡터의 벡터곱은 이 기호를 사용해 다음과 같이 쓸 수 있다.

𝐚 \times 𝐛 = | \begin{matrix} 𝐞_{𝟏} & 𝐞_{𝟐} & 𝐞_{𝟑} \\ a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \end{matrix} | = \sum_{i, j, k = 1}^{3} ε_{i j k} 𝐞_{𝐢} a_{j} b_{k}

혹은, 더 간단히 쓰면:

𝐚 \times 𝐛 = 𝐜, c_{i} = \sum_{j, k = 1}^{3} ε_{i j k} a_{j} b_{k}

위 표기는 아인슈타인 표기법을 사용하면 훨씬 더 간단해진다

c_{i} = ε_{i j k} a_{j} b_{k}

레비치비타 기호는 다음과 같이 고차원으로 일반화 될 수 있다.

ε_{i j k l \dots} = {\begin{matrix} + 1 & if (i, j, k, l, \dots) is an even permutation of (1, 2, 3, 4, \dots) \\ - 1 & if (i, j, k, l, \dots) is an odd permutation of (1, 2, 3, 4, \dots) \\ 0 & if any two labels are the same \end{matrix}